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数学七年级下册6.3 实数教学设计及反思
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这是一份数学七年级下册6.3 实数教学设计及反思，共25页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
教师备课 素材示例
●情景导入 2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船成功发射，中华民族朝向辽阔太空的又一次远征开始了．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道正常运行的速度是在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)，而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s)．v1，v2的大小满足v eq \\al(2,1)＝gR，v eq \\al(2,2)＝2gR(g，R是固定的常量)．怎样求v1，v2的值呢？这就要用到平方根的概念，也就是本节的主要学习内容．
【教学与建议】教学：利用感染力和新闻，使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．建议：针对第一、二宇宙速度的概念教师给予简明扼要的讲解．
●置疑导入 学校要举行美术作品比赛，张勋想裁出一块面积为36 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？若由于展台的缩小，要求张勋改用一块面积为30 dm2的正方形画布作画，则这块正方形画布的边长大致应取多少？请你说一说解决问题的思路．
【教学与建议】教学：根据逆运算的方法，由62＝36反推正方形的边长．建议：学生不能通过口算的方法计算出面积是30 dm2的正方形的边长，自然引入新课．
命题角度1 求一个数的算术平方根
根据平方与开平方互为逆运算，由原数写出此数的算术平方根．
【例1】16的算术平方根是(B)
A．±4 B．4 C．－4 D．8
【例2】(1)9的算术平方根为__3__；
(2)0.36的算术平方根是__0.6__.
命题角度2 已知算术平方根求原数
利用算术平方根的定义计算即可得到结果，熟记常用平方数的算术平方根．
【例3】(1)若一个数的算术平方根是4，则这个数是__16__；
(2)若一个数的算术平方根是 eq \f(4,5)，则这个数是__ eq \f(16,25)__ .
【例4】3＋a的算术平方根是5，则a的值为__22__．
命题角度3 求算术平方根的算术平方根
此种类型题目，重点考查算术平方根的定义，实际是求一个非负数的算术平方根的算术平方根．
【例5】 eq \r(81)的算术平方根是__3__.
【例6】 eq \r(10 000)的算术平方根是__10__．
命题角度4 利用算术平方根的非负性求值
算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即 eq \r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0.
【例7】已知x，y有理数，且 eq \r(x－1)＋3|y－2|2＝0，则x－y＝__－1__．
【例8】若|a－2|＋ eq \r(a＋b)＝0，则ab＝__－4__．
高效课堂 教学设计
1．理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．
▲重点
1．理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．会求一个正数的算术平方根．
▲难点
掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．
◆活动1 新课导入
在我校举行的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，若知道画布的边长，你能计算出它们的面积吗？若知道画布的面积，你能求出它们的边长吗？
表一
表二
表一：已知一个正数，求这个正数的平方．
表二：已知一个正数的平方，求这个正数．
表一和表二中的两种运算有什么关系？
学生完成并交流展示．
◆活动2 探究新知
1．教材P40 问题．
提出问题：
(1)你能完成问题中的填表吗？找出它们的共同点．
(2)什么叫做算术平方根？
(3)算术平方根的被开方数有什么特点？
(4)0的算术平方根是多少？
(5)算术平方根与被开方数有什么关系？
(6)什么样的数有算术平方根？
(7)式子 eq \r(a)成立，则a应满足什么条件？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的__算术平方根__.a的算术平方根记作 eq \r(a)，读作“根号a”，a叫做__被开方数__.0的算术平方根是__0__．
2．由算术平方根的定义知：a≥0， eq \r(a)≥0，即算术平方根的被开方数为__非负数__．
3．被开方数越大，对应的算术平方根也__越大__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P40 例1.
例2 计算下列各式：
(1) eq \r(1\f(7,9))；(2) eq \r(0.81)－ eq \r(0.04)；(3) eq \r(412－402).
解：(1)原式＝ eq \f(4,3)；
(2)原式＝0.9－0.2＝0.7；
(3)原式＝ eq \r(81)＝9.
例3 已知|a＋7|＋ eq \r(2a－3b－4)＝0，求a2－20b的算术平方根．
解：∵|a＋7|≥0， eq \r(2a－3b－4)≥0，∴a＋7＝0，且2a－3b－4＝0，解得a＝－7，b＝－6.∴ eq \r(a2－20b)＝ eq \r(169)＝13.
练习
1．教材P41 练习第1，2题．
2．下列说法正确的是(A)
A．25是625的算术平方根
B．±4是16的算术平方根
C．－6是(－6)2的算术平方根
D．0.01是0.1的算术平方根
3．(1)36的算术平方根是__6__，0.49的算术平方根是__0.7__，2 eq \f(1,4)的算术平方根是__ eq \f(3,2)__；
(2)15是__225__的算术平方根， eq \f(1,2)是__ eq \f(1,4)__的算术平方根，__1__的算术平方根是1.
4．求下列各式的值．
(1) eq \r(16)＋ eq \r(\f(1,49))；
解：原式＝4 eq \f(1,7)； (2) eq \r(52－42)－ eq \r(62＋82)＋ eq \r((－2)2)；
解：原式＝－5；
(3) eq \r(1－0.36)＋ eq \r(\f(9,64))；
解：原式＝ eq \r(0.64)＋ eq \f(3,8)
＝ eq \f(47,40)； (4) eq \r(0.09)－ eq \r(0.36)＋ eq \r((－6)2)× eq \r(0.22).
解：原式＝0.3－0.6＋6×0.2
＝0.9.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．算术平方根的概念．
2．求一个数的算术平方根．
3．算术平方根非负性的运用．
1．作业布置
(1)教材P47 习题6.1第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
教师备课 素材示例
●复习导入 1.什么叫算术平方根？判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根．
100， eq \f(16,9)， eq \f(25,121)，0，－0.003 6，(－2)2，－49.
2．要剪出一块面积为2 dm2的正方形钢板，则钢板的边长应是多少？这个正方形的边长大约有多长？
【教学与建议】教学：复习算术平方根的概念及性质，由算术平方根的概念引出 eq \r(2)的大小估计．建议：由问题2导入课题．
●情景导入 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．
【教学与建议】教学：用两个面积是1的小正方形拼成面积是2的大正方形．通过实践操作激发学生学习兴趣和好奇心．建议：小组合作操作、观察交流．
命题角度1 估算算术平方根
通过反复夹逼运算可以得到无理数的较为精确的估计值．
【例1】估计 eq \r(17)的值在(C)
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
【例2】若两个连续整数x，y满足x< eq \r(5)＋1命题角度2 用计算器求一个数的算术平方根
熟练掌握用计算器求一个数的算术平方根的方法步骤是解题的关键．
【例3】用计算器计算－ eq \r(4.326 5)的结果约为(A)
A．－2.080 024 04 B．－2.340 356 08
C．－2.078 043 62 D．－2.093 452 19
【例4】利用计算器求 eq \r(13)的值．(精确到0.001)
解：按键 eq \x(\r( ))13 eq \x(＝)，显示：3.605 551 275，所以 eq \r(13)≈3.606.
命题角度3 根据已知的算术平方根求相关的数据的算术平方根
当被开方数的小数点每向左(或向右)移动两位时，它的算术平方根的小数点就相应地向左(或向右)移动一位．
【例5】按要求填空：
(1)填表；
(2)根据你发现的规律填空：
①已知 eq \r(7.2)≈2.683，则 eq \r(720)≈__26.83__， eq \r(0.000 72)≈__0.026_83__；
②已知 eq \r(0.003 8)≈0.061 64， eq \r(x)≈61.64，则x≈__3_800__．
命题角度4 运用估算的数学方法确定一个数的整数部分和小数部分
根据被开方数与相关完全平方数的大小比较确定被开方数的整数部分，再用此数减去整数部分即为小数部分．
【例6】已知a是 eq \r(8)的整数部分，b是 eq \r(8)的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
解：∵ eq \r(4)< eq \r(8)< eq \r(9)，即2< eq \r(8)<3，
∴ eq \r(8)的整数部分a＝2， eq \r(8)的小数部分b＝ eq \r(8)－2，
(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋( eq \r(8)－2＋2)2＝－8＋8＝0.
高效课堂 教学设计
1．会用计算器求一个正数的算术平方根．
2．会比较两个带根号式子的大小．
▲重点
1．会用计算器求一个正数的算术平方根．
2．掌握算术平方根的估算及比较两个数大小的方法．
▲难点
掌握算术平方根的估算及比较两个数大小的方法．
◆活动1 新课导入
1．什么叫正数a的算术平方根？如何表示正数a的算术平方根？
2．下列各式中，计算正确的是(B)
A． eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(1,4) B． eq \r(2\f(1,4))＝1 eq \f(1,2)
C． eq \r(4＋\f(9,16))＝2＋ eq \f(3,4) D． eq \r(132－72)＝13－7＝6
3．若 eq \r(2x－1)＋ eq \r(1－2x)＋1有意义，则x满足的条件是__x＝ eq \f(1,2)__．
4． eq \r(3)有多大呢？你能比较 eq \r(3)与2的大小吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P41 第1个探究．
提出问题：
(1)能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
(2)你能根据算术平方根的意义由大正方形的面积求出大正方形的边长吗？
(3)结合图6.11，小正方形的对角线长是多少？
学生完成并交流展示．
2．教材P41 第2个探究及P42 例2前面部分内容．
提出问题：
(1) eq \r(2)有多大？如何估算一个数的算术平方根？
(2)如何求 eq \r(2)的近似值？
(3)你是如何理解无限不循环小数的？
学生完成并交流展示．
3．教材P43 探究及以下内容．
提出问题：
(1)如何用计算器求算术平方根？
(2)如何比较两个算术平方根的大小？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
估算：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小，如此进行下去，在精确度范围内逐步确定出正数的算术平方根的取值范围，这种方法叫做夹逼法．
◆活动4 例题与练习
例1 估算 eq \r(3)的大小(结果保留两位小数)．
解：∵12＝1，22＝4，∴1< eq \r(3)<2.∵1.72＝2.89，1.82＝3.24，∴1.7< eq \r(3)<1.8.
