人教版八年级下册16.3 二次根式的加减习题

这是一份人教版八年级下册16.3 二次根式的加减习题，共19页。试卷主要包含了3 二次根式的加减等内容，欢迎下载使用。


■重点01 可以合并的二次根式
【例题】（2023秋•莲池区校级期中）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则的值为
A．5B．C．D．
【答案】
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
解法揭秘
判断几个二次根式在加减运算中是否可以合并，一定要先看它们是不是最简二次根式．
如果两个二次根式能够合并，那么化为最简二次根式后，被开方数一定相等．
注意：判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式．
闯关演练
【闯关1】 （2023秋•蓝田县期中）已知最简二次根式与可以合并，求的值．
【闯关2】 （2023秋•榆阳区校级期中）如果最简二次根式与能够合并，求的值．
【闯关3】 （2023秋•横山区月考）已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值．
【闯关4】 （2022春•宁江区校级期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求的值．
【闯关5】 （2022秋•高陵区期中）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，求的值．
■重点02 二次根式的加减运算
【例题】计算的值是
A．2B．3C．D．
【答案】
【分析】原式合并同类二次根式即可得到结果．
【解答】解：原式，
故选：．
解法揭秘
二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式．
闯关演练
【闯关6】 （2023秋•道外区期末）计算 ．
【闯关7】 （2023秋•道里区期末）计算的结果是 ．
【闯关8】 （2023秋•双阳区期末）计算．
【闯关9】 （2023秋•二道区期末）计算：．
【闯关10】 （2023秋•朝阳区期末）计算：．
■重点03 二次根式的混合运算
【例题】（2023秋•盘山县期末）计算：．
【答案】
【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式
．
解法揭秘
在进行二次根式的计算时，能用公式的要尽量使用公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化．
闯关演练
【闯关11】 （2023秋•福田区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【闯关12】 （2023秋•静安区校级期末）计算：．
【闯关13】 （2023秋•宝山区期末）计算：．
【闯关14】 （2023秋•长宁区校级期末）计算：．
【闯关15】 （2023秋•松江区期末）计算：．
■重点04 二次根式的化简求值
【例题】（2023秋•河北区校级期末）若．
（1）化简、；
（2）求．
【答案】15．
【分析】根据分母有理化分别把、化简，把原式利用完全平方公式变形，代入计算即可．
【解答】解：，，
则，，
原式．
解法揭秘
1．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
2．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
闯关演练
【闯关16】 （2023•鼓楼区校级自主招生）若，则 ．
【闯关17】 （2022秋•新田县期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【闯关18】 （2023秋•兴文县期中）已知，．
（1）化简；
（2）求的值．
【闯关19】 （2023•徐汇区校级自主招生）已知，求．
【闯关20】 （2023秋•长宁区校级期中）当，化简代数式，并求值．
■难点01 二次根式的应用
【例题】（2023秋•商水县月考）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和2，求阴影部分的面积．
【答案】．
【分析】根据两个正方形的面积求出各自的边长，即可确定出阴影部分即可．
【解答】解：因为大正方形的面积为12，所以边长为，
因为小正方形的面积为2，所以边长为，
故阴影部分的面积．
答：阴影部分的面积为．
解法揭秘
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
闯关演练
【闯关21】 （2023秋•社旗县期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积；
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【闯关22】 （2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，．
（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空坠物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【闯关23】 （2023秋•浙江期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中表示苔藓的直径，单位是厘米，代表冰川消失的时间（单位：年）．
（1）计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【闯关24】 （2023秋•秦都区校级期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则表示的面积），把这个公式称为海伦公式．
（1）现有一块三角形空地，它的三边长分别为，，，求这块地的面积；
（2）有一块空地的面积为，则空地的面积是空地面积的几倍．
【闯关25】 （2023春•栖霞市期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
■易错点01 二次根式与方程或不等式综合
【例题】（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：．
【分析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可．
【解答】解：
．
解法揭秘
二次根式与方程或不等式的综合，主要是指在方程或不等式中含有二次根式，解方程或解不等式的过程中，就要用到二次根式的化简计算，要注意用二次根式的性质及运算法则进行计算．
闯关演练
【闯关26】 （2022秋•浦东新区校级期中）解不等式：．
【闯关27】 （2022秋•宝山区校级期中）解不等式：．
【闯关28】 （2022•安徽模拟）解关于的不等式：．
【闯关29】 （2022秋•宝山区期中）解不等式：．
【闯关30】 （2021秋•浦东新区校级月考）解方程：．
