海南省海口市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题A卷

这是一份海南省海口市第一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题A卷，共12页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1.如图，菱形ABCD中，若∠C=100°，则∠ABD的度数是（ ）

A．10°B．40°C．50°D．80°
2.在数轴上表示不等式组x+1>0x−3≤0的解集，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2−4y2=(x+y)(x−4y)B．(x+4)(x−4)=x2−16
C．x2−2x+1=(x−1)2D．x2−8x+9=(x−4)2−7
4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若∠B=70°，∠BAD:∠BAC=1:3，则∠BAD的度数是（ ）

A．22°B．40°C．44°D．45°
5.下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2−2x−1C．x2−4x+4D．x2−y2
6.如图，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2=c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB=90°，延长OA至B1，使AB1=OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至B2，使A1B2=OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，……，按此规律作等䁏直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A3B3的长及△OA2022B2022的面积分别是（ ）

A．23，22020B．22，22021C．22，22022D．22，22023
7.设三角形的三边长分别等于下列各组数，则这四个三角形中是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．3，4，5D．6，8，10
8.估计35+3的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间D． 7和8之间
9.小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）

A．小冬返回甲地的所用时间为4分钟
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟
C．小天出发14.5分钟两人相遇
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，BD平分∠ABC交边AC于点D，点E、F分别是边BD、AB上的动点，当AE+EF的值最小时，最小值为（ ）

A．6B．125C．6013D．12013
11.如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
12.如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有下列结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
13.若实数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 25
14.“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成
二、非选择题（共58分）
15.（8分）如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．

16.（10分）如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD，AE交于点F．

（1）如图1，求∠AFD的度数；
（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积；
（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD=30°，设AF=a，CF=b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由。
17.（10分）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润。
18.（10分）计算：
(1)2aa−3b；
(2)x−2yx+2y；
(3)分解因式：2m2−4mn+2n2。
19.（10分）一次函数的图象经过点A（2，1）和点B（0，2）．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图像回答下列问题：
①一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．
②当x 时，y≥3
20.（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为直线BC上一动点，连接AE并延长交过点C且与AB平行的线于点F．

