2024届高考数学挑战模拟卷 【新课标新结构卷】(含答案)

这是一份2024届高考数学挑战模拟卷 【新课标新结构卷】(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足，则实数( )
A.B.C.D.
3．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性元素钍的一种核素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时的含量.已知时，含量的瞬时变化率为，则( )
A.12
B.
C.24
D.
4．已知，则( )
A.B.1C.D.
5．已知函数（，）的最小正周期，且直线是函数图象的一条对称轴，点是函数图象的一个对称中心，则函数在上的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，与双曲线C的左支交于点Q.若是等边三角形，则双曲线C的实轴长为( )
A.1B.C.2D.
7．已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为( )
A.224B.112C.224或D.112或
8．已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和的图象均相切，则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知复数（，i为虚数单位），且，则( )
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为，且，则z是实数
C.若，则z是实数
D.可以等于
10．函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则( )
A.B.
C.为偶函数D.为奇函数
11．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( )
A.
B.若，则直线MN恒过定点
C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为
D.若，则直线MN的斜率为
三、填空题
12．在的展开式中，项的系数为__________.
13．已知直线和圆相交于A，B两点.若，则r的值为__________.
14．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是__________.
四、解答题
15．为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为p（），前两局中甲和乙各胜一局的概率为.
（1）求p的值；
（2）设终止时比赛局数为X，求X的分布列与期望.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，O，E分别是，的中点，平面经过点O，D，E与棱交于点F.
（1）试用所学知识确定F在棱上的位置；
（2）若，，求与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆过点,,分别为椭圆C的左,右焦点,且．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）点M,N是椭圆C上与点P不重合的两点,且以MN为直径的圆过点P,若直线MN过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由．
18．已知函数,．
（1）讨论的极值点个数;
（2）若有两个极值点,,且,当时,证明：．
19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；②，，；③，，，.
（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以，因为，所以，故选C.
2．答案：A
解析：由题意，得，，且存在实数使得.又，所以，解得，故选A.
3．答案：C
解析：由得，当时，，解得，所以.当时，.故选C.
4．答案：D
解析：由，得，即，所以，所以，.
5．答案：B
解析：由题意知，，则，，又，所以，即，故，因此.将点代入，得，即，由，得，故.因为，所以，所以，故.
6．答案：C
解析：由双曲线的对称性，设点P在第一象限，如图.因为是等边三角形，所以，所以，，则，则，.在中，由余弦定理可得，整理得，所以，解得，所以实轴长为2.故选C.
7．答案：D
解析：根据题意，球心位置分为两种情况：
（1）若球心位置在几何体内，如图所示，设O为外接球球心，R为外接球半径，
则，又上底面是边长为的正方形，故，下底面是边长为的正方形，故，外接球的表面积为，所以，，则，，所以正四棱台的高，因此正四棱台的体积.
（2）当球心在MN的延长线上时，正四棱台的高，则正四棱台的体积.故选D.
8．答案：C
解析：当时，，，不合题意，故.
因为，所以函数的定义域为，，又，所以.
相同的切线上，设的切点坐标为，的切点坐标为，则有，即，公切线方程为，代入点，得，即，整理得.
若存在两条不同的直线与函数和的图象均相切，则方程有两个不同的实数根.
设，则，令，解得；，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，
当x趋近于0时，趋近于负无穷大，当x趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，所以，当时，符合条件；当时，有.所以实数a的取值范围为.故选C.
9．答案：BC
解析：当，时，为纯虚数，故A错误；若，则，因此，故B正确；由是实数且，知z是实数，故C正确；若，则，又，因此，，无解，即不可以等于，故D错误.故选BC.
10．答案：BCD
解析：因为为奇函数，为偶函数，所以的图像关于点对称，同时关于直线对称，所以，A错误；，，B正确；，即函数为周期函数，周期为4，所以，即函数为偶函数，C正确；，所以函数为奇函数，D正确.故选BCD.
11．答案：AD
解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误；
因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD.
一题多解：对于D选项，因为，，所以，.又，，解得，.不妨设，由，得，，则，，.根据对称性知，故D正确.
12．答案：60
解析：的展开式的通项是，
令，得，
项的系数为.
13．答案：5
解析：因为圆心到直线的距离，
由可得，解得.
故答案为：5.
14．答案：
解析：设这个样本容量为7的样本数据分别为，，…，，则，所以，，所以.
当加入新数据5后，平均数，方差.故答案为.
15．答案：（1）
（2）分布列见解析，期望为
解析：（1）由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为p，
则乙在每局比赛中获胜的概率为，所以，
又，所以解得.
（2）X的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，
该轮结束时比赛继续的概率为.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.
从而有，，，
故X的分布列如下：
所以.
16．答案：（1）F在棱的靠近B的三等分点处
（2）
解析：（1）如图，过P作直线l与平行，延长与l交于点G，连接交于点F.因为底面是矩形，O是的中点，所以，且.
因为，所以.
因为E是的中点，所以，所以.
又因为，且，所以.
故F在棱的靠近B的三等分点处.
（2）因为，O是的中点，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
取的中点Q，连接，易知，，两两垂直.
如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.设平面的法向量为，
则即
则，令，则，所以.
.（另解：，，故）设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）直线MN过定点,该定点坐标为
解析：（1）由椭圆定义可知:,解得,
将代入椭圆方程得,解得,
故椭圆C的标准方程为;
（2）当直线MN的斜率不存在时,设,则,
因为以MN为直径的圆过点,
则,
因为,故,解得或,
因为M,N是椭圆C上与点P不重合的两点,所以,故,
故此时直线MN的方程为,
当直线MN的斜率存在时,设方程为,
与联立后,得到,
设,,则,,
其中,
,
则,
即,
整理得,即,
解得或,
当时,,即,此时直线MN过定点,
此时与点P重合,不合要求,
当时,,即,
此时直线MN过定点,
显然当直线MN的斜率不存在,直线也过定点,满足要求,
综上,直线MN过定点,该定点坐标为.
18．答案：（1）当时,函数没有极值点;当时,函数有两个极值点．
（2）证明见解析
解析：（1）已知,,则,
令,则,
当时,,
所以在上单调增减,在上单调递增,
则,
①当时,恒成立,故在R上无极值点;
②当时,,显然,,
则在上有一个极值点,
又,
令,,
故在上单调递增,又,则,则在上有一个极值点,
综上,当时,函数没有极值点;当时,函数有两个极值点．
（2）由（1）中知,则,是方程的两根,
不妨令,则,
令解得,
所以在单调递减,在单调递增,大致图像如图所示,
由图像可知当时,,,
下先证（*）
由,两边取对数得,作差得,
（*）等价于证明,
令,,
,
故在上单调递增,从而,即证得,
所以,
再证明,
令,,
故在上单调递减,则,
所以,
再令,,
则在上单调递增,
故,
即证得．
19．答案：（1）①，线性相关，②，，线性相关，③，，，线性相关
（2）向量，，线性无关，理由见解析
（3）证明见解析
解析：（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关；
对于②，设，则可得，所以，，
所以，，线性相关；
对于③，设，则可得，
可取，符合该方程，所以，，，线性相关.
（2）设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关.
（3）证明：①，如果某个，，2，…，m，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，
所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，…，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，，，
所以.
X
2
4
6
P