2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，共40.0分.）
1. 下列式子中，是二次根式的是(    )
A. B. C. D.
2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，是边上的高，若，，则(    )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在▱中，对角线、交于点，点和点分别在、的延长线上添加以下条件，不能说明四边形是平行四边形的是(    )


A. B.
C. D.
5. 如图，为了了解某校学生的课外阅读情况，小明同学在全校随机抽取名学生进行调查，并将统计数据汇总，整理绘制成学生每周课外阅读时间频数分布直方图，每组含前一个边界值，不含后一个边界值如图所示，若该校有学生人，估计阅读时长不低于小时的人数约有人．(    )

A. B. C. D.
6. 如图，在▱中，对角线、交于点若，，，则化简：的结果为(    )
A.
B.
C.
D.


7. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存设两次降价的平均降价率为，下面所列方程正确的是(    )
A. B.
C. D.
8. 在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点，若，，则的长为(    )
A. B. C. 或 D. 成
9. 如图，在中，是边上的中点，在上，且，则(    )
A.
B.
C.
D.
10. 若关于的一元二次方程的两个根为，，且下列说法正确的个数为(    )
；
，；
；
关于的一元二次方程的两个根为，．
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题，共20.0分）
11. 二次根式中，的取值范围是______ ．
12. 一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的内角和为          ．
13. 如图，点是矩形内一点，则点到四个顶点的距离、、、满足关系式，若点在对角线上，，则 ______ ．


14. 如图，在四边形中，将两条对角线与平移，使平行等于，平行等于，连接．
当四边形满足______ 时，四边形是矩形；
若，，且与的夹角满足时，四边形面积的最小值为______ ．
三、解答题（共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：．
16. 本小题分
用公式法解方程：．
17. 本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根，．
求的取值范围；
若满足，求的值．
18. 本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长均为个单位，四边形是网格内的格点四边形．
求以、和为边长构成的三角形的面积；
连接，利用网格在上找一点，使得与的面积相等．

19. 本小题分
小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间单位：和高度单位：近似满足公式不考虑风速的影响，，
已知小明家住层，每层的高度近似为，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；结果保留根号
小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要焦的动能，高空抛物动能焦物体质量千克高度米，某质量为千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？

20. 本小题分
如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于、、、四点．
连接，求证：点在的垂直平分线上；
判断四边形的形状，并说明理由．

21. 本小题分
为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．
若花圃的面积为，求长方形的长和宽；
若要用完栅栏不考虑损耗，求出围成的花圃面积的最大值；
如图现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽．

22. 本小题分
如图，在矩形中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点．
求证：；
连接，求的长；
如图，将正方形绕点旋转，当落在边上时点旋转到，请直接写出的长为______ ．


答案和解析

1.【答案】 
解：、是二次根式，符合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、，根号下不能是负数，不合题意；
D、，根号下不能是负数，不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的定义分别分析得出即可．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．

2.【答案】 
解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：．
故选：．
直接利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．

3.【答案】 
解：，，，
，
是边上的高，
，
，
解得：，
故选：．
根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案．
本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键．

4.【答案】 
解：在▱中，，，
A、添加，不能说明四边形是平行四边形，故符合题意；
B、，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形；故B不符合题意；
C、，
，
即，
，
四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定和性质定理一一判断即可．
本题考查了平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理．

5.【答案】 
解：，
估计阅读时长不低于小时的人数约有人．
故选：．
用乘样本中阅读时长不低于小时的所占比例即可．
本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】 
解：在▱中，对角线与相交于点，
，，
在中，，
，
，
，
；
在中，，，，
，
，
，
化简：，
故选：．
根据平行四边形的性质可得出，，根据三角形的三边关系得和的取值范围，再利用二次根式的性质进行求解即可．
本题主要考查平行四边形的性质，二次根式的性质与化简，三角形三边关系的运用，解决本题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

7.【答案】 
解：设该商品的原价为元，则经过两次降价后的价格为元，
根据题意得：，
即．
故选：．
设该商品的原价为元，则经过两次降价后的价格为元，利用经过两次降价后的价格原价两次降价的平均降价率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 
解：连接，
四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
由折叠得，，，
，，，
在和中，
，
≌，
，
当点线段上，如图
，
，
，
；
当点在线段的延长线上，如图，
，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故选：．
连接，由矩形的性质得，，由是的中点，得，由折叠得，，，则，，，可证明≌，得，再分两种情况讨论，一是点线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

9.【答案】 
解：如图，取的中点，连接，

是边上的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
取的中点，连接，根据三角形中位线定理得，，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．

10.【答案】 
解：根据根与系数的关系得，
，
，
，所以正确；
，，
，，所以正确；
，
，
即，
，所以错误；
，
方程化为，
即，
方程可变形为，
或，
解得，，所以正确．
故选：．
根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而可对进行判断；由于，，利用有理数的性质可对进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了一元二次方程根的判别式．

