2020年上海市高考数学试卷（春季）（张瑞兵老师审校）

这是一份2020年上海市高考数学试卷（春季）（张瑞兵老师审校），共11页。
2．不等式的解集为 ．
3．函数的最小正周期为 ．
4．已知复数满足，则的实部为 ．
5．已知，，则 ．
6．若函数为偶函数，则 ．
7．已知直线，，若∥，则与的距离为 ．
8．已知二项式，则展开式中的系数为 ．
9．三角形中，是中点，，，，则 ．
10．已知，，，，，，，、，则的情况有 种．
11．已知、、、、五个点，满足,,，,,，则的最小值为 ．
12．已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．计算：
A．3B．C．D．5
14．“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
15．已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是
A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线
16．数列各项均为实数，对任意满足，且行列式为定值，则下列选项中不可能的是
A．，B．，C．，D．，
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)
17．（14分）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．
（1）若，求四棱锥的体积；
（2）若直线与的夹角为，求的长．
18．（14分）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．
（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；
（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．
19．（14分）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；
（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
20．（16分）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．
（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；
（2）若，，，求证：为常数；
（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．
21．（18分）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．
（1）当，判断、是否具有性质；
（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；
（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
2020年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分)
1．集合，，，，，若，则 3 ．
【思路分析】利用集合的包含关系即可求出的值．
【解析】：，且，，，故答案为：3．
【总结与归纳】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
2．不等式的解集为 ．
【思路分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．
【解析】：由得，则，即，解得，
所以不等式的解集是，故答案为：．
【总结与归纳】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题．
3．函数的最小正周期为 ．
【思路分析】根据函数的周期为，求出函数的最小正周期．
【解析】：函数的最小正周期为，故答案为：．
【总结与归纳】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．
4．已知复数满足，则的实部为 2 ．
【思路分析】设，．根据复数满足，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解析】：设，．复数满足，，
可得：，，解得，．则的实部为2．故答案为：2．
【总结与归纳】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知，，则 ．
【思路分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．
【解析】：，，
，，，故．故答案为：．
【总结与归纳】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
6．若函数为偶函数，则 1 ．
【思路分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案．
【解析】：根据题意，函数为偶函数，则，
即，变形可得：，必有；故答案为：1．
【总结与归纳】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
7．已知直线，，若∥，则与的距离为 ．
【思路分析】由∥求得的值，再根据两平行线间的距离计算即可．
【解析】：直线，，
当∥时，，解得；
当时与重合，不满足题意；
当时∥，此时，；
则与的距离为．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．
8．已知二项式，则展开式中的系数为 10 ．
【思路分析】由二项展开式的通项，可得到答案．
【解析】：，令，，代入通项得，所以展开式中的系数为10．故答案为：10．
【总结与归纳】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．
9．三角形中，是中点，，，，则 ．
【思路分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．
【解析】：在中，，，，
由余弦定理得，，
，且是的中点，
．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
10．已知，，，，，，，、，则的情况有 18 种．
【思路分析】先分类讨论的取值，得到对应的值，再整体求和即可．
【解析】：当，有0种，当，有2种，当，有4种；
当，有6种，当，有4种；当，有2种，当，有0种，
故共有：．故答案为：18．
【总结与归纳】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．
11．已知、、、、五个点，满足,,，,,，则的最小值为 ．
【思路分析】可设，从而据题意可得出，，，并设，因为是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．
【解析】：设，则，，，
设，如图，
求的最小值，则：
，，，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为．故答案为：．
【总结与归纳】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
12．已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为 ， ．
【思路分析】因为与互为反函数，又有实数根与有交点方程有根．进而得出答案．
【解析】：因为与互为反函数，
又方程有实数根，
则函数的图象与直线有交点，
所以有根，即，故答案为：，．
【总结与归纳】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．计算：
A．3B．C．D．5
【思路分析】把分子分母同时除以，则答案可求．
【解析】：．故选：．
【总结与归纳】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题．
14．“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【思路分析】容易看出，由可得出，而反之显然不成立，从而可得出“”是“”的充分不必要条件．
【解析】：（1）若，则，
““是““的充分条件；
（2）若，则，得不出，
“”不是“”的必要条件，
“”是“”的充分非必要条件．故选：．
【总结与归纳】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．
15．已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是
A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线
【思路分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．
【解析】：，，判断轨迹为上下两部分，即选双曲线；
设，，所以，因为，，消去可得：，故选：．
【总结与归纳】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．
16．数列各项均为实数，对任意满足，且行列式为定值，则下列选项中不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【思路分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得．
【解析】：行列式，
对任意满足，
，作差整理得：（常数列，，或，
当，则及，
方程 有两根，，
∆，因为错，故选：．
【总结与归纳】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)
17．（14分）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．
（1）若，求四棱锥的体积；
（2）若直线与的夹角为，求的长．
【思路分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．
（2）由已知中四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面．异面直线与所成角为，可得，且为直角三角形，，代入求出后，解直角可得答案．
【解析】：（1）平面，．
，，，，
所以四棱锥的体积为12．
（2）是正方形，平面，，
又平面
异面直线与所成角为，
为异面直线与所成的角
在中，，故
在中，又
【总结与归纳】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力，计算能力，是中档题．
18．（14分）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．
（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；
（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．
【思路分析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的求和公式，解方程可得，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，再由等比数列的求和公式，解不等式可得的最小值．
【解析】：（1）数列为公差为的等差数列，，，
可得，解得，则；
（2）数列为公比为的等比数列，，，
可得，即，则，，
，即为，即，可得，即的最小值为7．
【总结与归纳】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19．（14分）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；
（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
【思路分析】（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得；
（2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可
【解析】：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，所以，同理分析，，，
由题意得，，，
则当，即时，；
当，即时，；
综上；
（2）由题意得，，
所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
所以，
由题意，，即，
解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．
【总结与归纳】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．
20．（16分）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．
（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；
（2）若，，，求证：为常数；
（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）点的横坐标，由，得，由此能求出与焦点的距离．
（2）设，直线，当时，，同理求出，由此能证明为常数．
（3）解设，，直线，联立，得，求出，同理得，由此能求出存在，使得且为常数1．
【解析】：（1）解：抛物线上的动点，，
过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．
点纵坐标为，
点的横坐标，
，，
与焦点的距离为．
（2）证明：设，直线，
当时，，
直线，时，，，
为常数．
（3）解：设，，直线，
联立，得，
，即，
同理得，
，
，
要使为常数，即，此时为常数1，
存在，使得且为常数1．
【总结与归纳】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（18分）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．
（1）当，判断、是否具有性质；
（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；
（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
【思路分析】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；
（2）依题意，为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；
（3）由题意，，，又为常值函数，故，由此即可得解．
【解析】：（1）为减函数，，具有性质；
为增函数，，不具有性质；
（2）依题意，对任意，恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得（因为在上是增函数）
当时，函数单调递增，满足对任意，恒成立，
综上，实数的取值范围为，．
（3）为整数集，具有性质的函数均为常值函数，
当，恒成立，周期为2，
设，，
由题意，，则，
当，，，
当，，，
综上，为奇数．
【总结与归纳】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．
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