2022年上海市秋季高考数学试卷含答案

2022年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．已知（其中为虚数单位），则　　．

2．双曲线的实轴长为 　　．

3．函数的周期为 　　．

4．已知，行列式的值与行列式的值相等，则　　．

5．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 　　．

6．已知，则的最小值为       　　．

7．二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则　　．

8．若函数为奇函数，则实数       　　．

9．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　．

10．已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，1，2，，中不同的数值有 　　个．

11. 已知，，且，，，则       

12．设函数满足，定义域为，，值域为，若集合，，可取得中所有值，则参数的取值范围为 　　．

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.

13．若集合，，，则　　

A．，，0， B．，0， C．， D．

14．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　

A． B． C． D．

15．如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为　　

A．点 B．点 C．点 D．点

16．设集合，，

①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；

②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　

A．①成立②成立 B．①成立②不成立 

C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．

（1）求三棱锥体积；

（2）若为中点，求与面所成角大小．

18．（14分）．

（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．

（2）若且，求解不等式．

19．（14分）在如图所示的五边形中，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称；

（1）若点与点重合，求的大小；

（2）在何位置，求五边形面积的最大值．

20．（16分）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．

（1），中点在轴上，求点的坐标；

（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；

（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．

21．（18分）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．

（1）求可能值；

（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；

（3）若，成立，求数列的通项公式．

2022年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．已知（其中为虚数单位），则　　．

【思路分析】直接利用共轭复数的概念得答案．

【解析】，则，所以．故答案为：．

【试题评价】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．

2．双曲线的实轴长为 　6　．

【思路分析】根据双曲线的性质可得，实轴长为．

【解析】由双曲线，可知：，所以双曲线的实轴长．故答案为：6．

【试题评价】本题考查双曲线的性质，是基础题．

3．函数的周期为 　　．

【思路分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得，从而根据周期公式即可求值．

【解析】，

．故答案为：．

【试题评价】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．

4．已知，行列式的值与行列式的值相等，则　3　．

【思路分析】根据行列式所表示的值求解即可．

【解析】因为，，所以，解得．故答案为：3．

【试题评价】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．

5．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 　．　．

【思路分析】由底面积为解出底面半径，再代入侧面积公式求解即可．

【解析】因为圆柱的底面积为，即，所以，所以．

故答案为：．

【试题评价】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．

6．已知，则的最小值为       　　．

【思路分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可．

【解析】如图所示：

由，，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，

联立，可得，即图中点，，

当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，

即目标函数过点，时，取最小值：．

故答案为：．

【试题评价】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题．

7．二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则　10　．

【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值．

【解析】二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，

即，即，，故答案为：10．

【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

8．若函数为奇函数，则实数       　　．

【思路分析】由题意，利用奇函数的定义可得，故有（1），由此求得的值．

【解析】函数，为奇函数，，

（1），，即，求得或．

当时，，不是奇函数，故；

当时，，是奇函数，故满足条件，

综上，，故答案为：1．

【试题评价】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．

9．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　．

【思路分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．

【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，

则每一类都被抽到的方法共有种，

而所有的抽取方法共有种，

故每一类都被抽到的概率为，故答案为：．

【试题评价】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．

10．已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，1，2，，中不同的数值有 　98　个．

【思路分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果．

【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，

，解得，

，

，，1，，中，

，，其余各项均不相等，

，1，，中不同的数值有：．故答案为：98．

【试题评价】本题考查等差数列的前项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11. 已知，，且，，，则       

【思路分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．

【解析】由题意，有，则，设，

则得，，

由同角三角函数的基本关系得：，

则，

，则．故答案为：．

【试题评价】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．

12．设函数满足，定义域为，，值域为，若集合，，可取得中所有值，则参数的取值范围为 　，　．

【思路分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得．

【解析】令得，或（舍去）；

当时，，故对任意，

都存在，，，故，

故，，，而当时，，

故当，，时，参数的最小值为，

故参数的取值范围为，，故答案为：，．

【试题评价】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.

