2024届内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗九年级下学期中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1.本试卷共8页，满分120分．考试时间120分钟．
2.答卷前务必将自己的姓名、考号、座位号、试卷类型（A或B）涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD等）涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效．
3.请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上
一．选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用有理数的加法，乘法，绝对值以及乘方法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的加法，乘法，乘方以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，积的乘方，单项式除以单项式和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A. 仙游明天将有85%的时间下雨B. 仙游明天将有85%的地区下雨
C. 仙游明天下雨的可能性较大D. 仙游明天下雨的可能性较小
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率表示事件发生的可能性大小，进行作答即可．
【详解】解：天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”，说明仙游明天下雨的可能性较大；
故选C．
【点睛】本题考查概率的意义．熟练掌握概率表示事件发生的可能性大小，是解题的关键．
5. 能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合题目，举反例，要使角相等，但却不是对顶角的图即可；
【详解】解：、如图，两个角都是，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
、如图，两个角都是，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查对顶角的概念，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，准确的理解对顶角的概念是解题的关键．
6. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A. x1=﹣1，x2=3B. x1=1，x2=﹣3C. x1=1，x2=3D. x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【详解】x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
7. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴， ，
∴，
同理，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形公式，n边形的内角和为．
8. 如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解．
【详解】解：关于，方程组可化为：
故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解，
将代入得：，
∴
故关于，的方程组的解是
故选：B
9. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可．
【详解】解：由题意可知：
扇形的弧长
设底面圆半径为r,
∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长
∴，解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长．
10. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，先根据解析式得到反比例函数图象进过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象进过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：D．
11. 如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
【详解】解：由题意可得，三段弧是等弧，
，∠BCA＝60°，
∴π＝，
解得CB＝3，
∵△ABC是等边三角形；
∴；
∴一个曲边三角形的面积是：[]×3+ ＝，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12. 已知二次函数 （是常数） 的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，明确抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
先将所给的二次函数整理，再根据图象与轴没有公共点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，可得，从而得出答案轴．
【详解】解：
，
图象与轴没有公共点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，
，
实数的取值范围是，
故选C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
13. 因式分解：=________________．
【答案】-3（b+2a）（b-2a）
【解析】
【分析】直接提取公因式-3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：-3b2+12a2
=-3（b2-4a2）
=-3（b+2a）（b-2a）．
故答案为：-3（b+2a）（b-2a）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式解题关键．
14. 如图，，，，是上的四个点，，则_____度．
【答案】140
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．
【详解】解：，，，是上的四个点，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
故答案为：140．
【点睛】本题考的查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．
15. 分式方程的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的方法和步骤解答即可．
【详解】解：
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原方程的解，
∴分式方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意不要忘记验根．
16. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则_____________________．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的作图、等角对等边等知识，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，根据含的直角三角形的性质即可得，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：，，
，
由作法得是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
17. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上的中点，P为AB上的一个动点，若AB＝2，则PE+PC的最小值为 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，则PE+PC的值最小＝EQ，过E作EF⊥BC于F，根据矩形的性质可得EF＝AB＝2，BF＝AE＝AD＝1，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，
则此时，PE+PC的值最小，PE+PC的最小值＝EQ，
过E作EF⊥BC于F，
则四边形ABFE是矩形，
∴EF＝AB＝2，BF＝AE＝AD＝1，
∴QF＝3，
∴EQ＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识点，根据两点之间线段最短得到AE即为AP+PE的最小值是解题的关键．
三、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再化简二次根式和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将代入中求出反比例函数解析式，进而求出，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）通过观察图象中直线在曲线上方的x的取值范围求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∴反比例函数的表达式为
又∵点在反比例函数的图象上．
∴，即．
∵一次函数的图象经过两点．
∴，
解得，
∴一次函数表达式为；
【小问2详解】
