2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线__定点定值探究性问题考点1定点问题

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线__定点定值探究性问题考点1定点问题，共3页。
(2)解法一：设直线MN：x＝my＋t，代入eq \f(x2,4)－y2＝1，得(m2－4)y2＋2mty＋t2－4＝0，
记M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠±2，,y1＋y2＝－\f(2mt,m2－4)，,y1y2＝\f(t2－4,m2－4)，,Δ>0⇔m2＋t2－4>0，))
直线A1M：y＝eq \f(y1,x1＋2)(x＋2)，
直线A2N：y＝eq \f(y2,x2－2)(x－2)，
由直线A1M、A2N的交点P在x＝1上得eq \f(3y1,x1＋2)＝－eq \f(y2,x2－2)，
即：eq \f(3y1,my1＋t＋2)＝－eq \f(y2,my2＋t－2)，
∴4my1y2＋(2＋t)(y1＋y2)＋(2t－8)y1＝0，
eq \f(4mt2－4,m2－4)－eq \f(2mt,m2－4)(2＋t)＋(2t－8)y1＝0，
∴2(t－4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(mt＋2,m2－4)＋y1))＝0恒成立，
若eq \f(mt＋2,m2－4)＋y1＝0，
将y1＝eq \f(－mt±2\r(m2＋t2－4),m2－4)
代入得m±eq \r(m2＋t2－4)＝0，∴t＝±2，
∴MN过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去，∴t＝4，
直线MN过定点(4,0)．
解法二：设P(1，m)，则设直线PA1：y＝eq \f(m,3)(x＋2)，PA2：y＝－m(x－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(m,3)x＋2，,\f(x2,4)－y2＝1，))得(9－4m2)x2－16m2x－16m2－36＝0，记M(x1，y1)，
则－2和x1是该方程的两个根，则x1＝eq \f(8m2＋18,9－4m2)，y1＝eq \f(12m,9－4m2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－mx－2，,\f(x2,4)－y2＝1，))
得(1－4m2)x2＋16m2x－16m2－4＝0，
记N(x2，y2)，则2和x2是该方程的两个根，
则x2＝eq \f(8m2＋2,4m2－1)，y2＝eq \f(－4m,4m2－1)，
则直线MN的斜率：
kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)
＝eq \f(12m4m2－1＋4m9－4m2,8m2＋184m2－1－8m2＋29－4m2)
＝eq \f(8m4m2＋3,44m2＋34m2－3)＝eq \f(2m,4m2－3)
∴MN：y－eq \f(12m,9－4m2)＝eq \f(2m,4m2－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8m2＋18,9－4m2)))，
令y＝0，x＝eq \f(－24m2＋18,9－4m2)＋eq \f(8m2＋18,9－4m2)＝eq \f(－16m2＋36,9－4m2)＝4，
故直线MN过定点(4,0)．
【变式训练】
(2024·安徽安庆、池州、铜陵部分校联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P(4,6)在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且PM⊥PN，求证：直线l过定点．
[解析] (1)由已知得：e＝eq \f(c,a)＝2，c＝2a，所以b2＝3a2，
又eq \f(16,a2)－eq \f(36,b2)＝1，
解得a2＝4，b2＝12，故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，与C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1联立整理得：
(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0，由已知k≠±eq \r(3).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2km,3－k2)，
x1x2＝－eq \f(m2＋12,3－k2)①
由PM⊥PN得：(1＋k2)x1x2＋(km－6k－4)(x1＋x2)＋(m－6)2＋16＝0②
由①②联立得：m2－32k2－4km－18m＋72＝0，
即(m＋4k－6)(m－8k－12)＝0，
由已知l不经过点(4,6)，故m＋4k－6≠0，
所以m－8k－12＝0，故m＝8k＋12，
l：y＝k(x＋8)＋12，过定点(－8,12)
当l⊥x轴时，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，解得x1＝－8，
满足条件，故直线l过定点(－8,12).