2024届高考数学挑战模拟卷 【新课标卷】(含答案)

这是一份2024届高考数学挑战模拟卷 【新课标卷】(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则的虚部为( )
A.1B.iC.D.
2．已知全集R，设集合，，则( )
A.B.
C.D.或
3．直线与圆的位置关系是( )
A.相交B.相离C.相交或相切D.相切
4．函数的部分图象可能为( )
A.B.
C.D.
5．已知等差数列的前n项和为，且，，则当的值最小时，n的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
6．在中，点D满足.若，，，则( )
A.4B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若，那么下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在上单调递减
11．甲、乙两人独立进行3次足球射门练习，两人每次射中的概率分别为，，则( )
A.甲、乙两人射中次数的期望之和为
B.甲、乙两人射中次数的方差之和为
C.甲、乙两人均射中2次的概率为
D.甲、乙两人共射中2次的概率为
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成的角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
13．的展开式的常数项为__________.
14．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是___________.
15．在矩形ABCD中，，沿AC将折起，当二面角为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为____________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，.若在椭圆C上存在点P使得，则a的取值范围为__________.
四、解答题
17．已知在中，，.
（1）求；
（2）设，求AB边上的高.
18．如图①，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点，且满足，记.将沿DE翻折到的位置，使得平面平面DECB，连接MB，MC得到图②，N为MC的中点.
（1）当平面MBD时，求的值；
（2）随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请求出实数与二面角的平面角的正弦值的函数关系；如果不改变，请求出二面角的正弦值.
19．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在内，为成绩优秀.
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分.若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望.
参考公式：，.
附表：
20．已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
21．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：B是MN的中点.
22．已知函数.
（1）当时，证明：恒成立；
（2）若对于任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由，得，所以，所以的虚部为1，故选A.
2．答案：D
解析：因为，所以或，又因为，所以或，故选D.
3．答案：A
解析：方法一：直线恒过定点，而点在圆内，故直线与圆相交.选A.
方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A.
方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得，则，所以直线与圆相交.故选A.
4．答案：A
解析：由，排除B，C，由可得，当时，，即，故在上单调递减，排除D，故选A.
5．答案：A
解析：方法一：设数列的公差为d，由题意，得解得所以，故当时，的值最小.
方法二：设等差数列的前n项和)，则由题意可得解得所以，故当时，的值最小.
6．答案：C
解析：方法一：如图，在中，记，，则.
，.在中，，又，，，.故选C.
方法二：在中，，，，由余弦定理得.又，A，D，B三点共线，且，.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，解得，即.故选C.
7．答案：D
解析：直线l的斜率存在，设为k，直线l过点，得直线l的方程为，即.由直线l与圆相切，得，解得，不妨取，设，，易知，联立消去y整理得，则，，则，故选D.
8．答案：B
解析：函数恰有5个零点等价于关于x的方程有5个不同的实根.由，得或.因为，所以.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.因为，，当时，，当时，，所以可画出的大致图象，如图.由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故选B.
9．答案：ACD
解析：因为，所以，故A正确；，故B错误；，，所以，因为，所以，所以，故C正确；，故D正确.
10．答案：ABD
解析：由题图知，，，所以，又函数的图象过点，所以，所以，，又，所以，所以，故A，B正确.由，，得函数的对称轴为直线，，故C错误.由，，得，，所以函数在区间上单调递减，故D正确.
11．答案：AC
解析：对于A，由二项分布可知，甲射中次数的期望为，乙射中次数的期望为，甲、乙两人射中次数的期望之和为，故A正确；对于B，由二项分布可知，甲射中次数的方差为，乙射中次数的方差为，且甲、乙两人独立射门，所以方差之和为，故B不正确；对于C，甲、乙两人都射中2次的概率为，故C正确；对于D，甲、乙两人共射中2次的概率为，故D不正确.故选AC.
12．答案：ABD
解析：如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，即，.
因为，，平面，
所以直线平面，故A正确；
因为，平面，平面，所以平面.