∵1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6，∴1.73< eq \r(3)<1.74.
又∵1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289，∴1.732< eq \r(3)<1.733，
∴ eq \r(3)≈1.73.
例2 用计算器求下列各式的值(精确到0.001)：
(1) eq \r(5.72)；(2) eq \r(2 012)；(3) eq \r(\f(89,3)).
解：(1) eq \r(5.72)≈2.392；(2) eq \r(2 012)≈44.855；(3) eq \r(\f(89,3))≈5.447.
例3 教材P43 例3.
思考：3 eq \r(50)就是__3× eq \r(50)__．
例4 比较下列各组数的大小：
(1) eq \r(5)与1.9；(2) eq \f(\r(6)＋1,2)与1.5.
解：(1)∵5>4，∴ eq \r(5)> eq \r(4)，即 eq \r(5)>2，∴ eq \r(5)>1.9；
(2)∵6>4，∴ eq \r(6)> eq \r(4)，∴ eq \r(6)>2，∴ eq \f(\r(6)＋1,2)> eq \f(2＋1,2)＝1.5，即 eq \f(\r(6)＋1,2)>1.5.
练习
1．教材P44 练习第1，2题．
2．下列选项中的整数，与 eq \r(17)最接近的是(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．比较大小．
(1) eq \r(14)__<__ eq \r(15)； (2)6__>__ eq \r(35).
4．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ eq \f(d3,900)估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．如果雷雨区域的直径为9 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
解：∵t2＝ eq \f(d3,900)，∴t＝ eq \r(\f(d3,900)).
将d＝9代入得t＝ eq \r(\f(93,900))＝ eq \r(\f(81,100))＝0.9.
答：这场雷雨大约能持续0.9 h．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．估算算术平方根和比较数的大小．
2．用计算器计算一个正数的算术平方根．
1．作业布置
(1)教材P48 习题6.1第7，9，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 平方根
教师备课 素材示例
●置疑导入 五一，妈妈带小玲到洪山公园玩，小玲发现公园里有好多正方形的草坪，好奇地问妈妈：“这些正方形草坪的边长是多少？”妈妈说：“每块草坪的面积都是a平方米，你说边长是多少？”小玲说，“边长的平方是面积，把面积开平方，得到的数就是边长呗！”爸爸又问：“如果x2＝a，那么x就是边长？”“对啊，不然呢？”请问，小玲说得正确吗？
【教学与建议】教学：由误认为开平方与取算术平方根是一回事，导入课题，吸引学生注意力．建议：学生通过分析讨论、举例，能发现该种说法的错误所在．
●复习导入 1.一般地，如果一个__正数x__的平方等于a，即x2＝a，那么这个__正数x__叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是__0__.
2．填空：(1)22＝__4__，(－2)2＝__4__；
(2)0.32＝__0.9__，(－0.3)2＝__0.09__.
3．平方等于81的数有几个？分别是什么？这些数之间有什么关系？平方为16，25的数呢？
4．如何得到一个正数的平方根？一个正数的平方根有几个？它们是什么关系？
【教学与建议】教学：由复习算术平方根开始，逐渐引入平方根的概念，引起学生的认知冲突，从而导入平方根的概念．建议：找学生回答，及时纠错，激发其学习兴趣．
命题角度1 求一个数的平方根
正确理解平方根的概念，准确求出一个数的平方根．
【例1】16的平方根是(B)
A．4 B．±4 C． eq \r(8) D．± eq \r(8)
【例2】下列说法错误的是(D)
A． eq \r(0.16)＝0.4 B．± eq \r(0.25)＝±0.5
C．3是9的一个平方根 D．0没有平方根
命题角度2 概念的双重应用
此类题目主要考查算术平方根和平方根的概念，学生往往只求一次平方根．
【例3】 eq \r(81)的平方根是__±3__， eq \r(1)的平方根是__±1__．
【例4】已知± eq \r(x＋4)＝±3，则x＝__5__．
命题角度3 利用平方根的性质求解
平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【例5】一个正数的平方根分别是a＋1和a－3，则a＝__1__.
【例6】若m和n是同一个数的平方根，且m≠n，则(m＋n)100＝__0__．
命题角度4 根据平方根的意义解方程
应用开平方解方程的基本步骤：(1)将方程变形为x2＝a(a≥0)或(ax＋b)2＝c(a≠0，c≥0)的形式；(2)直接开平方，得x＝± eq \r(a)或ax＋b＝± eq \r(c)；(3)解一元一次方程即可求出x的值．
【例7】求下列各式中x的值：(1)81x2－49＝0；(2)(3x－1)2＝(－5)2.
解：(1)81x2＝49，x2＝ eq \f(49,81)，故x＝± eq \f(7,9)；
(2)(3x－1)2＝(－5)2，则3x－1＝±5，解得x＝2或x＝－ eq \f(4,3).
高效课堂 教学设计
1．掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别．
2．能用符号正确地表示一个数的平方根．
3．理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系．
▲重点
平方根的概念和求数的平方根．
▲难点
平方根与算术平方根的联系与区别．
◆活动1 新课导入
(1)如果一个数的平方等于9，那么9的算术平方根是__3__．
(2) eq \f(2,5)的平方等于 eq \f(4,25)，那么 eq \f(4,25)的算术平方根是__ eq \f(2,5)__．
(3)展厅的地面是正方形，其面积为49 m2，则边长为__7__m.
(4)请同学们思考一下，还有没有平方等于9， eq \f(4,25)，49的其他数？
◆活动2 探究新知
1．教材P44～45 部分内容．
提出问题：
(1)如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
(2)完成教材P45表格，思考：一对互为相反数的两个数的平方，结果是什么关系？你从中得出什么结论？
(3)什么叫做平方根和开平方？
(4)平方与开平方有什么联系？
(5)开平方时，被开方数可以是任意数吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P45 思考及P46 部分内容．
提出问题：
(1)如何得到一个正数的平方根？一个正数的平方根有几个？它们是什么关系？
(2)0的平方根是多少？负数有平方根吗？为什么？
(3)当a≥0时，a的平方根如何表示？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__，记为x＝± eq \r(a).
2．求一个数a的平方根的运算叫做__开平方__，开平方与平方互为逆运算．
3．0的平方根是__0__，负数__没有__平方根，正数有__两__个平方根，它们互为__相反数__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P46 例5.
思考：知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根，为什么？
例2 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
例3 求下列各式中x的值：
(1)x2＝361，(2)81x2－49＝0；(3)49(x2＋1)＝50；(4)(3x－1)2＝(－5)2.
解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝± eq \r(361)＝±19；(2)整理81x2－49＝0，得x2＝ eq \f(49,81)，∴开平方得x＝± eq \r(\f(49,81))＝± eq \f(7,9)；(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ eq \f(1,49)，∴开平方得x＝± eq \r(\f(1,49))＝± eq \f(1,7)；(4)∵(3x－1)＝(－5)2，∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－ eq \f(4,3).综上所述，x＝2或－ eq \f(4,3).
练习
1．教材P46～47 练习第1，2，3，4题．
2．下列计算正确的是(D)
A． eq \r(25)＝±5 B．± eq \r(9)＝3
C． eq \r((－3)2)＝±3 D．± eq \r(16)＝±4
3．(1)若x的平方根是±2，则 eq \r(x)＝__2__；
(2)若 eq \r(x)＝2，则x＝__4__；
(3)若 eq \r(x)的平方根是±2，则x＝__16__．
4．2a－1的平方根为± eq \r(3)，3a－2b＋1的平方根为±3，求4a－b的平方根．
解：∵2a－1的平方根为± eq \r(3)，
∴2a－1＝3，
∴a＝2.
∵3a－2b＋1的平方根为±3，
∴3×2－2b＋1＝9，
∴b＝－1，
∴4a－b＝9，
∴4a－b的平方根为±3.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．掌握平方根和开平方的概念，会求某个数的平方根．
2．平方根与算术平方根的区别与联系．
3．运用平方根的概念和性质解决问题．
1．作业布置
(1)教材P47～48 习题6.1第3，4，8，11题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
6.2 立方根
教师备课 素材示例
●情景导入 如图所示的魔方，体积为125 cm3，你能计算出此魔方的棱长是多少吗？
(1)在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题？
(2)你能找出一个数，使这个数的立方等于125吗？
(3)从这个问题中可以抽象出一个什么数学概念？
【教学与建议】教学：由熟悉的魔方提出问题，引出立方根的概念，能较强烈地提升学生探究问题的欲望．建议：加强与平方根概念的类比学习，让学生体会类比获取新知这一重要方法．
●类比导入 1.平方根的概念是什么？如何用符号表示数a(a≥0)的平方根？
2．正数有几个平方根？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？
3．0.13＝0.001； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))) eq \s\up12(3)＝－ eq \f(27,64)；03＝0.
