福建省福州城门中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷

这是一份福建省福州城门中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了已知，则，不等式的解集为，记函数的最小正周期为T，在同一平面直角坐标系中，函数与，下列命题是真命题的有等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集和集合M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知角、、为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
3．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
4．不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
5．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．已知为实数，，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
8．已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在同一平面直角坐标系中，函数与（，且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．命题“”的否定是“或”
B．“至少有一个x使成立”是全称量词命题
C．“，”是真命题
D．“，”的否定是真命题
11．下列结论正确的是（ ）
A．B．2367>494
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____.
13．已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(lg2x)的定义域为____．
14．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.
. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.化简求值
(1);
(2)
16.已知函数，．
(1)当时，求的最值；
(2)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．
17．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
18. 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；
(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？
19．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知A1F=3,A2F=1．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．
参考答案：
1．B 【详解】
解：根据图可得，阴影部分在集合M中，不在集合N、P中，
则阴影部分所表示的集合是. 故选B.
2．C
【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.
【详解】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.
3．D【分析】利用换元法求解函数解析式.
【详解】令，则，；
所以. 故选：D.
4．A【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或. 故选：A
5．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
6．B
【分析】
结合求得的取值范围.
【详解】
∵，，
若，
则，
故的取值范围为，
故选：B.
7．A
【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或. 故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件. 故选：A
8．B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性可求得.
【详解】
因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．故选：B．
9．AC
【分析】
为指数函数，分与两种情况讨论，从而判断出图象的可能结果.
【详解】
若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为且，故A符合，B不符合；若，则函数是R上减函数，且当时，，所以函数的图象与y轴的负半轴相交，故C符合，D不符合. 故选：AC.
10．ACD
【详解】
选项A：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定是“或”正确，即选项A正确；
选项B：“至少有一个x使成立”是特称命题，故选项B错误；
选项C：当时，，所以“，”是真命题，选项C正确；
选项D：因为时，，所以命题 “，”是假命题，所以“，”的否定是真命题，选项D正确. 故选：ACD.
11．AB
【详解】因为函数是单调递减函数，所以；
函数在上单调递增，所以，即，故A正确；2367>2368=494 故B正确；
作出函数的函数图象，如下图所示：
当时，可知；故C错误；
， ，
,
所以，故D错误.
故选：AB.
12．4
【分析】先由对称性和奇偶性求得函数的周期，再利用函数的周期结合函数在上的解析式求值即可.
【详解】∵的图象关于直线对称，∴，又为奇函数，∴，故，
则，∴函数的周期，又∵，∴.
13．
【分析】根据给定条件列出使函数f(lg2x)有意义的不等式组，再求出其解集即可.
【详解】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(lg2x)中，必有，
解不等式可得：，即，
所以函数f(lg2x)的定义域为.
14． 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
15．17．(1)； (2)1
【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；（2）根据对数的运算性质可求出结果.
（1）
原式= = ==.
（2）
原式=
.
(1)，; (2).
【分析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可.
（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围．
（1）
当时，，
∴在上单凋递减，在上单调递增，
∴，.
（2）
，
∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．
∴实数a的取值范围为．
17．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
18．(1)600人；(2)85；(3)3人，2人，1人.
【分析】（1）根据频率分布直方图可求成绩在[80，100]内的频率，从而可求“航天达人”的人数.
（2）根据频率和可确定成绩的80%分位数在[80，90）内，根据公式可求80%分位数；
（3）根据成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的频率比值可求各自抽取人数.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10=0.3，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为2000×0.3=600人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40，50）内的频率为0.005×10=0.05，
成绩在[50，60）内的频率为0.015×10=0.15，
成绩在[60，70）内的频率为0.020×10=0.2，
成绩在[70，80）内的频率为0.030×10=0.3，
成绩在[80，90）内的频率为0.020×10=0.2，
所以成绩在80分以下的学生所占的比例为70%，成绩在90分以下的学生所占的比例为90%，
所以成绩的80%分位数一定在[80，90）内，而，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数约为85.
（3）因为，，，
所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人.
19. 解：(1)
如图，

由题意得a+c=3a?c=1，解得a=2,c=1，所以b=22?12=3，
所以椭圆的方程为x24+y23=1，离心率为e=ca=12．
(2)
由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为x24+y23=1可得A22,0，
设直线A2P的方程为y=kx?2，
联立方程组x24+y23=1y=kx?2，消去y整理得：3+4k2x2?16k2x+16k2?12=0，
由韦达定理得xA2?xP=16k2?123+4k2，所以xP=8k2?63+4k2，
所以P8k2?63+4k2,??12k3+4k2，Q0,?2k．
所以，，，
所以S?A2QA1=S?A1PQ+S?A1A2P=2S?A2PF+S?A1A2P，
所以2yQ=3yP，即2?2k=3?12k3+4k2，
解得k=±62，所以直线A2P的方程为y=±62x?2． 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.