因为点P在线段上运动，所以点P到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点P位于点C时，与所成的角为，当点P位于的中点时，连接，，因为平面，平面，所以，又，，，平面ABP，所以平面，又平面，所以，此时，与所成的角为，
设异面直线与所成的角为，则，即，故C错误；
设，易得.
因为直线平面，所以是平面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为
，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为，故D正确.故选ABD.
13．答案：
解析：当时，，其展开式的通项为，
令，得，常数项为；当时，，同理可得常数项为.
14．答案：
解析：由，得，当时，，单调递减，所以当时，，即.由，得，当时，且不恒为0，单调递增，所以当时，，即.因为，，使得，所以解得，故实数a的取值范围是.
15．答案：
解析：如图，沿AC将折起后B到点的位置，且ABCD为矩形，则，
所以异面直线AB与CD所成角，即为与CD所成角或其补角，作于E，连接，，显然，由二面角为直二面角，即平面平面BAC，平面平面，平面，则平面BAC，而平面BAC，故，由，且，故，则，所以.又，则，故答案为.
16．答案：
解析：设椭圆C上一点M，，，，由椭圆的定义知.在中，由余弦定理得.又，当且仅当，即点M为椭圆短轴的端点时，等号成立，此时取得最小值，即取得最大值，如图所示.要使得椭圆C上存在点P使得，根据椭圆的对称性，可得，，即在中，，解得，所以a的取值范围为.
17．答案：（1）
（2）6
解析：方法一：（1）在中，，又，所以.
又因为，即，
所以.
又因为，，所以，，
所以.
（2）在中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，，，，
所以由正弦定理，
可得，解得，.
设AB边上的高为h，由三角形的面积公式可得，
即，
解得，即AB边上的高为6.
方法二：（1）因为，，所以.
因为，所以，
所以，即.
因为，，所以.
（2）如图，过点B作于G，过点C作于H，
由（1）知.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以.
所以，
即AB边上的高为6.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图①，取MB的中点为P，连接DP，PN.
因为，，所以，
又，所以，即N，E，D，P四点共面，
又平面，平面NEDP，平面平面，
所以，所以四边形NEDP为平行四边形，
所以，又，所以，所以.
（2）随着值的变化，二面角的大小不改变.
取DE的中点O，连接MO，因为平面平面DECB，且，所以平面.如图②，建立空间直角坐标系，
不妨设，易知，，，
则，.
设平面BMD的一个法向量为，
则
令，则，，所以.
易得平面EMD的一个法向量为，
所以，
故随着值的变化，二面角的大小不变，
此时，
所以二面角的正弦值为.
19．答案：（1）列联表见解析，没有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关
（2）分布列见解析，数学期望为2.5
解析：（1）
假设：此次竞赛成绩与性别无关.
，
所以没有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.
（2）由题意可知，X的可能取值为0，5，10.
，，，
则X的分布列为
（分）.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
因为，，
所以，两式相减并化简得，
所以，两式相减得，
所以数列为等差数列.
当时，，所以.
设等差数列的公差为d，因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，所以，
则，，
所以，
所以.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知
解得
双曲线C的标准方程为.
（2）证明：将代入，
可得.
设，，
则，，则，.
直线AE的方程为，
令，得；
直线AF的方程为，
令，得.
，
，
，
即B是MN的中点.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：当时，，.
令，，则.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
，，
，
即当时，在R上恒成立.
（2）令，，
若对于任意的，恒成立，则.
令，
令，
令.
①当时，由（1）可知，在R上恒成立且不恒为零，则在R上为增函数.
，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
，符合题意.
②当时，.
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以，
函数在上单调递增.
，，
存在，使得，
当时，，则函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
故当时，，不符合题意.
③当时，，若，由②知在上单调递增，则存在，使得，且当时，；
若，由②知在上单调递增，当时，.
当时，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，
故当时，，不符合题意.
综上所述，存在，使得对于任意的，都有恒成立，
实数a的取值范围为.
成绩
人数
5
10
15
25
20
20
5
优秀
非优秀
合计
男
10
女
35
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
优秀
非优秀
合计
男
10
40
50
女
15
35
50
合计
25
75
100
X
0
5
10
P