闯关演练参考答案
1．【答案】8．
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定的值．
【解答】解：最简二次根式与可以合并，
而，
，
解得．
即的值为8．
2．【答案】．
【分析】根据同类二次根式及最简二次根式的定义列得关于的方程，解得的值即可．
【解答】解：由题意可得，
解得：．
3．【答案】．
【分析】根据同类二次根式的概念，列出关于的方程进行求解即可；
【解答】解：由题意可知两个根式是同类二次根式，
，
，
．
4．【答案】4．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
答：的值为4．
5．【答案】5．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
答：的值为5．
6．【答案】．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
7．【答案】．
【分析】先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
8．【答案】．
【分析】先化简，再算加减即可．
【解答】解：
．
9．【答案】．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
10．【答案】0．
【分析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
11．【答案】（1）；
（2）1．
【分析】（1）先根据实数的乘除法则进行计算，再进行实数的加减即可；
（2）先利用完全平方公式计算，然利用平方差计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
12．【答案】．
【分析】先根据二次根式的性质和二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：
．
13．【答案】．
【分析】先根据完全平方公式计算，然后进行分母有理化后合并即可．
【解答】解：原式
．
14．【答案】．
【分析】根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可．
【解答】解：
．
15．【答案】．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
．
16．【答案】．
【分析】先利用分母有理化进行化简，从而可得，进而可得，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
17．【答案】（1）；（2）24．
【分析】（1）根据平方差公式即可解答；
（2）根据完全平方公式可得，代入，即可解答．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．【答案】（1）；
（2）18．
【分析】（1）利用分母有理化进行计算，即可解答；
（2）先求出和的值，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）；
（2），，
，，
．
19．【答案】10．
【分析】先利用分母有理化进行化简，然后再求出和的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，，
，，
．
20．【答案】，．
【分析】先化简所求式子，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
21．【答案】（1）；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由见解答．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出和的范围，根据题意解答．
【解答】解：（1）两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原矩形木板的面积为；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
，，
（块，
（块，
（块．
从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
故答案为：3．
22．【答案】（1）；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【分析】（1）把代入公式即可；
（2）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．
【解答】解：（1）由题意知，
，
故从高空抛物到落地的时间为；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当时，，
，
经检验，是原方程的根，
这个玩具产生的动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
23．【答案】（1）21厘米；
（2）37年前．
【分析】（1）根据题意可知分别是求当时，的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；
（2）根据题意可知是求当时，的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．
【解答】解：（1）当时，
（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）当时，
即，
，
，
答：冰川约是在37年前消失的．
24．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由海伦公式计算即可；
（2）用空地的面积除以空地面积求解即可．
【解答】解：（1），，，
，
三角形空地的面积为；
（2）．
空地的面积是空地面积的倍．
25．【答案】1680元．
【分析】先求出通道的面积，再算钱数即可．
【解答】解：通道面积：
（平方米），
购买地砖需要花费：（元，
答：购买地砖需要花费1680元．
26．【答案】．
【分析】根据解不等式的方法和步骤解不等式即可．
【解答】解：，
整理得，即，
，
．
27．【分析】按照移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简．
【解答】解：移项得：
合并同类项得：，
即：
系数化1得：
化简得：
28．【答案】．
【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1，分母有理化可解答．
【解答】解：，
移项得：，
整理得：，
，
解得：，
分母有理化得：，
化简得：．
29．【答案】．
【分析】根据解不等式的方法和步骤解不等式即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
30．【答案】．
【分析】方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，即．