2022年上海市春季高考数学试卷

这是一份2022年上海市春季高考数学试卷，共44页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2022年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝　 　．
2．（4分）（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　 　．
3．（4分）（2022•上海）不等式＜0的解集为 　 　．
4．（4分）（2022•上海）若tanα＝3，则tan（α+）＝　 　．
5．（4分）（2022•上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　 　．
6．（4分）（2022•上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 　 　．
7．（5分）（2022•上海）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　 　．
8．（5分）（2022•上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 　 　．
9．（5分）（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　 　.（用数字作答）
10．（5分）（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 　 　．
11．（5分）（2022•上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　 　．
12．（5分）（2022•上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）（2022•上海）下列函数定义域为R的是（　　）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
14．（5分）（2022•上海）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc
15．（5分）（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（　　）

A．0 B．2 C．4 D．12
16．（5分）（2022•上海）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（　　）
A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列
B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列
C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021
D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

18．（14分）（2022•上海）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．
（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；
（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．
19．（14分）（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

20．（16分）（2022•上海）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．
（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；
（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；
（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．
21．（18分）（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．

2022年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）（2022•上海）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝　2﹣i　．
【考点】共轭复数；复数的运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】解：∵z＝2+i，
∴．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
2．（4分）（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝　（1，2）　．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），
∴A∩B＝（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）（2022•上海）不等式＜0的解集为 　（0，1）　．
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．
【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
4．（4分）（2022•上海）若tanα＝3，则tan（α+）＝　﹣2　．
【考点】两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．
【解答】解：若tanα＝3，
则tan（α+）＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（4分）（2022•上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　3　．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．
【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），
整理得；
所以f﹣1（27）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6．（4分）（2022•上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 　66　．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；数学运算．
【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．
【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，
得k＝10，
即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，
故答案为：66．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．
7．（5分）（2022•上海）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　4　．
【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，
则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，
当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，
当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，
故m＝4．
故答案为：4
【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．
8．（5分）（2022•上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 　　．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，
利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，
所以，解得R＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（5分）（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　17　.（用数字作答）
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有2A33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，
故有12+5＝17个比2134大的四位数，
故答案为：17．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．
10．（5分）（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 　﹣　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，

则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴•的最小值为﹣．
故答案为：﹣．

【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
11．（5分）（2022•上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　[1，+∞）　．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，
得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，

∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
12．（5分）（2022•上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　2　．
【考点】极限及其运算．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图像，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，
∴f（x）是周期为4的周期函数，图像如图：

将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，
则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
∴（xn+1﹣xn）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5分）（2022•上海）下列函数定义域为R的是（　　）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】解：，定义域为{x|x＞0}，
，定义域为{x|x≠0}，
，定义域为R，
，定义域为{x|x≥0}．
∴定义域为R的是．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14．（5分）（2022•上海）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc
【考点】等式与不等式的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，
对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，
∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，
对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，
对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
15．（5分）（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（　　）

A．0 B．2 C．4 D．12
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选：B．
【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．
16．（5分）（2022•上海）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（　　）
A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列
B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列
C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021
D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021
【考点】数列的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．
【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；
如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；
如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜a2021，所以C不正确；
数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；
故选：D．
【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

【考点】直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．
【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，
所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，
所以∠MO1A1＝arctan2．
（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，
所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，
圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．

【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．
18．（14分）（2022•上海）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．
（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；
（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．
【考点】数列的极限．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．
【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，
∴公比q＝，则，
∴Sn＝＝4；
（2）若{an}是等差数列，
则≥n，
即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；
当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．
综上所述，d∈[0，1]．
【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．
19．（14分）（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，
（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，
则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），
S四边形ADFE＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，
＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，
当且仅当3tanθ＝，即tan时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积为450﹣≈255.14m2．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．
20．（16分）（2022•上海）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．
（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；
（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；
（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；
（2）分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；
（3）设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0），
因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan＝，解得c＝，
所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为+y²＝1；
（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，
由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），
则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），满足，
故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；
（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝x﹣1，所以C（a，﹣1），
A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝（x+a），所以D（a，），
所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，
设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，
因为≥，所以≥＝4，
则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．
21．（18分）（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．
【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．
（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．
（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，
∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，
解得x＝2．
（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），
∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，
当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；
当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，
解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，
综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．
（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），
∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，
f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），
∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，
∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，
∵t＞0，∴，
∴函数f（x）在R上单调递增．
【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
3．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
4．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

5．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
6．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
7．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
8．函数与方程的综合运用
【知识点的知识】
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
9．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
10．数列的极限
【知识点的知识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an}中的项 ）
2、几个重要极限：

3、数列极限的运算法则：

4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S＝Sn．
（2）
【典型例题分析】
典例1：已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，
∴a1＝1．当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，
∴2（an+an﹣1）＝an2﹣an﹣12，又{an}各项均为正数，
∴an﹣an﹣1＝2．数列{an}是等差数列，
∴an＝2n﹣1．
∴＝＝＝．
故选：C．

典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1（n∈N*）．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn＝，求的值；
（3）若dn＝2dn﹣1+an﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{dn+n}为等比数列，并求{dn}的通项公式．
解：（1）∵点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，
∴bn＝2an+1，a1＝0，
∵等差数列{an}的公差为1（n∈N*），
∴an＝0+（n﹣1）＝n﹣1．
bn＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．
（2）解：由（1）可得an﹣a1＝n﹣1，bn﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴|P1Pn|＝＝＝（n≥2）．
∴cn＝＝＝，
∴c2+c3+…+cn＝…+＝，
∴＝＝；
（3）证明：n≥2，dn＝2dn﹣1+an﹣1，＝2dn﹣1+n﹣2，
∴dn+n＝2（dn﹣1+n﹣1），
∴数列{dn+n}为等比数列，
首项为d1+1＝2，公比为2，
∴，
∴．

【解题方法点拨】
（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．
（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
（3）求数列极限最后往往转化为（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．
（4）求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以nm或an．
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．
③利用已知数列极限（如等）．
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．
⑤∞﹣∞，，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．
11．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a

2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：


3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

15．共轭复数
共轭复数
16．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个

平行直线
在同一平面内
无

异面直线
不同时在任何一个平面内
无

17．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
18．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
19．两条直线的交点坐标
【知识点的知识】
两条直线的交点坐标：
（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．
（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．
20．方程组解的个数与两直线的位置关系
【知识点的知识】
两条直线的交点坐标：
（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．
（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．
21．直线与椭圆的综合
v．
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
23．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
24．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
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