北京市顺义区第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京市顺义区第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的．）
1．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：的单位：），则时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
2．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项B．第4项C．第3和第4项D．第7项
3．已知函数，则在点处的切线斜率是（ ）
A．B．C．2D．
4．下列函数的求导运算中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数）
则等于（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
6．在0，1，2，3，4，5这6个数中任取4个,可组成无重复数字的四位数的个数（ ）
A．240B．300C．320D．360
7．已知函数的导函数的图象如图所示，那么对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在处取得最大值D．在处取得极大值
8．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
9．若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ）
A．B．
C．）D．
第二部分非选择题（共110分）
二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）
11．已知函数，则______.
12．袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率是______.
13．已知，则______；______.（用数字作答）．
14．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法.（用数字作作答）
15．已知函数，下列命题中：
①函数有且仅有两个零点；②函数在区间和内各存在1个极值点；
③函数不存在最小值；④，使得；
⑤存在负数，使得方程有三个不等的实数根．
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题（满分85分）
16．（本小题满分14分）已知的二项式系数之和是64．
（Ⅰ）求展开式中含的项的系数；
（Ⅱ）写出展开式二项式系数最大的项．
17．（本小题满分13分）已知函数在时取得极值．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅲ）若有两个零点，求的值．
18．（本小题满分13分）从一批笔记本电脑共有10台，其中品牌4台，B品牌6台．如果从中随机挑选2台，
（Ⅰ）求2台电脑中中恰好有一台品牌的概率；
（Ⅱ）求这2台电脑中A品牌台数的分布列．
19．（本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间．
（Ⅱ）若函数在时取得极值，求的值；
（Ⅲ）在第（2）问的条件下，求证：函数有最小值；
20．（本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
21．（本小题满分15分）已知函数，其中．
（Ⅰ）求证：对任意的，总有f(x)≥x恒成立；
（Ⅱ）求函数在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）当时，求证：函数在区间上存在极值．
高二数学期中考试答案
一、选择题1-5ABDDB6-10BDDAC
二、填空题11．12． 13．41，0
14．216 15．①④
三、解答题
16．（1）因为二项式系数之和为，所以．
含的项为．
（2）二项式系数最大的是第四项
17．（1）函数，求导得，
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是．
（2）由（1）知，函数的在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在区间上的最小值是-8．
（3）极大值为极小值为
有两个零点
直线与函数的图像有两个交点
或，所以或
18．（1）随机挑选两台的取法共有种；2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种2台电脑种恰有一台品牌电脑的概率是
（2）2台电脑种品牌的台数为可取0，1，2．
19.解：（1）时，
令，或0；令或；令；的单调增区间是和，单调减区间是
（2）由题意得：，
，解得：，
当时，，当或时，，
当时，，所以是极大值点，满足要求，
综上：
（3）由（2）知：在上单调递增，
在上单调递减，故在处取得极小值，且，
当时，恒成立，
综上：在处取得最小值，最小值为-1
20．解：（1）时，
因为；所以切点是，斜率是
所以；
切线方程是．
（2）．
由题意，在区间上恒成立，
因为，所以，所以在区间上恒成立．
令，则，
所以在区间上单调递增，所以的最大值为，
所以．经检验，满足题意．所以实数的取值范围为．
21．（1）依题意对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，即
对任意的恒成立；
（2）因为，则，
①当时，所以在上单调递增，
当；
②当则时时，
即在上单调递减，在上单调递增；
又，所以当时在上单调递增，所以；
当时在上单调递减，所以；
当，则；
综上可得
（3）因为，
则，
令，则，
因为，所以恒成立，所以即在上单调递增，
又，当时，所以，
所以使得，
则当时单调递减，
当单调递增，所以在处取得极小值，
即函数在区间上存在极值．0
1
2
3
4
5
0.2
0.1
0.3
0.2
0.1