2023年上海市春季高考数学试卷（原卷版）

2023年上海市春季高考数学试卷（原卷版）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　   　．

2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝　   　．

3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为：　   　．（结果用集合或区间表示）

4．（4分）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为 　   　．

5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝　   　．

6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 　   　．

7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 　   　．

8．（5分）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝　   　．

9．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 　   　．

10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 　   　．

11．（5分）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为 　   　．

12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 　   　．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题满分18分，第15-16题每题满分18分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．（4分）下列函数是偶函数的是（　　）

A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x

14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（　　）

A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 

B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 

C．从2018年开始，进口总额逐年增大 

D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）

A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C

16．（5分）已知无穷数列{an}的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|Sk|＞|Sk+1|，则下列各项中可能成立的是（　　）

A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列             

B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列             

C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，an，⋯为等比数列 

D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，an，⋯为等差数列

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．

（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；

（2）求直线ME到平面PAB的距离．

18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．

（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；

（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．

19．（14分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S＝，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）

（2）定义建筑物的“形状因子”为f＝，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S＝+．当f＝18，T＝10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．

20．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（m＞0且m≠）．

（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；

（2）设A1、A2为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且•＝﹣2，求实数m的值；

（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为的直线l，若直线l与双曲线﹣＝1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．

21．（18分）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y＝g（x）在x处取得的最小值记为（x）．

（1）若a＝2，g（x）＝x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由；

（2）若a＝0，曲线y＝f（x）在x＝处的切线为直线y＝h（x），证明：函数y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；

（3）若曲线y＝f（x）在x＝x0，x0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，证明：当且仅当c＝x0或c＝1时，（c）＝f（c）．