(1)如图1，若点E为线段BC上的一点，BE=2CE，AE=2EF且AF=310，求AB的长；
(2)如图2，点E为线段BC上一点，过点B作BG⊥AF于G，延长BG交CF于点H，连接EH，求证：AE=BH+EH；
(3)如图3，当点E在射线BC上运动时，过点B作BG⊥AF于G，点D为AG的中点，连接CD，当AB=42时，请求出CD的最小值。
参考答案
15.【答案】见解析
【解析】【分析】利用HL定理得出Rt△ABD≌Rt△BAC即可得出∠DBA=∠CAB，再利用等腰三角形的判定得出即可．
【详解】解：证明：∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABD和Rt△BAC中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，
∴∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
即△OAB是等腰三角形．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出Rt△ABD≌Rt△BAC是解题关键。
16.【答案】（1）∠AFD =60°；（2）13S；（3）PC=a+2b，理由见解析
【解析】【分析】（1）由题意可得△CBD≌△ACE，从而∠BCD=∠CAE，如此∠AFD=∠BCD+∠ACD=60°；
(2)由等边三角形的性质可得BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，可证△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求得四边形ANQF的面积；
(3)在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，连结BM与PC交于H，由题意可证△BHC≌△CFA，可得BH=CF=b，AF=CH=a，∠PHB=60°，即可求PC的长．
【详解】解：（1）由题意，在△CBD和△ACE中，CB=AC∠B=∠ACE=60°BD=CE，
∴△CBD≌△ACE，
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=60°；
(2)∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，
∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，∴△ABM≌△CAE≌△BCD(SAS).
∴∠CAE=∠ABM=∠BCD，∠AMB=∠AEC=∠BDC，且BD=CE，
在△BDQ和△CEF中，∠ABQ=∠FCEBD=CE∠BDC=∠FEC
∴△BDQ≌△CEF(ASA)
∴S△BDQ=S△CEF，
∵BD=DN,
∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，
∵D，E是AB，BC上三等分点，
∴S△BDC=S△CEA=13S△ABC=13S，
∵四边形ANQF的面积=S△ABC−S△AEC−S△DNQ−S四边形DFEB=S−13S−13S=13S，
∴四边形ANQF的面积=13S；
(3)PC=a+2b
理由如下：如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，连结BM与PC交于H，
∵AM=CE=BD，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=CB
∴△CBD≌△ACE≌△BAM(SAS)
∴∠CAE=∠BCD=∠ABM，且∠ABC=∠ACE，
∵在△BHC和△CFA 中，∠CBH=∠ACFBC=CA∠BCH=∠FAC
∴△BHC≌△CFA(ASA)
∴BH=CF=b，AF=CH=a，
∵∠PHB=∠MBC+∠HCB=∠ABM+∠MBC=∠ABC，
∴∠PHB=60°，且∠BPD=30°
∴∠PBH=90°，且∠BPH=30°，
∴PH=2BH=2b，
∴PC=PH+HC=a+2b．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键。
17.【答案】(1)普通练习本：3元；精装练习本：10元
(2)①w=−2x+1500；②普通练习本进375本，精装练习本进125本，利润最大，最大为750元
【解析】【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额＋100精装练习本销售额=1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100元，列出方程，解方程即可；
（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本500−x个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；
②先求出x的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．
【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据题意得：
150m+100n=1450200m+50n=1100，
解得：m=3n=10，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元．
（2）解：①购买普通练习本x个，则购买精装练习本500−x个，根据题意得：
W=3−2x+10−7500−x=−2x+1500；
② ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴ x≥3500−x500−x>0，
解得：375≤x<500，
∵ W=−2x+1500中k=−2<0，
∴ W随x的增大而减小，
∴当x=375时，W取最大值，
500−375=125（个），
W最大=−2×375+1500=750（元），
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式。
18.【答案】(1)2a2−6ab
(2)x2−4y2
(3)2m−n2
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式法则计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
此题考查了单项式乘以多项式、平方差公式、因式分解等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
【详解】（1）2aa−3b
=2a2−6ab
（2）x−2yx+2y
=x2−4y2
（3）2m2−4mn+2n2
=2m2−2mn+n2
=2m−n2
19.【答案】(1)y=−12x+2
(2)①4,0；②≤−2
【解析】【分析】用待定系数法把已知两点坐标代入y=kx+b，得到二元一次方程组，求出方程组的解，得出一次函数解析式；
画出图象，通过图象得出符合题目要求的数值．
【详解】（1）解：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，
∵图象过点（2，1）和（0，2），
依题意得{2k+b=1b=2
解得{k=−12b=2
∴y=−12x+2．
（2）一次函数图象如图所示：
由图象可以看出与x轴交点坐标为(4,0)；当x≤−2时，y≥3．
故答案为：(4,0)；≤−2．
本题考查求一次函数的解析式及通过其图象解决问题，用待定系数法求解析式是必备数学能力，解题关键是准确求解二元一次方程组。
20.【答案】(1)62
(2)详见解析
(3)10−2
【解析】【分析】
（1）如图1中, 设CE=a，则AC=BC=3a，根据勾股定理可得结论；
（2）如图2中, 延长AC交BH的延长线于点T，证明△ACE≌△BCTASA,推出CE=CT, AE=BT, 证明△HCT≌△HCESAS, 推出EH=HT, 可得结论；
（3）如图3中, 取AB的中点Q, 连接CQ,DQ, 取AQ的中点R, 连接CR,DR.想办法求出CR,DR, 根据CD≥CR−DR,可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，设CE=a，
∵BE=2CE，
∴AC=BC=3a，
∵AE=2EF且AF=310，
∴AE=210，
∵∠ACE=90°，
∴AC2+CE2=AE2，
∴9a2+a2=40，
∴a=2，
∴AC=BC=6，
∴AB=2AC=62；
（2）证明：如图2中，延长AC交BH的延长线于点T．

∵BH⊥AF，∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BGE=90°，
∵∠AEC=∠BEG，
∴∠CAE=∠CBT，
∵∠ACE=∠BCT=90°，CA=CB，
∴△ACE≌△BCTASA，
∴CE=CT，AE=BT，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠ABC=45°，∠TCH=∠CAB=45°，
∴∠HCT=∠HCE，
∵CH=CH，
∴△HCT≌△HCESAS，
∴EH=HT，
∴AE=BT=BH+HT=BH+EH．
（3）解：如图3中，取AB的中点Q，连接CQ，DQ，取AQ的中点R，连接CR，DR．

∵AD=DG，AQ=QB，
∴DQ∥BG，
∵BG⊥AF，
∴QD⊥AF，
∴∠ADQ=90°，
∵AQ=BQ=12AB=22，
∴AR=RQ=2，
∴DR=AR=QR=2，
∵∠ACB=90°，CA=CB，AQ=QB，
∴CQ=12AB=22，CQ⊥AB，
∴∠CQR=90°，
∴CR=QR2+CQ2=22+222=10
∴CD≥CR−DR=10−2，
∴CD的最小值为10−2．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考压轴题。