2023年上海市高考数学试卷（秋季）（王安寓）

这是一份2023年上海市高考数学试卷（秋季）（王安寓），共15页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．不等式的解集为 ．
2．已知向量，，则 ．
3．已知首项为3，公比为2的等比数列，设该等比数列的前项和为，则 ．
4．已知，则 ．
5．已知函数，则函数的值域为 ．
6．已知复数为虚数单位），则 ．
7．已知圆的面积为，则 ．
8．已知中，角，，所对的边分别为a,b,c，且，，，则 ．
9．国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标。现有某地一年四个季度的（亿元）逐季度增长，第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），且四个季度的中位数与平均数相同，则该地一年的总额为 ．
10．已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 ．
11．某公园欲修建一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡起点在水平面上，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成的夹角为．行人沿着斜坡每向上走消耗的体能为，欲使行人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最小，则 ．
12．空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 种．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，，，，若，且，则
A．B．C．D．，2，
14．根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关
15．已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
16．已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知直四棱柱，，，，，．
（1）证明：直线平面；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小．
18．（14分）已知，，函数．
（1）若，求函数f(x)的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
20．（18分）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．设在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
21．（18分）已知，在该函数图像上取一点，过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推得，，，直至停止，由这些数构成数列．
（1）设属于数列，证明：；
（2）试比较与的大小关系；
（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．
2023年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．不等式的解集为 ．
【解析】由可得，，解得，即不等式的解集为．
故答案为：．
2．已知向量，，则 4 ．
【解析】向量，，．故答案为：4．
3．已知首项为3，公比为2的等比数列，设该等比数列的前项和为，则 189 ．
【解析】等比数列的首项为3，公比为2，．故答案为：189．
4．已知，则 ．
【解析】，．故答案为：．
5．已知函数，则函数的值域为 ， ．
【解析】当时，；当时，。所以函数的值域为，．
故答案为：，．
6．已知复数为虚数单位），则 ．
【解析】，．故答案为：．
7．已知圆的面积为，则 ．
【解析】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为1，，．故答案为：．
8．已知中，角，，所对的边分别为a,b,c，且，，，则
【解析】∵，，，∴由余弦定理得，，
又，，．故答案为：．
9．国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标。现有某地一年四个季度的（亿元）逐季度增长，第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），且四个季度的中位数与平均数相同，则该地一年的总额为 946（亿元） ．
【解析】设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，
中位数与平均数相同，，
，该地一年的为（亿元）．故答案为：946（亿元）．
10．已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 49 ．
【解析】二项式的通项为，，1，2，，，
二项式的通项为，，1，2，，，
，，1，2，，，
若，则为奇数，此时，，
，，
又为奇数，的最大值为49．故答案为：49．
11．某公园欲修建一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡起点在水平面上，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成的夹角为．行人沿着斜坡每向上走消耗的体能为，欲使行人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最小，则 ．