4．一个正方体体积为8，棱长为a，可得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？
【教学与建议】教学：引导学生采用类比的方法来学习立方根的相关概念及性质，有利于学生快速掌握新知识．建议：复习提问到新课导入由易到难，选取不同层次学生回答．
命题角度1 立方根的性质
根据立方根的性质“正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0”解题．
【例1】下列各数中，立方根一定是负数的是(C)
A．－a B．－a2 C．－a2－1 D．－a2＋1
【例2】立方根等于本身的数有__3__个，分别是__0，1，－1__．
命题角度2 求立方根的值
开立方与立方互为逆运算，解答此类问题时首先应理解式子表示的意义，再进行计算．
【例3】 eq \r(3,－\f(1,64))的值是(B)
A． eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,4) C． eq \f(1,8) D．－ eq \f(1,8)
【例4】下列计算错误的是(B)
A． eq \r(3,－27)＝－3 B． eq \r(3,－\f(1,8))＝－2
C．－ eq \r(3,－\f(27,8))＝ eq \f(3,2) D． eq \r(3,(－4)3)＝－4
命题角度3 立方根与平方根有关的计算
解决此类问题，分别开平方或开立方求值，然后进行计算．
【例5】计算： eq \r(3,－27)＋ eq \r((－3)2)－ eq \r(3,－1)＝__1__．
【例6】已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求b－2a＋1的立方根．
解：∵2a－1的平方根是±3，∴2a－1＝9，解得a＝5.∵3a＋b－1的算术平方根是4，∴3a＋b－1＝16.把a＝5代入，得3×5＋b－1＝16，解得b＝2，∴b－2a＋1＝2－10＋1＝－7，∴b－2a＋1的立方根为 eq \r(3,－7).
命题角度4 利用立方根的意义解方程
应用开立方解方程的基本步骤：(1)将方程变形为x3＝a或(mx＋n)3＝c(m≠0)的形式；(2)直接开立方，得x＝ eq \r(3,a)或mx＋n＝ eq \r(3,c)；(3)解一元一次方程即可求出x的值．
【例7】求下列各式中x的值：(1)x3＋1＝ eq \f(37,64)；(2)(x－1)3＝－216.
解：(1)∵x3＋1＝ eq \f(37,64)，∴x3＝－ eq \f(27,64)，∴x＝－ eq \f(3,4)；
(2)∵(x－1)3＝－216，∴x－1＝－6，∴x＝－5.
命题角度5 平方根或立方根与方程的综合
平方根或立方根的逆用方法：(1)如果一个数x是a的平方根，那么a＝x2；(2)如果一个数x是a的立方根，那么a＝x3.
【例8】一个正数a的两个平方根是2x－2和6－3x，则17＋3a的立方根为__5__.
【例9】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，则x2＋y2的算术平方根是__10__．
高效课堂 教学设计
1．了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根．
2．了解立方与开立方互为逆运算，会用立方运算或计算器求某数的立方根．
3．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算．
▲重点
立方根的概念及求法．
▲难点
立方根与平方根的区别．
◆活动1 新课导入
1．某化工厂使用棱长1 m的正方体储气罐储藏气体，现在要造一个新的正方体储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的棱长是原来正方体棱长的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
2．我们知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，请仿照平方根的定义，给数x的立方根下一个定义．
学生完成并交流展示．
◆活动2 探究新知
1．教材P49 问题．
提出问题：
(1)正方体的体积公式是什么？
(2)正方体的体积为27 m3，它的棱长是多少米？
(3)什么叫做立方根？
(4)什么叫做开立方？开立方与立方有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P49 探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空．
(2)通过填空，你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
(3)如何表示一个数的立方根？立方根的被开方数可以是任意数吗？
(4)你能说出一个数的平方根与立方根有什么不同吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P50 探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空．
(2)通过填空，你能发现什么规律？
学生完成并交流展示．
4．教材P51 探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__立方根__或三次方根，即若x3＝a，则x叫做a的__立方根__．
2．正数的立方根是__正数__，负数的立方根是__负数__，0的立方根是__0__．
3．a的立方根记作__ eq \r(3,a)__，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略．
4．求一个数立方根的运算叫做__开立方__，开立方与立方互为__逆运算__．
5．任意一个数的相反数的立方根等于这个数的立方根的相反数，即 eq \r(3,－a)＝__－ eq \r(3,a)__.
6．被开方数的小数点向左(右)每移动三位时，它的立方根的小数点相应地向左(右)移动一位．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P50 例．
例2 求下列各式中的x.
(1)27x3－8＝0；(2) eq \f(1,4)(2x＋3)3＝54.
解：(1)∵27x3－8＝0，∴27x3＝8，x3＝ eq \f(8,27)，∴x＝ eq \r(3,\f(8,27))，即x＝ eq \f(2,3)；
(2)∵ eq \f(1,4)(2x＋3)3＝54，∴(2x＋3)3＝216，∴2x＋3＝ eq \r(3,216)＝6，即x＝ eq \f(3,2).
例3 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入，解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10.
练习
1．教材P51 练习第1，2，3，4题．
2．下列说法中，不正确的是(D)
A．0.064的立方根是0.4 B．－8的立方根是－2
C．0的立方根是0 D．216的立方根是±6
3．4 eq \f(17,27)的立方根为__ eq \f(5,3)__，－ eq \f(2,3)是__－ eq \f(8,27)__的立方根．
4．如果A＝ eq \r(a－2b＋3,a＋3b)，为a＋3b的算术平方根；B＝ eq \r(b＋1,1－a2)，为1－a2的立方根，求A－B的值．
解：根据题意，得a－2b＋3＝2，b＋1＝3，∴b＝2，则a－2×2＋3＝2，a＝3.∴A＝ eq \r(a＋3b)＝ eq \r(9)＝3，B＝ eq \r(3,1－a2)＝ eq \r(3,－8)＝－2.∴A－B＝3＋2＝5.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．立方根的概念．
2．立方根的性质及表示．
3．用计算器计算立方根．
1．作业布置
(1)教材P51～52 习题6.2第1，2，3，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
6.3 实数
第1课时 实数的概念
教师备课 素材示例
●置疑导入 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类．
问题：1.把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
5，－ eq \f(3,4)， eq \f(45,8)， eq \f(7,11)， eq \f(11,7)， eq \f(5,12).
发现：这些分数都可以写成有限小数或无限循环小数．
问题：2.追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
阅读下列材料：设x＝0. eq \(3,\s\up6(·))＝0.333…①，
则10x＝3. eq \(3,\s\up6(·))＝3.333…②，
②－①，得9x＝3，因此x＝ eq \f(1,3)，即0. eq \(3,\s\up6(·))＝0.333…＝ eq \f(1,3).
根据上面提供的方法，你能把0. eq \(7,\s\up6(·))，0. eq \(1,\s\up6(·)) eq \(4,\s\up6(·))化成分数吗？是不是任何无限循环小数都可以化成分数？发现任何一个无限循环小数都能化成分数．
【教学与建议】教学：通过问题导入，理解有理数的性质，循序渐进，逐步深入教学．建议：让学生动手计算，讨论交流，学生之间互相补充，教师适时点拨．
●复习导入 问题1：什么是有理数？有理数怎样分类？
问题2：什么是无限不循环小数？你知道的无限不循环小数都有哪些形式？
问题3：倒数、绝对值、相反数等概念是如何规定的？
问题4：有理数都有哪些运算法则及运算性质？
【教学与建议】教学：通过有理数相关知识的复习类比无理数的相关知识，提高学生类比学习的能力．建议：课前让学生提前复习相关知识，理解有理数的分类、运算法则及运算性质．
命题角度1 无理数的识别
常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数，第二类是化简后含π的数，第三类是无限不循环的数．
【例1】下列实数是无理数的是(C)
A．3.14 B． eq \r(9) C． eq \r(3) D． eq \f(1,8)
【例2】下列各数3.141 592 6， eq \r(9)，1.212 212 221…， eq \f(1,7)，2－π，－2 022， eq \r(3,4)中，无理数有__1.212_212_221…，2－π， eq \r(3,4)__．
命题角度2 实数的分类
实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数，0，负实数三类，而有理数分为整数和分数．
【例3】下列选项中错误的是(C)
A． eq \r(5)是无理数 B．π＋1是无理数
C． eq \f(\r(3),3)是分数 D． eq \r(7)是无限不循环小数
【例4】把下列各数的序号填入相应的集合内．
①10，②－π，③ eq \r(3,0.001)，④－3.14，⑤ eq \r(2)，⑥0，⑦ eq \f(2,5)，⑧－1，⑨ eq \r(8)，⑩1.010 010 001.