观察图象，关于x的不等式的解集是或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．
20. 如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球A处与地面距离为，则这栋楼的高度是多少米？
【答案】这栋楼的高度为100米
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过A作，交的延长线于点E，在中，求出的长，则，在中，求出的长，然后根据即可得到这栋楼的高度．
【详解】解：过A作，交的延长线于点E，则四边形是矩形，
在中，∵，，
∴，
∴．
在中，∵，，
∴，
∴．
答：这栋楼的高度为100米．
21. 我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

根据该操作过程，回答问题：
（1）直线与圆的位置关系是___________，依据是___________；
（2）求证：；
（3）若被测量的，，则的长度至少为___________，才保证该三分角器能够三等分该角．（用含有，的代数式表示）
【答案】（1）相切；是半圆的直径，与垂直于点
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定定理，判定即可；
（2）连接，根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据切线长定理，结合“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出所证结论；
（3）根据题意，得出，再根据正切的定义，即可得出答案．
【小问1详解】
解：直线与圆的位置关系是相切，依据是是半圆的直径，与垂直于点；
故答案为：相切；是半圆的直径，与垂直于点
【小问2详解】
证明：如图，连接，

∵与垂直于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵半圆与另一边恰好相切，切点为，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，就把三等分，，
∴，
又∵，
∴，
∴的长度至少为时，才保证该三分角器能够三等分该角．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、切线长定理、锐角三角函数，解本题的关键在理解题意，并熟练掌握相关知识点．
四．（本题7分）
22. 如图，在平行四边形中，平分，平分．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程．
【答案】（1）证明见解析
（2）当满足时，四边形是矩形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定即可得证；
（2）当满足时，四边形是矩形．证明思路：先根据平行四边形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据矩形的判定即可得证．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
在和中，
∵，
．
【小问2详解】
解：当满足时，四边形是矩形，证明如下：
四边形是平行四边形，
，
由（1）已证：，
，
，即，
四边形是平行四边形，
当满足时，则（等腰三角形的三线合一），
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
五．（本题7分）
23. 遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：A）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表
解答下列问题：
（1）频数分布表中______， ______；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于的人数；
（3）已知课外劳动时间在的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
【答案】（1），
（2）160人 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率“
（1）用劳动时间在的频数除以其频率求出参与调查的总人数，再根据频率频数总数进行求解即可；
（2）用400乘以样本中课外劳动时间不少于的人数的频数即可得到答案；
（3）根据题意画出用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到所选学生为1男1女的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴参与调查的学生人数为20人，
∴，
故答案为：5；；
【小问2详解】
解：人，
∴估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于的人数为160人；
【小问3详解】
解：课外劳动时间在的人数总共5人，男生有2人，则女生有3人，根据题意画出树状图，
由树状图可知：共有20种等可能的情况，其中1男1女的结果数有12种，
∴所选学生为1男1女的概率为．
六．（本题8分）
24. 如图，以O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点 D，连接，过点 A 作的切线交 的延长线于点E，且．
（1）求证：是切线．
（2）若，则
①求的长；
②求长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①4；②
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线长定理，解直角三角形．
（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）①连接，由切线的性质和切线长定理得到，，进而得到垂直平分，则，可得，进一步得到，证明，可得；②设，则，由勾股定理得，解得，即．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
为直径，
，
∴，
，，
∴，
，即，
∴，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：①如图所示，连接，
∵都是切线，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
七（本题10分）
25. 某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．
（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 （元/千克），获得的总利润为 （元）；
（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；
（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．
【答案】（1）62（元），10340（元）；（2）w=﹣20x2+360x+10000；（3）批发商所获利润w的最大值为11600元．
【解析】
【分析】（1）将x=1代入水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x即可求得该种水果的售价，然后乘以水果质量再减去成本即可求得利润；
（2）根据利润=售价×销售量﹣成本列出函数关系式即可；
（3）利用配方法即可求出利润最大值．
【详解】解：（1）当x=1时，y=60+2x=62（元），
利润为：62×（500﹣10）﹣500×40﹣40=10340（元）；
（2）由题意得：w=（60+2x）（500﹣10x）﹣40x﹣500×40
=﹣20x2+360x+10000；
（3）w=﹣20x2+360x+10000=﹣20（x﹣9）2+11620
∵0≤x≤8，x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大，
∴x=8时，w取最大值，w最大=11600．
答：批发商所获利润w的最大值为11600元．
考点：二次函数的应用．
八．（本题13分）
26. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)
【解析】
【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，设F(m，-m+3)，则E(m，)，根据比例式列出方程，即可求解；
（3）先推出四边形NCFE是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m的方程，求出m的值，从而得CN=EF=，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函数的图象过B、C两点，
∴，解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，
设F(m，-m+3)，则E(m，)，
∴EF=-(-m+3)= ，CF=，
∴或，
∴或（舍去）或或（舍去），
∴EF==或；
（3）∵l∥y轴，点N是y轴上的点，
∴∠EFC=∠NCG，
∵点N、F关于直线对称，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四边形NCFE是平行四边形，
∵点N、F关于直线对称，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y轴，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴=，解得：或（舍去），
∴CN=EF=，
∴ON=+3=，
∴N(0，)．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键．劳动时间分组
频数
频率