11.【答案】 
解：是二次根式，
，
即，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键．

12.【答案】 
解：一个正多边形的每个内角都是，
它的每一个外角都是：，
它的边数为：，
这个多边形的内角和为：，
故答案为：．
首先根据内角的度数可得外角的度数，再根据外角和为可得边数，利用内角和公式可得答案．
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：且为整数．

13.【答案】或 
解：，，
，
，
，
点在对角线上，，
，
，
整理得，
解得或，
故答案为：或．
根据、的值计算出，的值，即可得到的值，再用表示出，即可得到关于的方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确解出的长是解题的关键．

14.【答案】  
解：当四边形满足时，四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
即，
四边形是矩形，
故答案为：；
设与交于点，过点作于点，过点作于点，

由题意得，
在中，，
，
在中，，
，







，
当的度数增大时，的值也增大，
，
当时，四边形面积的最小，
，
故答案为：．
当四边形满足时，四边形是矩形，先根据平移的性质证出四边形是平行四边形，再证得，即可得到四边形是矩形；
设与交于点，过点作于点，过点作于点，先根据锐角三角函数的定义表示出，，然后根据四边形的面积等于的面积加上的面积进行计算，再确定的值，从而求出四边形面积的最小值．
本题考查了矩形的判定，平移的性质，锐角三角函数的定义，四边形的面积，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

15.【答案】解：原式


． 
【解析】先把化简，再利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则和完全平方公式是解决问题的关键．

16.【答案】解：变形得：．
，
，
，． 
【解析】根据公式法解方程即可．
本题考查了公式法解一元二次方程：先算判别式断定根的情况，然后代入计算．

17.【答案】解：有实数根，
，即，
解得；
的取值范围是；
的实数根为，，
，，
，
，
．
解得或，
；
． 
【解析】由有实数根，可得，可解得的取值范围是；
由的实数根为，，得，，根据，即可得，解出的值结合可得答案．
本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

18.【答案】解：每个小正方形的边长均为个单位，
由勾股定理可知：，，．
，，
．
以、和为边长构成的三角形为直角三角形，
以、和为边长构成的三角形的面积；
如图所示：
 
【解析】根据勾股定理求出、和的边长，利用勾股定理的逆定理判定其构成的三角形为直角三角形即可得出结论；
先求得的面积为，再求得的面积为，根据等高的三角形面积比等于底边比作出的五等分点即可求解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，关键是熟练掌握图形的面积计算．

19.【答案】解：小明家住层，每层的高度近似为米，
米，
秒，
该物品落地的时间为秒；
该玩具最低的下落高度为米，
秒．
最少经过秒落地就可能会伤害到楼下的行人． 
【解析】根据题意可先求得，根据代入计算即可求解；
由题意可知“高度米”，以此求出该玩具最低的下落高度，再由代入求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．

20.【答案】证明：连接、、，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
，
，
点在的垂直平分线上．
四边形是菱形，理由如下：
设直线交于点，连接，
垂直平分，垂直平分，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
同理，，
四边形是平行四边形，
连接、、，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
，
，
点在的垂直平分线上，
同理，点在的垂直平分线上，
垂直平分，
点、点都在上，
由得，点在的垂直平分线上，
同理，点在的垂直平分线上，
垂直平分，
点、点都在上，
，
四边形是菱形． 
【解析】连接、、，由线段的垂直平分线的性质得，，则，所以点在的垂直平分线上；
设直线交于点，连接，由垂直平分，垂直平分，得，由菱形的性质得，所以，则，所以，同理可证明，则四边形是平行四边形，连接、、，由线段的垂直平分线的性质得，，所以，则点在的垂直平分线上，同理可证明点在的垂直平分线上，所以点、点都在上，由得，点在的垂直平分线上，同理可证明点在的垂直平分线上，所以点、点都在上，则，所以四边形是菱形．
此题重点考查菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，证明是解题的关键．

21.【答案】解：设长为，
由题意可知，，
解得或，
当花圃长为，宽为时，花圃面积为；
设长为，
矩形的面积，
，
当时，花圃面积的最大值为；
设长为，宽为，
由题意可得，，
整理得，，
，
解得或，
长方形花圃的长为，宽为或长为，宽为． 
【解析】设长为，根据面积为建立方程，解之即可；
根据矩形的面积公式可表达矩形的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
设长为，宽为，根据题意建立方程，根据二次函数的性质解方程即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方的应用，正确得出等量关系是解题关键．

22.【答案】 
【解析】证明：四边形和是正方形，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：如图，

取的中点，连接，
由得：，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
解：如图，

延长，交于，作于，
可得矩形，
，
，
，
，
同理可得：≌，
，
，
故答案为：．
证明≌，从而得出结论；
取的中点，连接，可得是梯形的中位线，从而得出的长，进而求得的长，进一步得出的长，进而得出结果；
延长，交于，作于，可得出，，进而求得和的长，同理可得，进而得出结果．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．