整数集合{__①⑥⑧__…}；
负分数集合{__④__…}；
正有理数集合{__①③⑦⑩__…}；
无理数集合{__②⑤⑨__…}．
命题角度3 实数与数轴的关系
实数与数轴上的点是“一一对应”关系．解决此类问题要先在数轴上表示出各数，进而求解．
【例5】如图，正方形的边长为1，点P是半圆与数轴的交点，
则点P对应的实数为(B)
A． eq \r(2) B． eq \r(2)＋1
C．2.4 D．2.5
【例6】如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，在这四个点中最适合表示 eq \r(10)的点是__Q__.
高效课堂 教学设计
1．了解无理数和实数的概念，会将实数按一定的标准进行分类．
2．知道实数与数轴上的点一一对应．
▲重点
正确理解实数的概念．
▲难点
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解．
◆活动1 新课导入
交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16 eq \r(df)，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数．在一次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝1.2.肇事汽车v＝16× eq \r(20×1.2)＝16 eq \r(24).
对数 eq \r(24)提出如下问题：
(1)可能是整数吗？
(2)可能是分数吗？
(3)如果既不是整数又不是分数，那么 eq \r(24)究竟是什么数呢？
这节课我们将来学习并解决这个问题．
◆活动2 探究新知
1．教材P53 内容．
提出问题：
(1)什么是无限不循环小数？
(2)什么样的数叫无理数？
(3)无理数有几种表现形式？
(4)实数包括哪些数？如何对实数进行分类？
学生完成并交流展示．
2．教材P54 探究及其以下部分内容．
提出问题：
(1)你能在图6.31中表示出－π所对应的点吗？
(2)任意一个无理数是否可以用数轴上的一个点来表示？
(3)实数与数轴上的点具有一种什么样的关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或无限循环小数都是__有理数__．
2．无限不循环的小数叫__无理数__．
3．有理数和无理数统称__实数__．
4．实数的两种分类：
5．当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个__点__来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个__实数__．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__大__．
◆活动4 例题与练习
例1 把下列各数填在相应的大括号内：
0， eq \r(8)，－ eq \r(3,\f(8,27))， eq \r(16)，－ eq \r(27)，－2， eq \r(3)， eq \f(33,8)， eq \f(π,4)，0.616 616 661….
自然数集合{ 0， eq \r(16)， …}；
有理数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( 0，－\r(3,\f(8,27))，\r(16)，－2，\f(33,8)， …))；
无理数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( \r(8)，－\r(27)，\r(3)，\f(π,4)，0.616 616 661…， …))；
正数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( \r(8)，\r(16)，\r(3)，\f(33,8)，\f(π,4)，0.616 616 661…， …))；
整数集合{ 0， eq \r(16)，－2， …}；
非负整数集合{ 0， eq \r(16)， …}；
分数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( －\r(3,\f(8,27))，\f(33,8)， …)).
例2 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是(D)
A．π－1 B．－π－1 C．－π＋1 D．π－1或－π－1
例3 如图，数轴上点A和点B分别表示－1和 eq \r(3)，点B关于点A的对称点为C.求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和 eq \r(3)，∴点B到点A的距离为1＋ eq \r(3)，则点C到点A的距离也为1＋ eq \r(3).设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋ eq \r(3)，∴x＝－2－ eq \r(3).∴点C所表示的实数为－2－ eq \r(3).
练习
1．教材P56 练习第1题．
2．如图，表示 eq \r(7)的点在数轴上哪两个字母之间(A)
A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，再爬向点C停止，已知点A所表示的数为－ eq \r(3)，点C所表示的数为2，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值；
(2)求BC的长．
解：(1)m－(－ eq \r(3))＝2，∴m＝2－ eq \r(3)；
(2)BC＝|2－(2－ eq \r(3))|＝ eq \r(3).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．无理数和实数的概念．
2．实数的分类．
3．实数与数轴的关系．
1．作业布置
(1)教材P57 习题6.3第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 实数的运算
教师备课 素材示例
●复习导入 1.5的相反数是__－5__，0的绝对值是__0__，－1的相反数是__1__．
2．有理数的运算法则是什么？
先算高级运算；同级运算要从左至右计算；有括号的要先算括号里面的．
3．计算：(1)(－2)3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2÷\f(1,2)))－|－3|×(－1)2 023；(2)－43÷(－32)－[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up12(3)×(－32)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)))].
【教学与建议】教学：通过复习有理数的运算类比到实数的运算，提高学生的理解能力．建议：复习问题学生自主解决，教师及时纠错．
●情景导入 如图，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10 m2，正方形卧室CEFG的面积为15 m2，小明想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？
【教学与建议】教学：由情景图可知线段BG的长是 eq \r(10)＋ eq \r(15)，导入实数的运算，提升学生探究问题的欲望．建议：可提前复习有理数的运算法则及性质．
命题角度1 实数的性质
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内完全一样．
【例1】－ eq \r(5)的相反数是(D)
A．－ eq \r(5) B．－ eq \f(\r(5),5) C．± eq \r(5) D． eq \r(5)
【例2】计算|1－ eq \r(3)|的结果为(D)
A．－1－ eq \r(3) B．1－ eq \r(3) C．1＋ eq \r(3) D． eq \r(3)－1
命题角度2 实数大小的比较
此类题的做题方法主要有：(1)先估算带根号的数的近似值，再与有理数比较；(2)若两数同号，可把两数先平方，再比较大小；(3)若两数同分母或同分子，可比较它们分子或分母的大小．
【例3】若a＝ eq \r(3,7)，b＝ eq \r(5)，c＝2，则a，b，c的大小关系为(C)
A．b【例4】比较大小： eq \f(\r(5)－2,3)__<__ eq \f(1,6).
命题角度3 实数的运算
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算．有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．
【例5】下列各式中，运算正确的是(A)
A． eq \r(2)＋ eq \r(2)＝2 eq \r(2) B．3 eq \r(3)－ eq \r(3)＝3
C．2＋ eq \r(3)＝2 eq \r(3) D． eq \r((－2)2)＝－2
【例6】计算：
(1)(－1)3＋| eq \r(3)－2|＝__1－ eq \r(3)__；
(2)2 eq \r(2)＋3 eq \r(5)－3 eq \r(2)－3 eq \r(5)＝__－ eq \r(2)__．
高效课堂 教学设计
1．了解实数范围内的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值．
2．学会比较两个实数的大小．
3．了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算．
▲重点
有理数的大小比较和运算．
▲难点
带有绝对值的有理数的运算．
◆活动1 新课导入
1．下列关于 eq \r(2)的判断：① eq \r(2)是无理数；② eq \r(2)是实数；③ eq \r(2)是－2的算术平方根；④1< eq \r(2)<2.其中正确的是__①②④__．(填序号)
2．2的相反数是__－2__，－1的绝对值是__1__．
3．计算：
(1)－5 eq \f(2,3)＋8 eq \f(2,3)÷(－2)× eq \f(2,13)－ eq \f(2,3)；
(2)－22× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1\f(1,2)))－32÷(－2)2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1\f(1,4))).
◆活动2 探究新知
教材P54 思考．
提出问题：
(1)请完成思考中的填空．
(2)通过填空你能发现有理数的相反数、绝对值和实数的相反数、绝对值有什么联系？
(3)由此你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．数a的相反数是__－a__，这里a表示任意一个实数．
2．一个正实数的绝对值是__它本身__；一个负实数的绝对值是__它的相反数__；0的绝对值是__0__．即设a表示一个实数，则
|a|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( a (a>0)，, 0 (a＝0)，, －a (a<0).))
3．实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且__正数及0__可以进行开平方运算，__任意一个实数__可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
4．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替__无理数__，再进行计算．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P55 例1.
例2 教材P56 例2.
例3 教材P56 例3.
例4 计算：(1) eq \r(3,0.125)－ eq \r(3\f(1,16))＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,8)))\s\up12(2))－ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))；
(2)( eq \r(3)＋ eq \r(2))－(2 eq \r(2)＋ eq \r(3))；
(3)－23× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \r(3,－64)÷|－2|.
解：(1)原式＝0.5－ eq \r(\f(49,16))＋ eq \r(3,\f(1,64))－ eq \f(1,2)＝0.5－ eq \f(7,4)＋ eq \f(1,4)－0.5＝－1.5；
(2)原式＝ eq \r(3)＋ eq \r(2)－2 eq \r(2)－ eq \r(3)＝－ eq \r(2)；
(3)原式＝－8× eq \f(1,4)－4÷2＝－4.
练习
1．教材P56 练习第2，3，4题．
2．下列各组数中，互为相反数的是(D)
A．－3与 eq \r(3) B．－ eq \r(3)与 eq \f(1,\r(3))
C．|－ eq \r(2)|与－(－ eq \r(2)) D．( eq \r(2))2与 eq \r(3,(－2)3)
3．计算：3 eq \r(3)÷ eq \r(2)× eq \f(1,\r(2))＝__ eq \f(3,2) eq \r(3)__．
4．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： eq \r(a2)－|b－a|－ eq \r((b＋c)2).
