新疆喀什地区莎车县2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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1、请在答题前正确填写个人基本信息．
2、请将正确答案填写在对应作答区域内．
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1. 若二次根式有意义，则x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故选C．
2. 、、是三角形的三条边长，则不能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，，
，
能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
3. 如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，能够使用2个中点得到中位线是解题的关键．利用中线得到，再由两个中点得到中位线，利用三角形中位线定理即可得到答案．
【详解】解：是的中线，，
，
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
，
故选A．
4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A. 3B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
先化简，然后根据同类二次根式概念计算求解．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并，
∴，解得，
故选：B．
5. 如图，湖两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（ ）
A 3米B. 6米C. 9米D. 10米
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求出的长即可．
【详解】由题意得：，
即A，C两点间的距离为米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．
6. 如图，在中，，于点D，E是的中点，连接．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，正确理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先计算，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即得答案．
【详解】，，
，
，E是的中点，
．
故选B．
7. 若，则的结果是（ ）
A. aB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，有理数的大小比较以及绝对值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，再利用得到即可得到答案．
【详解】解：，
．
故选：A．
8. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（ ）
A. 7米B. 9米C. 10米D. 13米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案．
【详解】解：在中，米，米，
根据勾股定理可得（米），
在中，米，米，
根据勾股定理可得（米），
米，
故选：B．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
9. 当时，二次根式的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，原式，
故答案为：3．
10. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母所代表的正方形的面积．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条（小）直角边的平方，一条（大）直角边的平方，
则斜边的平方．
即A所代表的正方形的面积为
故答案为：．
11. 比较两数的大小：______3．
【答案】＜
【解析】
【分析】先将两数都写成二次根式的形式，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，解题关键是将它们都写成二次根式的形式．
12. 已知菱形的对角线，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
13. 如图，边长为1的正方形，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则表示的数是__________．

【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理求得的长，然后根据可求得点A表示的数．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴点表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得的长是解题的关键．
14. 如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
先根据平行四边形的判定与性质可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
三、解答题(本大题共7小题，共50分)
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则即可．
（1）利用二次根式的加减混合运算法则即可求解；
（2）利用二次根式的乘除混合运算法则即可求解；
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，，，熟悉其运算规则是解决问题的关键．
（2）本题考查了二次根式与平方差公式和完全平方公式的结合，熟悉二次根式混合运算规则和公式是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
17. 如图，，．
（1）求的长；
（2）是直角三角形吗?如果是，请写出证明过程．
【答案】（1）
（2）是，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理；
（1）在中利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，，，
；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
在中，，，，
，
，
是直角三角形．
18. 已知，，求：
（1）代数式的值；
（2）代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式即可得答案；
（2）由于，方便运算，故可考虑将代数式化为含和的项，再整体代入和的值，进行代数式的求值运算．
【小问1详解】


；
【小问2详解】
由已知：

，


，
故：原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想．
19. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且，与相交于点O，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，则，而，可推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20. 如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
（1）求出的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】（1）米
（2）小鸟下降的距离为米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【小问1详解】
由题意知，
∵米，米．
在中
米，
【小问2详解】
设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
21. 平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求矩形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）20．
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等：
（1）先由平行四边形的性质得到，再由即可证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形；
（2）先证明，得到，再由勾股定理求出，则矩形的面积为．
【小问1详解】
证明：四边形平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：，
，
平分，
，
，
，
在中，，，
，
矩形的面积为．