北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了0分）， 经过两点的直线的斜率是， 已知圆与圆外切，则， 设aR，则“a＝1”是“直线， 椭圆的焦点坐标为等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 经过两点的直线的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）．
A 4B. C. 2D.
3. 已知圆与圆外切，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
5. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
8. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
9. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知直线与交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知向量，，则______．
12. 已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=________．
13. 点关于直线的对称点的坐标为______ .
14. 点到直线的最大距离为_____________．
15. 关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是__________.
三､解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知的顶点为，，，求：
（1）边AC上的中线所在直线的方程；
（2）边AC上的高所在直线的方程；
（3）边AC的垂直平分线的方程.
17. 已知直线.
（1）当a=1时，求两直线的距离；
（2）若.求a的值；
（3）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
18. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆标准方程；
（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的一般式方程；
（3）求过点与圆相切的直线方程.
19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点

（1）求证：
（2）求直线与平面所成角的正弦值
（3）求平面与平面的夹角的余弦值
20. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
21. 已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.
（1）当的坐标为时，求的坐标；
（2）求点的轨迹方程；
（3）求的最小值与最大值.顺义一中2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试
数学试卷
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 经过两点的直线的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点斜率公式即可求出.
【详解】经过两点的直线的斜率是.
故选：B.
2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）．
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得.
故选：A
3. 已知圆与圆外切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.
【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：，可得.
故选：D.
4. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题首先根据圆的一般式方程可知，再根据题意即可列出不等式，最后通过计算得出结果．
【详解】由圆的一般式方程可得即，解得，故选C．
【点睛】本题考查的是圆的相关性质，对圆的一般式方程的性质的了解是解决本题的关键，方程想要表示圆，则需要满足，是简单题．
5. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
6. 直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用截距式的几何意义得到，，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解.
【详解】因为直线在x，y轴上的截距分别为4，2，则，，
所以AB的中点坐标为，且，
故以线段AB为直径的圆的方程为，即
故选：B.
7. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求．
【详解】由题得方程可化为，
所以
所以焦点为
故选：A.
8. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，所以,
，所以
所以
所以,
故选：D.
9. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，
则点A到平面的距离.
故选：C
10. 已知直线与的交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两直线的交点，再解不等式组即得解.
【详解】联立解得，
由直线与的交点在第四象限可得，
解得，即实数的取值范围为．
故选：C．
二､填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知向量，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
将向量相加求模即可.
【详解】由题，
所以.
故答案为：.
12. 已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=________．
【答案】2
【解析】
【分析】首先确定圆心到直线的距离，然后求解弦长即可．
【详解】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）
圆心到直线距离，则直线经过圆的圆心，
所以弦长|AB|=2r=2．
故答案为：2．
13. 点关于直线的对称点的坐标为______ .
【答案】
【解析】
【分析】设点，根据线段的中点在直线上以及斜率得出方程组，解方程组即可得出点的坐标.
【详解】设点是点关于直线的对称点.
由已知直线的斜率为1，所以，
解得，所以点.
故答案：.
14. 点到直线的最大距离为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：直线过定点，由条件可知：点到直线的最大距离就是点到定点的距离，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】因为直线方程可化为，
不论取何值，直线都过，即点，
由题意可知：点到直线的最大距离就是点到定点的距离，由两点间距离公式可得：
，
故答案为：.
15. 关于曲线，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称，也关于轴､轴对称：②曲线围成的面积是；③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】画出曲线的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.
【详解】曲线，
则时，，
时，，
时，，
当时，，
由此画出曲线的图象如下图所示，
由图可知：
曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确.
曲线围成的面积是，②错误.
曲线上任意一点到原点的距离者不大于，③正确
曲线上的点到原点的距离的最小值为1，即，
所以④正确.
故答案为：①③④.
三､解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知的顶点为，，，求：
（1）边AC上的中线所在直线的方程；
（2）边AC上的高所在直线的方程；
（3）边AC的垂直平分线的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式得到，然后根据点斜式求直线方程即可；
（2）根据两直线垂直时斜率相乘为-1得到边上高的斜率为-2，然后写直线方程即可；
（3）由（1）（2）得的垂直平分线的斜率为-2，过点，然后写直线方程即可.
【小问1详解】
设中点为，所以，即，
所以，直线：，即，
所以边上的中线所在的直线方程为.
【小问2详解】
由题意得，所以边上高的斜率为-2，
所以边上高所在直线的方程为：，即.
【小问3详解】
由（2）得的垂直平分线的斜率为-2，
由（1）得的垂直平分线过点，
所以的垂直平分线的方程为：，即.
17. 已知直线.
（1）当a=1时，求两直线的距离；
（2）若.求a的值；
（3）写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；
（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；
（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解
【小问1详解】
当a=1时，，
所以两直线的距离为；
【小问2详解】
若，
则，
解得；
【小问3详解】
原点到直线的距离为
，
当时，
18. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆标准方程；
（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的一般式方程；
（3）求过点与圆相切的直线方程.
【答案】18. ；
19. 和；
20. 和.
【解析】
【分析】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程.
（2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为，符合要求；当斜率存在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k的值，由此能出直线l的方程.
（3）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，由直线与圆相切可得，列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，
所以，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
当斜率存在时，设直线l为，整理得，
则圆心到直线的距离，①
又因为，解得，②
由①②解得：，
所以直线方程为，整理得；
当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离，
所以其弦长为，符合题意.
综上，所求直线方程为和.
【小问3详解】
当斜率存在时，设直线l为，整理得，
则圆心到直线的距离，解得：，
所以直线方程，整理得；
当斜率不存在时，直线为；
综上，所求直线方程为和.
19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点

（1）求证：
（2）求直线与平面所成角的正弦值
（3）求平面与平面的夹角的余弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直；
（2）利用空间向量线面角公式进行求解即可；
（3）利用面面角的向量求法进行求解即可；
【小问1详解】
因为底面，且四边形是矩形，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.

则、、、、、，
所以，，
所以，
所以，得证；
【小问2详解】
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，又，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【解析】
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
21. 已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.
（1）当的坐标为时，求的坐标；
（2）求点的轨迹方程；
（3）求的最小值与最大值.
【答案】（1）或
（2）
（3）的最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）分析可知点的横坐标为，将代入圆的方程，可求得点的坐标；
（2）分析可知，利用两点间的距离公式、勾股定理化简可得出点的轨迹方程；
（3）利用圆的几何性质求出的最小值和最大值，结合可求得结果.
【小问1详解】
解：由题意可知，，而直线为轴，所以点的横坐标为，
将代入圆的方程可得，此时点的坐标为或.
【小问2详解】
解：设点，因为，为的中点，则，
连接，则，且，
所以，，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
【小问3详解】
解：因为，则点在圆内，
记圆的圆心为，半径为，则，
则，即，
所以，当点为圆与轴的负半轴的交点时，取最大值，
当点为圆与轴正半轴的交点时，取最小值，
所以，.
因此，的最小值为，最大值为.