解：由图可知，a<0，b－a>0，b＋c<0.∴原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．实数的性质．
2．实数的运算．
3．实数运算的应用．
1．作业布置
(1)教材P57～58 习题6.3第3，5，6，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
正方形的边长
1
2
0.5
eq \f(2,3)
正方形的面积
1
4
0.25
eq \f(4,9)
正方形的面积
1
4
0.36
49
正方形的边长
1
2
0.6
7
a
0.000 4
0.04
4
400
eq \r(a)
0.02
0.2
2
20
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
教师备课 素材示例
●情景导入 2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船成功发射，中华民族朝向辽阔太空的又一次远征开始了．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道正常运行的速度是在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)，而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s)．v1，v2的大小满足v eq \\al(2,1)＝gR，v eq \\al(2,2)＝2gR(g，R是固定的常量)．怎样求v1，v2的值呢？这就要用到平方根的概念，也就是本节的主要学习内容．
【教学与建议】教学：利用感染力和新闻，使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．建议：针对第一、二宇宙速度的概念教师给予简明扼要的讲解．
●置疑导入 学校要举行美术作品比赛，张勋想裁出一块面积为36 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？若由于展台的缩小，要求张勋改用一块面积为30 dm2的正方形画布作画，则这块正方形画布的边长大致应取多少？请你说一说解决问题的思路．
【教学与建议】教学：根据逆运算的方法，由62＝36反推正方形的边长．建议：学生不能通过口算的方法计算出面积是30 dm2的正方形的边长，自然引入新课．
命题角度1 求一个数的算术平方根
根据平方与开平方互为逆运算，由原数写出此数的算术平方根．
【例1】16的算术平方根是(B)
A．±4 B．4 C．－4 D．8
【例2】(1)9的算术平方根为__3__；
(2)0.36的算术平方根是__0.6__.
命题角度2 已知算术平方根求原数
利用算术平方根的定义计算即可得到结果，熟记常用平方数的算术平方根．
【例3】(1)若一个数的算术平方根是4，则这个数是__16__；
(2)若一个数的算术平方根是 eq \f(4,5)，则这个数是__ eq \f(16,25)__ .
【例4】3＋a的算术平方根是5，则a的值为__22__．
命题角度3 求算术平方根的算术平方根
此种类型题目，重点考查算术平方根的定义，实际是求一个非负数的算术平方根的算术平方根．
【例5】 eq \r(81)的算术平方根是__3__.
【例6】 eq \r(10 000)的算术平方根是__10__．
命题角度4 利用算术平方根的非负性求值
算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即 eq \r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0.
【例7】已知x，y有理数，且 eq \r(x－1)＋3|y－2|2＝0，则x－y＝__－1__．
【例8】若|a－2|＋ eq \r(a＋b)＝0，则ab＝__－4__．
高效课堂 教学设计
1．理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．
▲重点
1．理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．
2．会求一个正数的算术平方根．
▲难点
掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．
◆活动1 新课导入
在我校举行的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，若知道画布的边长，你能计算出它们的面积吗？若知道画布的面积，你能求出它们的边长吗？
表一
表二
表一：已知一个正数，求这个正数的平方．
表二：已知一个正数的平方，求这个正数．
表一和表二中的两种运算有什么关系？
学生完成并交流展示．
◆活动2 探究新知
1．教材P40 问题．
提出问题：
(1)你能完成问题中的填表吗？找出它们的共同点．
(2)什么叫做算术平方根？
(3)算术平方根的被开方数有什么特点？
(4)0的算术平方根是多少？
(5)算术平方根与被开方数有什么关系？
(6)什么样的数有算术平方根？
(7)式子 eq \r(a)成立，则a应满足什么条件？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的__算术平方根__.a的算术平方根记作 eq \r(a)，读作“根号a”，a叫做__被开方数__.0的算术平方根是__0__．
2．由算术平方根的定义知：a≥0， eq \r(a)≥0，即算术平方根的被开方数为__非负数__．
3．被开方数越大，对应的算术平方根也__越大__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P40 例1.
例2 计算下列各式：
(1) eq \r(1\f(7,9))；(2) eq \r(0.81)－ eq \r(0.04)；(3) eq \r(412－402).
解：(1)原式＝ eq \f(4,3)；
(2)原式＝0.9－0.2＝0.7；
(3)原式＝ eq \r(81)＝9.
例3 已知|a＋7|＋ eq \r(2a－3b－4)＝0，求a2－20b的算术平方根．
解：∵|a＋7|≥0， eq \r(2a－3b－4)≥0，∴a＋7＝0，且2a－3b－4＝0，解得a＝－7，b＝－6.∴ eq \r(a2－20b)＝ eq \r(169)＝13.
练习
1．教材P41 练习第1，2题．
2．下列说法正确的是(A)
A．25是625的算术平方根
B．±4是16的算术平方根
C．－6是(－6)2的算术平方根
D．0.01是0.1的算术平方根
3．(1)36的算术平方根是__6__，0.49的算术平方根是__0.7__，2 eq \f(1,4)的算术平方根是__ eq \f(3,2)__；
(2)15是__225__的算术平方根， eq \f(1,2)是__ eq \f(1,4)__的算术平方根，__1__的算术平方根是1.
4．求下列各式的值．
(1) eq \r(16)＋ eq \r(\f(1,49))；
解：原式＝4 eq \f(1,7)； (2) eq \r(52－42)－ eq \r(62＋82)＋ eq \r((－2)2)；
解：原式＝－5；
(3) eq \r(1－0.36)＋ eq \r(\f(9,64))；
解：原式＝ eq \r(0.64)＋ eq \f(3,8)
＝ eq \f(47,40)； (4) eq \r(0.09)－ eq \r(0.36)＋ eq \r((－6)2)× eq \r(0.22).
解：原式＝0.3－0.6＋6×0.2
＝0.9.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．算术平方根的概念．
2．求一个数的算术平方根．
3．算术平方根非负性的运用．
1．作业布置
(1)教材P47 习题6.1第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
教师备课 素材示例
●复习导入 1.什么叫算术平方根？判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根．
100， eq \f(16,9)， eq \f(25,121)，0，－0.003 6，(－2)2，－49.
2．要剪出一块面积为2 dm2的正方形钢板，则钢板的边长应是多少？这个正方形的边长大约有多长？
【教学与建议】教学：复习算术平方根的概念及性质，由算术平方根的概念引出 eq \r(2)的大小估计．建议：由问题2导入课题．
●情景导入 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．
【教学与建议】教学：用两个面积是1的小正方形拼成面积是2的大正方形．通过实践操作激发学生学习兴趣和好奇心．建议：小组合作操作、观察交流．
命题角度1 估算算术平方根
通过反复夹逼运算可以得到无理数的较为精确的估计值．
【例1】估计 eq \r(17)的值在(C)
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
【例2】若两个连续整数x，y满足x< eq \r(5)＋1
熟练掌握用计算器求一个数的算术平方根的方法步骤是解题的关键．
【例3】用计算器计算－ eq \r(4.326 5)的结果约为(A)
A．－2.080 024 04 B．－2.340 356 08
C．－2.078 043 62 D．－2.093 452 19
【例4】利用计算器求 eq \r(13)的值．(精确到0.001)
解：按键 eq \x(\r( ))13 eq \x(＝)，显示：3.605 551 275，所以 eq \r(13)≈3.606.
命题角度3 根据已知的算术平方根求相关的数据的算术平方根
当被开方数的小数点每向左(或向右)移动两位时，它的算术平方根的小数点就相应地向左(或向右)移动一位．
【例5】按要求填空：
(1)填表；
(2)根据你发现的规律填空：
①已知 eq \r(7.2)≈2.683，则 eq \r(720)≈__26.83__， eq \r(0.000 72)≈__0.026_83__；
②已知 eq \r(0.003 8)≈0.061 64， eq \r(x)≈61.64，则x≈__3_800__．
命题角度4 运用估算的数学方法确定一个数的整数部分和小数部分
根据被开方数与相关完全平方数的大小比较确定被开方数的整数部分，再用此数减去整数部分即为小数部分．
【例6】已知a是 eq \r(8)的整数部分，b是 eq \r(8)的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
解：∵ eq \r(4)< eq \r(8)< eq \r(9)，即2< eq \r(8)<3，
∴ eq \r(8)的整数部分a＝2， eq \r(8)的小数部分b＝ eq \r(8)－2，
(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋( eq \r(8)－2＋2)2＝－8＋8＝0.
高效课堂 教学设计
1．会用计算器求一个正数的算术平方根．
2．会比较两个带根号式子的大小．
▲重点
1．会用计算器求一个正数的算术平方根．
2．掌握算术平方根的估算及比较两个数大小的方法．
▲难点
掌握算术平方根的估算及比较两个数大小的方法．
◆活动1 新课导入
1．什么叫正数a的算术平方根？如何表示正数a的算术平方根？
2．下列各式中，计算正确的是(B)
A． eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(1,4) B． eq \r(2\f(1,4))＝1 eq \f(1,2)
C． eq \r(4＋\f(9,16))＝2＋ eq \f(3,4) D． eq \r(132－72)＝13－7＝6
3．若 eq \r(2x－1)＋ eq \r(1－2x)＋1有意义，则x满足的条件是__x＝ eq \f(1,2)__．
4． eq \r(3)有多大呢？你能比较 eq \r(3)与2的大小吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P41 第1个探究．
提出问题：
(1)能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
(2)你能根据算术平方根的意义由大正方形的面积求出大正方形的边长吗？
(3)结合图6.11，小正方形的对角线长是多少？
学生完成并交流展示．
2．教材P41 第2个探究及P42 例2前面部分内容．
提出问题：
(1) eq \r(2)有多大？如何估算一个数的算术平方根？
(2)如何求 eq \r(2)的近似值？
(3)你是如何理解无限不循环小数的？
学生完成并交流展示．
3．教材P43 探究及以下内容．
提出问题：
(1)如何用计算器求算术平方根？
(2)如何比较两个算术平方根的大小？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
估算：在确定一个正数的算术平方根时，可以通过每次增加一位小数计算平方与被开方数比较大小，如此进行下去，在精确度范围内逐步确定出正数的算术平方根的取值范围，这种方法叫做夹逼法．
◆活动4 例题与练习
例1 估算 eq \r(3)的大小(结果保留两位小数)．
解：∵12＝1，22＝4，∴1< eq \r(3)<2.∵1.72＝2.89，1.82＝3.24，∴1.7< eq \r(3)<1.8.
