2024届新高考数学精英模拟卷 【新课标卷】

这是一份2024届新高考数学精英模拟卷 【新课标卷】，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设，则( )
A.0B.C.1D.
2．已知集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
3．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）( )
A.B.C.D.
4．函数在区间的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得为奇数的不同排列方法有( )
A.1224种B.1800种C.1560种D.840种
6．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( )
A.B.C.D.
7．设等比数列的前n项和为，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为( )
A.1
B.
C.2
D.
8．已知的最大值为A.若存在实数，，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组甲、乙每班各派出十名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛下面是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩（单位：秒）的折线图，则下列说法正确的是( )
A.甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差
B.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
C.甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数
D.甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差
10．已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A和B，则下列说法错误的有( )
A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为
B.切线长PA的最小值为
C.四边形ACBP面积的最小值为1
D.直线AB恒过点
11．已知，对任意的均有，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( )
A.椭圆的短轴长为B.当最大时，
C.离心率为D.的最小值为3
三、填空题
13．平面向量，，，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则___________.
14．已知抛物线的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当时，___________.
15．已知函数的定义域为，且满足，当时，.若不等式恒成立，则__________.
16．在棱长为9的正方体中，点E，F分别在棱，上，满足，P是直线上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为__________.
四、解答题
17．已知数列的首项，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
18．如图，在平面四边形中，，.
（1）若DB平分，证明：；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值.
19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为.
（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD；
（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
20．某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，对某年的连续6个月内，月份和关注人数（单位：百）的数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并建立y关于x的回归方程；
（2）经统计，调查材料费用v（单位：百元）与调查人数满足函数关系式，求材料费用的最小值，并预测此时的调查人数；
（3）现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1600人的月份个数的分布列与数学期望.
参考公式：
相关系数，若，则y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.
21．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点在双曲线C上，且.
（1）求的面积；
（2）若（O为坐标原点），点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
参考答案
1．答案：C
解析：，则.故选C.
2．答案：D
解析：，所以，故选D.
3．答案：C
解析：如图，由已知得该棱台的高为，所以该棱台的体积
.故选C.
4．答案：A
解析：方法一：取，则；取，则.结合选项知选A.
方法二：令，则，所以函数是奇函数，排除B，D；取，则，排除C.故选A.
5．答案：B
解析：当d为奇数时，为偶数：
①a，b，c为一偶两奇，此时不同的排列方法有种；
②a，b，c为两偶一奇，此时不同的排列方法有种；
③a，b，c为三个偶数，此时不同的排列方法有种.
当d为偶数时，为奇数，此时a，b，c为三个奇数，则不同的排列方法有种.
综上，不同的排列方法有种.
故选B.
6．答案：C
解析：设，则.
，，，
在定义域上单调递增.
，.
又，
，，
不等式的解集为，故选C.
7．答案：B
解析：因为，所以当时，；当时，，所以，即.因为为等比数列，所以，所以，则.当n为奇数时，，则；当n为偶数时，，则，所以.因为不等式对任意的恒成立，所以，，所以，则，即的最小值为.故选B.
8．答案：B
解析：
，所以的最大值.由题意得，的最小值为，所以的最小值为.
9．答案：AB
解析：甲班成绩的极差为（秒），乙班成绩的极差为（秒），A项正确；
甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确；
甲班成绩的平均数为，乙班成绩的平均数为.所以，C项错误；
甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值比较分散，所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误.故选AB.
10．答案：ABD
解析：易知圆心，半径，圆心C到直线l的距离.如图.
对于A，，
圆C上有两个点到直线l的距离为，A中说法错误；
对于B，由切线的性质可知，
，
易知当时，PC取最小值，且，故，B中说法错误；
对于C，易知，
又，，
，故四边形ACBP的面积，四边形ACBP面积的最小值为1，C中说法正确；
对于D，设点，则，线段PC的中点为，记为E，则，
以线段PC为直径的圆E的方程为，
将圆E和圆C的方程作差可得，又，
，
由解得故直线AB恒过点，D中说法错误.
故选ABD.
11．答案：BD
解析：由题可知，是的最小值，是的最大值.因为，其中，，所以，，所以，故A错误.，故B正确.
因为是的最小值，所以，，即，，所以，，故C错误.
因为是的最大值，所以，，
即，，所以，，故D正确.故选BD.
12．答案：ABD
解析：由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD.
13．答案：2
解析：由，，得，，，，.
与a的夹角等于c与b的夹角，
，
即，解得.
14．答案：
解析：如图，过点P作PR垂直于准线，垂足为R，又，所以PQ为的平分线，又Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则点P在第一象限内，而，且，
根据角平分线性质知，令且，则直线PQ的方程为，令，则，所以，又，所以，整理可得，则，故.
15．答案：
解析：任取，且，则，，，即，由此得到是上的减函数.不等式等价于不等式，则，即.，当且仅当时取等号，.又的定义域为，.综上可知，.
16．答案：
解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），由已知得，，，，设，所以，，.
设平面的一个法向量为，则即不妨令，则，，所以.因为平面，所以，即，解得，所以.因为平面，且底面是正方形，所以四棱锥外接球的直径就是，由，得，所以其外接球的表面积.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以.
又，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）因为，所以.
记数列的前n项和为，
则，
，
所以，
整理得，
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）14
解析：（1）证明：平分，，则，
由余弦定理得，即，解得.
，
，
.又，，.
（2），
，整理可得.
.
，当时，取得最大值，最大值为14.
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点
解析：（1）证明：在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是，
又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，
平面ABCD，
是四棱锥的高，
设，则，，
，，
如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则即
令，则，，.
同理可得平面SCD的一个法向量为.
，平面平面SCD.
（2）存在.设，
则，，
设平面PEB的一个法向量为，
则
令，则，，
，
易知平面SAD的一个法向量为，
.
，，
存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点.
20．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）由题意得，
.
又，，
.
由于y与x的相关系数，
这说明y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.
又，且，，回归方程为.
（2），即调查材料费用的最小值为1800元，此时，所以.
（3）可能的取值为0，1，2，3，
且，，，.
的分布列为
.
21、
（1）答案：
解析：依题意可知，，，
则，
，
又，所以，
解得（舍去），又，所以，则，
所以的面积.
（2）答案：为定值-1
解析：由（1）可知解得.
所以双曲线C的方程为.
设，，则，则，.
设直线l的方程为，
与双曲线C的方程联立，消去y得，
由，得.
由一元二次方程根与系数的关系得，
，
所以.
则
，
故为定值-1.
22．答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明见解析
解析：（1）因为，
所以，解得，所以.
函数的定义域为，
令，得；令，得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：由（1）得.
要证，即证，只需证.
令，其中，
则.
令，则，
所以在上单调递增.
因为，，所以存在，
使得，可得.
当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增.
所以.
所以，即成立.
17.5
35
36.5
0
1
2
3
P