【解析】解法一：斜坡的长度为，
上坡所消耗的总体能，
函数的导数，
由，得，得，，
由时，即时，函数单调递增，
由时，即时，函数单调递减，
即，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：．
解法二【江苏南京王安寓补解】：易求斜坡的长度为，则游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T= QUOTE ，
即Tsinθ+4csθ=4.1， QUOTE sin(θ+α)=4.1,其中锐角α满足tanα=，
∴ QUOTE ≥4.1,解得T≥0.9，当且仅当θ+α= QUOTE 时，T取等号，此时，tanα= QUOTE ，tanθ= QUOTE ，
θ=arctan QUOTE 。
增解二(江苏南京王安寓)：仿上得T= QUOTE ，设t=tan QUOTE ，则T= QUOTE QUOTE QUOTE ≥0.9,当且仅当0.1=8.1 QUOTE ，t= QUOTE ，
tanθ= QUOTE =，θ=arctan。
解法三【江苏南京王安寓补解】：仿上得T= QUOTE ，设x=csθ,y=sinθ,则，其轨迹是单位圆。T=，即4x+Ty-4.1=0，其轨迹是直线，则直线与圆有公共点， QUOTE 得，解得T≥0.9，当且仅当直线与圆相切时取等号，此时直线方程4x+0.9y-4.1=0，切点为(，)，为csθ= QUOTE ，∴θ=arccs QUOTE 。
12．空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 9 种．
【解析】解法一：如图所示，设任取2个不同的点为、，
当为正四棱锥的侧面时，如图，平面的两侧分别可以做作为圆锥的底面，有2种情况，
同理以、为底面各有2种情况，所以共有6种情况；
当为正四棱锥的截面时，如图，、位于两侧，为圆锥的底面，只有一种情况，
同理以、为底面各有1种情况，所以共有3种情况；
综上，共有种情况．
故答案为：9．
解法二【江苏南京王安寓补解】：根据正四棱锥的定义知，正四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心，故所给正△ABC只能作为侧面或作为过正四棱高的截面（如果将正△ABC补为正方形作为底面，则所需要的点将超过2个），而底面可以选择以正△ABC的任意一条边为正方形的一条边（正△ABC为侧面）或对角线（正△ABC为截面），这样可以构造3+3×2=9个正四棱锥。（注：将三角形的一边作为正方形的一边时，可左右两边对称各构造一个；将三角形的一边作为正方形的对角线时，正方形的中心为边的中点，这样的正方形各只有一个(理由：过一点作已知直线的垂面，有且只有一个)。）
解法三【江苏南京王安寓补解】：首先回顾正四棱锥的定义：底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心。作出一个正四棱锥S-PQMN（此正四棱锥的四个侧面都是正三角形），注意到相对的两个侧面（面SPQ、面SMN与面SQM、面SNP）位置是相当的，故只需考虑一对侧面，不妨取面SPQ、面SMN，再考虑正△ABC的位置：可以是面SPQ，也可以是面SMN，有种可能，再考虑哪个字母作为顶点S，A、B、C中任意一个都可以，有种可能，故有=6种可能；作出一个正四棱锥S-PQMN（此正四棱锥的两个过该正四棱锥高的截面都是正三角形），注意到截面SPM与截面SQN位置是相当的，故只需考虑一个截面，不妨取截面SPQ（此截面即是正△ABC），有种可能，再考虑哪个字母作为顶点S，A、B、C中任意一个都可以，有种可能，故有=3种可能。综上，共有6+3=9种可能。
（注：两个图的判别是前一个正四棱锥的各侧棱都为a，底面边长也为a，后一个正四棱锥的各侧棱都为a，底面正方形对角线长为a）
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，，，，若，且，则
A．B．C．D．，2，
【解析】，，，，，，．
故选：．
14．根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关
【解析】根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选：．
15．已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解法一：由给定区间可知，2a>a，即．
区间，与区间，相邻，且区间长度相同．
取，则，，区间，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能．
结合选项可得，不可能的是，．
故选：．
解法二【江苏南京王安寓补解】(排除法)：取，则y=sinx在区间[, QUOTE ]上的最小值为 QUOTE >0，在[, QUOTE ]上的最小值为 QUOTE >0，排除A；取a= QUOTE ，则y=sinx在区间[, QUOTE ]上的最小值为 QUOTE >0，在[, QUOTE ]上的最小值为 QUOTE <0，排除C；取a=，则y=sinx在区间[,]上的最小值为<0，在[ QUOTE ,]上的最小值为 QUOTE <0，排除B。故选择D。
16．已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【解析】解法一：椭圆是封闭的，∴总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，
在双曲线中，，而是个固定值，则无法对任意的，都存在，使得，故②错误．故选：．
解法二【江苏南京王安寓补解】：首先确定M的位置（找到一个就行），再证明满足“对于任意点P∈Γ都有Q∈Γ使得|PM|*|QM|=1”。设M到曲线C上任意一点P的距离为d。