∵1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6，∴1.73< eq \r(3)<1.74.
又∵1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289，∴1.732< eq \r(3)<1.733，
∴ eq \r(3)≈1.73.
例2 用计算器求下列各式的值(精确到0.001)：
(1) eq \r(5.72)；(2) eq \r(2 012)；(3) eq \r(\f(89,3)).
解：(1) eq \r(5.72)≈2.392；(2) eq \r(2 012)≈44.855；(3) eq \r(\f(89,3))≈5.447.
例3 教材P43 例3.
思考：3 eq \r(50)就是__3× eq \r(50)__．
例4 比较下列各组数的大小：
(1) eq \r(5)与1.9；(2) eq \f(\r(6)＋1,2)与1.5.
解：(1)∵5>4，∴ eq \r(5)> eq \r(4)，即 eq \r(5)>2，∴ eq \r(5)>1.9；
(2)∵6>4，∴ eq \r(6)> eq \r(4)，∴ eq \r(6)>2，∴ eq \f(\r(6)＋1,2)> eq \f(2＋1,2)＝1.5，即 eq \f(\r(6)＋1,2)>1.5.
练习
1．教材P44 练习第1，2题．
2．下列选项中的整数，与 eq \r(17)最接近的是(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．比较大小．
(1) eq \r(14)__<__ eq \r(15)； (2)6__>__ eq \r(35).
4．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ eq \f(d3,900)估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．如果雷雨区域的直径为9 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
解：∵t2＝ eq \f(d3,900)，∴t＝ eq \r(\f(d3,900)).
将d＝9代入得t＝ eq \r(\f(93,900))＝ eq \r(\f(81,100))＝0.9.
答：这场雷雨大约能持续0.9 h．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．估算算术平方根和比较数的大小．
2．用计算器计算一个正数的算术平方根．
1．作业布置
(1)教材P48 习题6.1第7，9，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 平方根
教师备课 素材示例
●置疑导入 五一，妈妈带小玲到洪山公园玩，小玲发现公园里有好多正方形的草坪，好奇地问妈妈：“这些正方形草坪的边长是多少？”妈妈说：“每块草坪的面积都是a平方米，你说边长是多少？”小玲说，“边长的平方是面积，把面积开平方，得到的数就是边长呗！”爸爸又问：“如果x2＝a，那么x就是边长？”“对啊，不然呢？”请问，小玲说得正确吗？
【教学与建议】教学：由误认为开平方与取算术平方根是一回事，导入课题，吸引学生注意力．建议：学生通过分析讨论、举例，能发现该种说法的错误所在．
●复习导入 1.一般地，如果一个__正数x__的平方等于a，即x2＝a，那么这个__正数x__叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是__0__.
2．填空：(1)22＝__4__，(－2)2＝__4__；
(2)0.32＝__0.9__，(－0.3)2＝__0.09__.
3．平方等于81的数有几个？分别是什么？这些数之间有什么关系？平方为16，25的数呢？
4．如何得到一个正数的平方根？一个正数的平方根有几个？它们是什么关系？
【教学与建议】教学：由复习算术平方根开始，逐渐引入平方根的概念，引起学生的认知冲突，从而导入平方根的概念．建议：找学生回答，及时纠错，激发其学习兴趣．
命题角度1 求一个数的平方根
正确理解平方根的概念，准确求出一个数的平方根．
【例1】16的平方根是(B)
A．4 B．±4 C． eq \r(8) D．± eq \r(8)
【例2】下列说法错误的是(D)
A． eq \r(0.16)＝0.4 B．± eq \r(0.25)＝±0.5
C．3是9的一个平方根 D．0没有平方根
命题角度2 概念的双重应用
此类题目主要考查算术平方根和平方根的概念，学生往往只求一次平方根．
【例3】 eq \r(81)的平方根是__±3__， eq \r(1)的平方根是__±1__．
【例4】已知± eq \r(x＋4)＝±3，则x＝__5__．
命题角度3 利用平方根的性质求解
平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【例5】一个正数的平方根分别是a＋1和a－3，则a＝__1__.
【例6】若m和n是同一个数的平方根，且m≠n，则(m＋n)100＝__0__．
命题角度4 根据平方根的意义解方程
应用开平方解方程的基本步骤：(1)将方程变形为x2＝a(a≥0)或(ax＋b)2＝c(a≠0，c≥0)的形式；(2)直接开平方，得x＝± eq \r(a)或ax＋b＝± eq \r(c)；(3)解一元一次方程即可求出x的值．
【例7】求下列各式中x的值：(1)81x2－49＝0；(2)(3x－1)2＝(－5)2.
解：(1)81x2＝49，x2＝ eq \f(49,81)，故x＝± eq \f(7,9)；
(2)(3x－1)2＝(－5)2，则3x－1＝±5，解得x＝2或x＝－ eq \f(4,3).
高效课堂 教学设计
1．掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别．
2．能用符号正确地表示一个数的平方根．
3．理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系．
▲重点
平方根的概念和求数的平方根．
▲难点
平方根与算术平方根的联系与区别．
◆活动1 新课导入
(1)如果一个数的平方等于9，那么9的算术平方根是__3__．
(2) eq \f(2,5)的平方等于 eq \f(4,25)，那么 eq \f(4,25)的算术平方根是__ eq \f(2,5)__．
(3)展厅的地面是正方形，其面积为49 m2，则边长为__7__m.
(4)请同学们思考一下，还有没有平方等于9， eq \f(4,25)，49的其他数？
◆活动2 探究新知
1．教材P44～45 部分内容．
提出问题：
(1)如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
(2)完成教材P45表格，思考：一对互为相反数的两个数的平方，结果是什么关系？你从中得出什么结论？
(3)什么叫做平方根和开平方？
(4)平方与开平方有什么联系？
(5)开平方时，被开方数可以是任意数吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P45 思考及P46 部分内容．
提出问题：
(1)如何得到一个正数的平方根？一个正数的平方根有几个？它们是什么关系？
(2)0的平方根是多少？负数有平方根吗？为什么？
(3)当a≥0时，a的平方根如何表示？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__，记为x＝± eq \r(a).
2．求一个数a的平方根的运算叫做__开平方__，开平方与平方互为逆运算．
3．0的平方根是__0__，负数__没有__平方根，正数有__两__个平方根，它们互为__相反数__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P46 例5.
思考：知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根，为什么？
例2 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
例3 求下列各式中x的值：
(1)x2＝361，(2)81x2－49＝0；(3)49(x2＋1)＝50；(4)(3x－1)2＝(－5)2.
解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝± eq \r(361)＝±19；(2)整理81x2－49＝0，得x2＝ eq \f(49,81)，∴开平方得x＝± eq \r(\f(49,81))＝± eq \f(7,9)；(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ eq \f(1,49)，∴开平方得x＝± eq \r(\f(1,49))＝± eq \f(1,7)；(4)∵(3x－1)＝(－5)2，∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－ eq \f(4,3).综上所述，x＝2或－ eq \f(4,3).
练习
1．教材P46～47 练习第1，2，3，4题．
2．下列计算正确的是(D)
A． eq \r(25)＝±5 B．± eq \r(9)＝3
C． eq \r((－3)2)＝±3 D．± eq \r(16)＝±4
3．(1)若x的平方根是±2，则 eq \r(x)＝__2__；
(2)若 eq \r(x)＝2，则x＝__4__；
(3)若 eq \r(x)的平方根是±2，则x＝__16__．
4．2a－1的平方根为± eq \r(3)，3a－2b＋1的平方根为±3，求4a－b的平方根．
解：∵2a－1的平方根为± eq \r(3)，
∴2a－1＝3，
∴a＝2.
∵3a－2b＋1的平方根为±3，
∴3×2－2b＋1＝9，
∴b＝－1，
∴4a－b＝9，
∴4a－b的平方根为±3.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．掌握平方根和开平方的概念，会求某个数的平方根．
2．平方根与算术平方根的区别与联系．
3．运用平方根的概念和性质解决问题．
1．作业布置
(1)教材P47～48 习题6.1第3，4，8，11题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
6.2 立方根
教师备课 素材示例
●情景导入 如图所示的魔方，体积为125 cm3，你能计算出此魔方的棱长是多少吗？
(1)在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题？
(2)你能找出一个数，使这个数的立方等于125吗？
(3)从这个问题中可以抽象出一个什么数学概念？
【教学与建议】教学：由熟悉的魔方提出问题，引出立方根的概念，能较强烈地提升学生探究问题的欲望．建议：加强与平方根概念的类比学习，让学生体会类比获取新知这一重要方法．
●类比导入 1.平方根的概念是什么？如何用符号表示数a(a≥0)的平方根？
2．正数有几个平方根？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？
3．0.13＝0.001； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))) eq \s\up12(3)＝－ eq \f(27,64)；03＝0.
