海南省省直辖县级行政单位澄迈县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题满分3分，每小题3分）
1. 下列各式中是二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【详解】解：A、是二次根式，故该选项符合题意；
B、无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意；
C、无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意；
D、x＜0时，无意义，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型．
2. 下列长度的三条线段可以组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，2B. 12，5，6C. 3，3，4D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形；
B、52+62≠122，故不是直角三角形．
C、32+32≠42，故不是直角三角形；
D、32+42=52，故是直角三角形；
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3. 若平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长是（ ）
A 6B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴，
∵AB=4，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4. 若二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
5. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 四个角都相等B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答．
【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，因此不是最简二次根式，故A不符合题意；
B．，因此不是最简二次根式，故B不符合题意；
C．是最简二次根式，故C符合题意；
D．，因此不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7. 如图在中，点是斜边上的中点，，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形的性质得，再由三角形的性质得到，再由，即可得到答案．
【详解】解：在中，是斜边上的中线，
，
，
，
故选：B．
8. 如图，在四边形中，．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选择条件即可．
【详解】∵，
∴，
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴添加，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9. 如图，是的中线，点是的中点，若的面积为24cm2，则的面积为（ ）
A. 8cm2B. 6cm2C. 4cm2D. 3cm2
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
【详解】解：是的边上的中线，的面积为24cm2，
的面积为：（cm2），
点是的中点，
的面积为：（cm2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
10. 设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A. x＞yB. x≥yC. x＜yD. x＝y
【答案】A
【解析】
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
【详解】x==3-，3-＞−3，
所以x=-y且x＞y．
故选A．
【点睛】此题考查了分母有理化和比较实数的大小，化简，判断与−3两者互为相反数是解决本题的关键．
11. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键．
先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质求出长，再根据菱形的性质作答即可．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
．
，
．
四边形是菱形，
．
故选：A．
12. 如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. 18D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【详解】解：∵a=5，b=6，c=7，
∴，
则S=．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
14. 已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
15. 如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为_____________米．

【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴，
由平移可知楼梯表面的地毯长度等于线段的长度之和，即为；
故答案为7．
16. 如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是和，那么两个长方形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两个小正方形的面积分别是8cm2和3cm2求出正方形的边长，进而可得出长方形的长和宽，进而得出结论．
【详解】解：∵两个小正方形的面积分别是和，
∴两个正方形的边长分别为和，
∴两个长方形的长是，宽是，
∴两个长方形的面积和cm2．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算及实际应用，熟知二次根式的运算法则是解题的关键．
三、解答题（本大题满分72分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）1 （4）4
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式等：
（1）合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律计算二次根式乘二次根式，再利用二次根式的性质化简；
（3）利用平方差公式求解；
（4）先计算二次根式的除法和乘法，再计算加减．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据已知条件证明，即可得出．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
19. 如图，在中，，，垂足为A，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，先证中，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
中，，
，
．
20. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD平行四边形．
【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
21. 如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据四边形，均为正方形，可得，，，进而可得，即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，等量代换可得．
【小问1详解】
证明：四边形，均为正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
，
．
22. 先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）的有理化因式是 ；的有理化因式是 ．
（2）将下列式子进行分母有理化：① ；② ．
（3）类比（2）中②的计算结果，计算：
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式分母有理化，二次根式的混合运．
（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）仿照材料中的方法，进行分母有理化即可；
（3）类比（2）中②的计算结果，裂项相消即可．
【小问1详解】
解：，，
因此的有理化因式是，的有理化因式是，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：①；②，
故答案为：；；
【小问3详解】
解：类比（2）中②的计算结果，可得：
，，……，
因此：
．