对于命题①，设椭圆的长轴为AB，在AB的延长线上能找到一点M，使|MA|*|MB|=1。（事实上，设|MB|=t，则|MA|=t+2a，t(t+2a)=1,+2at-1=0，其判别式△=4 QUOTE +4>0恒成立，t必存在，M存在）。显然|MA|= QUOTE ，|MB|= QUOTE ，且 QUOTE QUOTE =l。对于椭圆C上任意一点P，|MB|≤|MP|≤|MA|，在椭圆C存在一点Q，，|MB|≤|MQ|≤|MA|，满足|PM|*|QM|=1，∴椭圆.C是“自相关曲线”。
对于命题②，显然M不在双曲线上(否则，当M与P重合时，MP=0，不满足|PM|*|QM|=1)，|MP|存在一个最小值，记此时P的位置为，满足|PM|*|QM|=1的点Q的位置记为，则当P超过 QUOTE 时，将找不到点Q，满足|PM|*|QM|=1。（或者∵MP→+∞，d的下确界（最小值）>0，∴无法满足对任意点P都有MP·MQ=1.）.∴双曲线C不是“自相关曲线”。故选B。
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知直四棱柱，，，，，．
（1）证明：直线平面；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小．
【解析】（1）证明：∵，AB不包含于平面，CD包含于平面，∴AB//平面，
由直四棱柱得，又不包含于平面，包含于平面，∴//平面，
AB、包含于平面，，平面平面，
又直线平面，直线平面。
（2）设，则根据题意可得该四棱柱的体积为，
，底面，在底面内过作，垂足点为，
则在底面内的射影为，
根据三垂线定理可得，
故是二面角的平面角。
在中，，，，
，又，
，
二面角的大小为．
18．（14分）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
【解析】：（1）解法一：若，则，
要使函数有意义，则，即的定义域为，
是奇函数，是偶函数，
函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．
解法二【江苏南京王安寓补解】：假设存在常数c满足是奇函数，则f(1)+f(-1)=0,即1+c+1+(-1)+(-c)+1=0, 整理得2=0，矛盾，故不存在实数，使得是奇函数．
（2）若函数过点，则（1），得，得，
此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，
即，得，当时，有两个不相等的根，
设，
则，得，得，即，
若即是方程的根，
则，即，得或，
则实数的取值范围是且且，即且，
综上，实数a的范围是，，．
19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
【解析】（1）红色外观的模型分棕色内饰12个，米色内饰2个，计14个，故对应的概率（A），
小明取到棕色内饰，而棕色内饰分红色外观12个，蓝色外观8个，则对应的概率（B）．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，所以，
则．
(A)(B)，(A)(B) ，
故事件和事件不独立．
（2）由题意知，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率、
外观和内饰都异色的概率、
仅外观或仅内饰同色的概率，
，
，，，
则的分布列为：
故（元．
20．（18分）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．设在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）抛物线的准线为，
由于到抛物线准线的距离为3，则点的横坐标为2，则，
解得；
当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，由题意可得，解得，
所以，则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
（3）如图，
设，则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．
故实数的取值范围为，．
21．（18分）已知，在该函数图像上取一点，过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推得，，，直至停止，由这些数构成数列．
（1）设属于数列，证明：；
（2）试比较与的大小关系；
（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．
【解析】：（1）证明：，则过点，的切线的斜率为，
由点斜式可得，切线方程为，即，
令，可得，
根据题意可知，，即得证；
（2）先证明不等式，
设，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴F(x)在x =1处取极大值也是最大值，所以（1），即，
结合（1）可知，；
（3）假设存在这样的符合要求，
由（2）可知，数列为严格的递减数列，，2，3，，，
由（1）可知，公差，，
先考察函数，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则至多只有两个解，即至多存在两个，使得，
若，则，矛盾，则，
当时，设函数，
由于，，
则存在，使得，
于是取，，，它们构成等差数列．
综上，．
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棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3
150
300
600