13．若集合，，，则　　

A．，，0， B．，0， C．， D．

【思路分析】根据集合的运算性质计算即可．

【解析】，，，，0，，故选：．

【试题评价】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．

14．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　

A． B． C． D．

【思路分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．

【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，

又，所以，故正确，错误，

，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．

【试题评价】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．

15．如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为　　

A．点 B．点 C．点 D．点

【思路分析】线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．

【解析】线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，

因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，

对选项，如图，连接、、，因为、分别为、的中点，

易证，故、、、四点共面，与相交，错误；

对、选项，如图，连接、，易证、、、四点共面，

故、都与相交，、错误；

对选项，连接，由选项分析知、、、四点共面记为平面，

平面，平面，且平面，点，

与为异面直线，

同理由，选项的分析知、、、四点共面记为平面，

平面，平面，且平面，点，

与为异面直线，

故与，都没有公共点，选项正确．

故选：．

【试题评价】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．

16．设集合，，

①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；

②存在直线，使得集合中存在无数点在上；　　

A．①成立②成立 B．①成立②不成立 

C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立

【思路分析】分，，，求出动点的轨迹，即可判定．

【解析】、的增大幅度均大于，

∴只要k大到一定程度，就会存在l使得①成立；

圆心在抛物线上，且、的增大幅度均大于，

∴Q中的圆会夹在两条抛物线之间，∴不存在直线l满足②，

故选：．

【试题评价】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．

（1）求三棱锥体积；

（2）若为中点，求与面所成角大小．

【思路分析】（1）直接利用体积公式求解；

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解．

【解析】（1）在三棱锥中，因为底面，所以，

又为边中点，所以为等腰三角形，

又．所以是边长为2的为等边三角形，

，三棱锥体积，

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，，，

，，，

平面的法向量，0，，

设直线与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值为，

所以与面所成角大小为．

【试题评价】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．（14分）．

（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．

（2）若且，求解不等式．

【思路分析】（1）写出函数图像下移个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出和的值．

（2）不等式化为，写出等价不等式组，求出解集即可．

【解析】（1）因为函数，

将函数图像向下移后，得的图像，

由函数图像经过点和，

所以，

解得，．

（2）且时，不等式可化为，

等价于，解得，

当时，，，解不等式得，

当时，，，解不等式得；

综上知，时，不等式的解集是，，

时，不等式的解集是，．

【试题评价】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．

19．（14分）如图，，为中点，曲线上所有的点到的距离相等，为曲线上的一动点，点Q与点P关于OM对称.

（1）若P在点的位置，求的大小；

（2）求五边形面积的最大值.

【思路分析】（1）在中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解；

（2）利用五边形的对称性，将所求的面积化为四边形的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．

【解析】（1）P在点的位置，

；

（2）连接，曲线上所有的点到的距离相等，，

点Q与点P关于OM对称，

设

【试题评价】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．

20．（16分）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．

（1），中点在轴上，求点的坐标；

（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；

（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．

【思路分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；

（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；

（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值．

【解析】（1）由题意可得，

，

的中点在轴上，

的纵坐标为，

代入得．

（2）由直线方程可知，

①若，则，即，

，

．

②若，则，

，，

，．

即，，，

综上或．

（3）设，

由点到直线距离公式可得，

很明显椭圆在直线的左下方，则，

即，

，，

据此可得，，

整理可得，即，

从而．即的最小值为．

【试题评价】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．

21．（18分）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．

（1）求可能值；

（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；

（3）若，成立，求数列的通项公式．

【思路分析】（1）利用递推关系式可得，然后计算的值即可；

（2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例可得命题为假命题．

（3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．

【解析】（1），或．

（2），，，，，，，为等差数列，，

．

逆命题：若，则，，，，，，，为等差数列是假命题，举例：

，，，，，，，，．

（3）因为，

，，

，

，

以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：

当，明显成立，

假设时命题成立，即，

则，则，命题得证．

回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：

1．若，则矛盾，

2．若，则，，，

此时，

，

3．若，则，

，，

（由（2）知对任意成立），

，

事实上：矛盾．

综上可得．

【试题评价】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．

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