4．一个正方体体积为8，棱长为a，可得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？
【教学与建议】教学：引导学生采用类比的方法来学习立方根的相关概念及性质，有利于学生快速掌握新知识．建议：复习提问到新课导入由易到难，选取不同层次学生回答．
命题角度1 立方根的性质
根据立方根的性质“正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0”解题．
【例1】下列各数中，立方根一定是负数的是(C)
A．－a B．－a2 C．－a2－1 D．－a2＋1
【例2】立方根等于本身的数有__3__个，分别是__0，1，－1__．
命题角度2 求立方根的值
开立方与立方互为逆运算，解答此类问题时首先应理解式子表示的意义，再进行计算．
【例3】 eq \r(3,－\f(1,64))的值是(B)
A． eq \f(1,4) B．－ eq \f(1,4) C． eq \f(1,8) D．－ eq \f(1,8)
【例4】下列计算错误的是(B)
A． eq \r(3,－27)＝－3 B． eq \r(3,－\f(1,8))＝－2
C．－ eq \r(3,－\f(27,8))＝ eq \f(3,2) D． eq \r(3,(－4)3)＝－4
命题角度3 立方根与平方根有关的计算
解决此类问题，分别开平方或开立方求值，然后进行计算．
【例5】计算： eq \r(3,－27)＋ eq \r((－3)2)－ eq \r(3,－1)＝__1__．
【例6】已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求b－2a＋1的立方根．
解：∵2a－1的平方根是±3，∴2a－1＝9，解得a＝5.∵3a＋b－1的算术平方根是4，∴3a＋b－1＝16.把a＝5代入，得3×5＋b－1＝16，解得b＝2，∴b－2a＋1＝2－10＋1＝－7，∴b－2a＋1的立方根为 eq \r(3,－7).
命题角度4 利用立方根的意义解方程
应用开立方解方程的基本步骤：(1)将方程变形为x3＝a或(mx＋n)3＝c(m≠0)的形式；(2)直接开立方，得x＝ eq \r(3,a)或mx＋n＝ eq \r(3,c)；(3)解一元一次方程即可求出x的值．
【例7】求下列各式中x的值：(1)x3＋1＝ eq \f(37,64)；(2)(x－1)3＝－216.
解：(1)∵x3＋1＝ eq \f(37,64)，∴x3＝－ eq \f(27,64)，∴x＝－ eq \f(3,4)；
(2)∵(x－1)3＝－216，∴x－1＝－6，∴x＝－5.
命题角度5 平方根或立方根与方程的综合
平方根或立方根的逆用方法：(1)如果一个数x是a的平方根，那么a＝x2；(2)如果一个数x是a的立方根，那么a＝x3.
【例8】一个正数a的两个平方根是2x－2和6－3x，则17＋3a的立方根为__5__.
【例9】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，则x2＋y2的算术平方根是__10__．
高效课堂 教学设计
1．了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根．
2．了解立方与开立方互为逆运算，会用立方运算或计算器求某数的立方根．
3．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算．
▲重点
立方根的概念及求法．
▲难点
立方根与平方根的区别．
◆活动1 新课导入
1．某化工厂使用棱长1 m的正方体储气罐储藏气体，现在要造一个新的正方体储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的棱长是原来正方体棱长的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
2．我们知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，请仿照平方根的定义，给数x的立方根下一个定义．
学生完成并交流展示．
◆活动2 探究新知
1．教材P49 问题．
提出问题：
(1)正方体的体积公式是什么？
(2)正方体的体积为27 m3，它的棱长是多少米？
(3)什么叫做立方根？
(4)什么叫做开立方？开立方与立方有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P49 探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空．
(2)通过填空，你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
(3)如何表示一个数的立方根？立方根的被开方数可以是任意数吗？
(4)你能说出一个数的平方根与立方根有什么不同吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P50 探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空．
(2)通过填空，你能发现什么规律？
学生完成并交流展示．
4．教材P51 探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__立方根__或三次方根，即若x3＝a，则x叫做a的__立方根__．
2．正数的立方根是__正数__，负数的立方根是__负数__，0的立方根是__0__．
3．a的立方根记作__ eq \r(3,a)__，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略．
4．求一个数立方根的运算叫做__开立方__，开立方与立方互为__逆运算__．
5．任意一个数的相反数的立方根等于这个数的立方根的相反数，即 eq \r(3,－a)＝__－ eq \r(3,a)__.
6．被开方数的小数点向左(右)每移动三位时，它的立方根的小数点相应地向左(右)移动一位．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P50 例．
例2 求下列各式中的x.
(1)27x3－8＝0；(2) eq \f(1,4)(2x＋3)3＝54.
解：(1)∵27x3－8＝0，∴27x3＝8，x3＝ eq \f(8,27)，∴x＝ eq \r(3,\f(8,27))，即x＝ eq \f(2,3)；
(2)∵ eq \f(1,4)(2x＋3)3＝54，∴(2x＋3)3＝216，∴2x＋3＝ eq \r(3,216)＝6，即x＝ eq \f(3,2).
例3 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入，解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10.
练习
1．教材P51 练习第1，2，3，4题．
2．下列说法中，不正确的是(D)
A．0.064的立方根是0.4 B．－8的立方根是－2
C．0的立方根是0 D．216的立方根是±6
3．4 eq \f(17,27)的立方根为__ eq \f(5,3)__，－ eq \f(2,3)是__－ eq \f(8,27)__的立方根．
4．如果A＝ eq \r(a－2b＋3,a＋3b)，为a＋3b的算术平方根；B＝ eq \r(b＋1,1－a2)，为1－a2的立方根，求A－B的值．
解：根据题意，得a－2b＋3＝2，b＋1＝3，∴b＝2，则a－2×2＋3＝2，a＝3.∴A＝ eq \r(a＋3b)＝ eq \r(9)＝3，B＝ eq \r(3,1－a2)＝ eq \r(3,－8)＝－2.∴A－B＝3＋2＝5.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．立方根的概念．
2．立方根的性质及表示．
3．用计算器计算立方根．
1．作业布置
(1)教材P51～52 习题6.2第1，2，3，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
6.3 实数
第1课时 实数的概念
教师备课 素材示例
●置疑导入 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类．
问题：1.把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
5，－ eq \f(3,4)， eq \f(45,8)， eq \f(7,11)， eq \f(11,7)， eq \f(5,12).
发现：这些分数都可以写成有限小数或无限循环小数．
问题：2.追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
阅读下列材料：设x＝0. eq \(3,\s\up6(·))＝0.333…①，
则10x＝3. eq \(3,\s\up6(·))＝3.333…②，
②－①，得9x＝3，因此x＝ eq \f(1,3)，即0. eq \(3,\s\up6(·))＝0.333…＝ eq \f(1,3).
根据上面提供的方法，你能把0. eq \(7,\s\up6(·))，0. eq \(1,\s\up6(·)) eq \(4,\s\up6(·))化成分数吗？是不是任何无限循环小数都可以化成分数？发现任何一个无限循环小数都能化成分数．
【教学与建议】教学：通过问题导入，理解有理数的性质，循序渐进，逐步深入教学．建议：让学生动手计算，讨论交流，学生之间互相补充，教师适时点拨．
●复习导入 问题1：什么是有理数？有理数怎样分类？
问题2：什么是无限不循环小数？你知道的无限不循环小数都有哪些形式？
问题3：倒数、绝对值、相反数等概念是如何规定的？
问题4：有理数都有哪些运算法则及运算性质？
【教学与建议】教学：通过有理数相关知识的复习类比无理数的相关知识，提高学生类比学习的能力．建议：课前让学生提前复习相关知识，理解有理数的分类、运算法则及运算性质．
命题角度1 无理数的识别
常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数，第二类是化简后含π的数，第三类是无限不循环的数．
【例1】下列实数是无理数的是(C)
A．3.14 B． eq \r(9) C． eq \r(3) D． eq \f(1,8)
【例2】下列各数3.141 592 6， eq \r(9)，1.212 212 221…， eq \f(1,7)，2－π，－2 022， eq \r(3,4)中，无理数有__1.212_212_221…，2－π， eq \r(3,4)__．
命题角度2 实数的分类
实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数，0，负实数三类，而有理数分为整数和分数．
【例3】下列选项中错误的是(C)
A． eq \r(5)是无理数 B．π＋1是无理数
C． eq \f(\r(3),3)是分数 D． eq \r(7)是无限不循环小数
【例4】把下列各数的序号填入相应的集合内．
①10，②－π，③ eq \r(3,0.001)，④－3.14，⑤ eq \r(2)，⑥0，⑦ eq \f(2,5)，⑧－1，⑨ eq \r(8)，⑩1.010 010 001.
