海南省海口市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各式中不属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，，，分母中含有字母，因此是分式．
的分母中均不含有字母，因此是整式，而不是分式．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】约去分子分母的公因式 即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的乘法运算和约分，掌握“约分即是约去分子分母的公因式”是解本题的关键．
3. 下列各点在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项错误，不符合题意；
D.当时，，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
4. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7．
【详解】解：0.0000003
故选A
【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
5. 如图，已知平行四边形中，，则（ ）

A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质即可解答.
【详解】解：在平行四边形ABCD中，

∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的几何性质．
6. 已知函数，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0且x-1≥0，解可得答案．
【详解】解：根据题意，得：x-2≠0且x-1≥0，
解得：x≥1且x≠2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
7. 若点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是（ ）
A. （﹣3，5）B. （﹣3，﹣5）C. （﹣5，3）D. （﹣5，﹣3）
【答案】C
【解析】
【分析】根据P到x轴的距离可得P的纵坐标的绝对值，根据P到y轴的距离可得P的横坐标的绝对值，根据第二象限的点的符号特点可得点P的坐标．
【详解】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，
∴P纵坐标的绝对值为3，横坐标的绝对值为5，
∵点P在第二象限内，
∴横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正，
∴P的坐标为（-5，3）．
故选C．
【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离点的横坐标的绝对值．
8. 关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A. m＝2B. m＝1C. m＝3D. m＝﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
10. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
11. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD
∴∠ABE=∠CFE
∵∠ABC的平分线交AD于点E
∴∠ABE=∠CBF
∴∠CBF=∠CFB
∴CF=CB=7
∴DF=CF-CD=7-4=3
故选B
12. 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
【解析】
【分析】先计算，，然后比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查有理数大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
14. 将直线沿轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案．
【详解】解：将直线沿轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为，即．
故答案为：．
15. 如图，已知函数和的图象交于点P，关于的方程组的解是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）和y=kx（k≠0）的图象交于点P（-4，-2），
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
16. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A反比例函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题满分72分）
17.
（1）计算：；
（2）先化简：，若，请你选择一个恰当的值（是整数）代入求值．
【答案】（1）
（2）
，当时，原式或当时，原式或时，原式
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据分式的减法法则、运用平方差公式因式分解进行计算；
（2）根据分式的减法法则、除法法则、运用完全平方公式因数分解把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
在中，整数有、、0、1、2，
由题意得：、，
①当时，原式．
②当时，原式．
③当时，原式．
以上三种情况选其一代入即可．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．
（1）方程两边同乘先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）方程两边同乘先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【小问1详解】
解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
19. 近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年4月份汽油的价格．
【答案】今年4月份汽油的价格为每升9元
【解析】
【分析】设去年10月份汽油的价格为每升x元，然后根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设去年10月份汽油的价格为每升x元，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
∴今年4月份汽油的价格为每升9元，
答：今年4月份汽油的价格为每升9元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
20. 某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下列问题：
(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)出租车的起步价是8元，y＝2x＋2(2)这位乘客乘车的里程是15km
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x>3时，y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），运用待定系数法就可以求出结论；
（2）将y=32代入（1）的解析式就可以求出x的值．
【详解】(1)由图象得：
出租车的起步价是8元；
设当x>3时,y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由函数图象，得
，
解得：
故y与x的函数关系式为：y=2x+2；
(2)∵32元>8元，
∴当y=32时，
32=2x+2，
x=15
答：这位乘客乘车的里程是15km.
21. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．
【答案】【教材呈现】：见解析；【性质应用】：见解析；【拓展提升】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；
[教材呈现]由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
[性质应用]由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
[拓展提升]由，得出，，证是等腰三角形，得出，则+BF，推出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果．
【详解】[教材呈现]证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
性质应用证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，，
；
[拓展提升]解：如图2，，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
的周长，
四边形平行四边形，
，，
▱的周长，
故答案为：．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连结，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）根据函数图象，写出不等式的解集： ．
（4）点是轴上的一个动点，连结、，当是等腰三角形时，直接写出点坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；
（2）
（3）或
（4）点坐标为或或或或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，分类讨论是解答本题的关键．
（1）将，坐标代入两个函数解析式即可得到两个解析式；
（2）设直线与轴交于点，利用代入数据计算即可；
（3）根据函数图象直接写出不等式的解集即可；
（4）分三种情况①当时，②当时，③当时，利用勾股定理建立方程求出点横坐标即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，，，
，，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：设直线与轴交于点，令，则，
，
．
【小问3详解】
解：根据函数图象，不等式的解集为：或．
故答案为：或；
【小问4详解】
解：，，
，
分三种情况讨论，
①当时，设则有：
整理得：，解得，即，，
或；
②当时，，设，则有：
，
，
解得，，
或；
③当时，设，则有，则有：
，
整理得：，
．
综上分析，点坐标为或或或或．平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图1，的对角线和相交于点．
求证：．