整数集合{__①⑥⑧__…}；
负分数集合{__④__…}；
正有理数集合{__①③⑦⑩__…}；
无理数集合{__②⑤⑨__…}．
命题角度3 实数与数轴的关系
实数与数轴上的点是“一一对应”关系．解决此类问题要先在数轴上表示出各数，进而求解．
【例5】如图，正方形的边长为1，点P是半圆与数轴的交点，
则点P对应的实数为(B)
A． eq \r(2) B． eq \r(2)＋1
C．2.4 D．2.5
【例6】如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，在这四个点中最适合表示 eq \r(10)的点是__Q__.
高效课堂 教学设计
1．了解无理数和实数的概念，会将实数按一定的标准进行分类．
2．知道实数与数轴上的点一一对应．
▲重点
正确理解实数的概念．
▲难点
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解．
◆活动1 新课导入
交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16 eq \r(df)，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数．在一次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝1.2.肇事汽车v＝16× eq \r(20×1.2)＝16 eq \r(24).
对数 eq \r(24)提出如下问题：
(1)可能是整数吗？
(2)可能是分数吗？
(3)如果既不是整数又不是分数，那么 eq \r(24)究竟是什么数呢？
这节课我们将来学习并解决这个问题．
◆活动2 探究新知
1．教材P53 内容．
提出问题：
(1)什么是无限不循环小数？
(2)什么样的数叫无理数？
(3)无理数有几种表现形式？
(4)实数包括哪些数？如何对实数进行分类？
学生完成并交流展示．
2．教材P54 探究及其以下部分内容．
提出问题：
(1)你能在图6.31中表示出－π所对应的点吗？
(2)任意一个无理数是否可以用数轴上的一个点来表示？
(3)实数与数轴上的点具有一种什么样的关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或无限循环小数都是__有理数__．
2．无限不循环的小数叫__无理数__．
3．有理数和无理数统称__实数__．
4．实数的两种分类：
5．当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个__点__来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个__实数__．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__大__．
◆活动4 例题与练习
例1 把下列各数填在相应的大括号内：
0， eq \r(8)，－ eq \r(3,\f(8,27))， eq \r(16)，－ eq \r(27)，－2， eq \r(3)， eq \f(33,8)， eq \f(π,4)，0.616 616 661….
自然数集合{ 0， eq \r(16)， …}；
有理数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( 0，－\r(3,\f(8,27))，\r(16)，－2，\f(33,8)， …))；
无理数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( \r(8)，－\r(27)，\r(3)，\f(π,4)，0.616 616 661…， …))；
正数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( \r(8)，\r(16)，\r(3)，\f(33,8)，\f(π,4)，0.616 616 661…， …))；
整数集合{ 0， eq \r(16)，－2， …}；
非负整数集合{ 0， eq \r(16)， …}；
分数集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1( －\r(3,\f(8,27))，\f(33,8)， …)).
例2 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是(D)
A．π－1 B．－π－1 C．－π＋1 D．π－1或－π－1
例3 如图，数轴上点A和点B分别表示－1和 eq \r(3)，点B关于点A的对称点为C.求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和 eq \r(3)，∴点B到点A的距离为1＋ eq \r(3)，则点C到点A的距离也为1＋ eq \r(3).设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋ eq \r(3)，∴x＝－2－ eq \r(3).∴点C所表示的实数为－2－ eq \r(3).
练习
1．教材P56 练习第1题．
2．如图，表示 eq \r(7)的点在数轴上哪两个字母之间(A)
A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，再爬向点C停止，已知点A所表示的数为－ eq \r(3)，点C所表示的数为2，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值；
(2)求BC的长．
解：(1)m－(－ eq \r(3))＝2，∴m＝2－ eq \r(3)；
(2)BC＝|2－(2－ eq \r(3))|＝ eq \r(3).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．无理数和实数的概念．
2．实数的分类．
3．实数与数轴的关系．
1．作业布置
(1)教材P57 习题6.3第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 实数的运算
教师备课 素材示例
●复习导入 1.5的相反数是__－5__，0的绝对值是__0__，－1的相反数是__1__．
2．有理数的运算法则是什么？
先算高级运算；同级运算要从左至右计算；有括号的要先算括号里面的．
3．计算：(1)(－2)3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2÷\f(1,2)))－|－3|×(－1)2 023；(2)－43÷(－32)－[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up12(3)×(－32)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)))].
【教学与建议】教学：通过复习有理数的运算类比到实数的运算，提高学生的理解能力．建议：复习问题学生自主解决，教师及时纠错．
●情景导入 如图，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10 m2，正方形卧室CEFG的面积为15 m2，小明想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？
【教学与建议】教学：由情景图可知线段BG的长是 eq \r(10)＋ eq \r(15)，导入实数的运算，提升学生探究问题的欲望．建议：可提前复习有理数的运算法则及性质．
命题角度1 实数的性质
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内完全一样．
【例1】－ eq \r(5)的相反数是(D)
A．－ eq \r(5) B．－ eq \f(\r(5),5) C．± eq \r(5) D． eq \r(5)
【例2】计算|1－ eq \r(3)|的结果为(D)
A．－1－ eq \r(3) B．1－ eq \r(3) C．1＋ eq \r(3) D． eq \r(3)－1
命题角度2 实数大小的比较
此类题的做题方法主要有：(1)先估算带根号的数的近似值，再与有理数比较；(2)若两数同号，可把两数先平方，再比较大小；(3)若两数同分母或同分子，可比较它们分子或分母的大小．
【例3】若a＝ eq \r(3,7)，b＝ eq \r(5)，c＝2，则a，b，c的大小关系为(C)
A．b
命题角度3 实数的运算
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算．有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．
【例5】下列各式中，运算正确的是(A)
A． eq \r(2)＋ eq \r(2)＝2 eq \r(2) B．3 eq \r(3)－ eq \r(3)＝3
C．2＋ eq \r(3)＝2 eq \r(3) D． eq \r((－2)2)＝－2
【例6】计算：
(1)(－1)3＋| eq \r(3)－2|＝__1－ eq \r(3)__；
(2)2 eq \r(2)＋3 eq \r(5)－3 eq \r(2)－3 eq \r(5)＝__－ eq \r(2)__．
高效课堂 教学设计
1．了解实数范围内的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值．
2．学会比较两个实数的大小．
3．了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算．
▲重点
有理数的大小比较和运算．
▲难点
带有绝对值的有理数的运算．
◆活动1 新课导入
1．下列关于 eq \r(2)的判断：① eq \r(2)是无理数；② eq \r(2)是实数；③ eq \r(2)是－2的算术平方根；④1< eq \r(2)<2.其中正确的是__①②④__．(填序号)
2．2的相反数是__－2__，－1的绝对值是__1__．
3．计算：
(1)－5 eq \f(2,3)＋8 eq \f(2,3)÷(－2)× eq \f(2,13)－ eq \f(2,3)；
(2)－22× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1\f(1,2)))－32÷(－2)2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1\f(1,4))).
◆活动2 探究新知
教材P54 思考．
提出问题：
(1)请完成思考中的填空．
(2)通过填空你能发现有理数的相反数、绝对值和实数的相反数、绝对值有什么联系？
(3)由此你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．数a的相反数是__－a__，这里a表示任意一个实数．
2．一个正实数的绝对值是__它本身__；一个负实数的绝对值是__它的相反数__；0的绝对值是__0__．即设a表示一个实数，则
|a|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( a (a>0)，, 0 (a＝0)，, －a (a<0).))
3．实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且__正数及0__可以进行开平方运算，__任意一个实数__可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
4．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替__无理数__，再进行计算．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P55 例1.
例2 教材P56 例2.
例3 教材P56 例3.
例4 计算：(1) eq \r(3,0.125)－ eq \r(3\f(1,16))＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,8)))\s\up12(2))－ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))；
(2)( eq \r(3)＋ eq \r(2))－(2 eq \r(2)＋ eq \r(3))；
(3)－23× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \r(3,－64)÷|－2|.
解：(1)原式＝0.5－ eq \r(\f(49,16))＋ eq \r(3,\f(1,64))－ eq \f(1,2)＝0.5－ eq \f(7,4)＋ eq \f(1,4)－0.5＝－1.5；
(2)原式＝ eq \r(3)＋ eq \r(2)－2 eq \r(2)－ eq \r(3)＝－ eq \r(2)；
(3)原式＝－8× eq \f(1,4)－4÷2＝－4.
练习
1．教材P56 练习第2，3，4题．
2．下列各组数中，互为相反数的是(D)
A．－3与 eq \r(3) B．－ eq \r(3)与 eq \f(1,\r(3))
C．|－ eq \r(2)|与－(－ eq \r(2)) D．( eq \r(2))2与 eq \r(3,(－2)3)
3．计算：3 eq \r(3)÷ eq \r(2)× eq \f(1,\r(2))＝__ eq \f(3,2) eq \r(3)__．
4．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： eq \r(a2)－|b－a|－ eq \r((b＋c)2).
解：由图可知，a<0，b－a>0，b＋c<0.∴原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．实数的性质．
2．实数的运算．
3．实数运算的应用．
1．作业布置
(1)教材P57～58 习题6.3第3，5，6，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
正方形的边长
1
2
0.5
eq \f(2,3)
正方形的面积
1
4
0.25
eq \f(4,9)
正方形的面积
1
4
0.36
49
正方形的边长
1
2
0.6
7
a
0.000 4
0.04
4
400
eq \r(a)
0.02
0.2
2
20
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