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江苏省无锡市江阴市周庄中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。
【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。
2. 下列调查适合普查的是 （ ）
A. 调查全市初三所有学生每天的作业量B. 了解全省每个家庭月使用垃圾袋的数量
C. 了解某厂2016年生产的所有插座使用寿命D. 对“天舟一号”的重要零部件进行检查
【答案】D
【解析】
【详解】A. 调查全市初三所有学生每天的作业量，适合采用抽样调查，故本选项错误；
B. 了解全省每个家庭月使用垃圾袋的数量，适合采用抽样调查，故本选项错误；
C. 了解某厂2016年生产的所有插座使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项错误；
D. 对“天舟一号”的重要零部件进行检查，为保证成功发射，应对其零部件进行全面检查，故此选项正确，
故选D．
3. 下列约分计算结果正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．
【详解】∵与a+b没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的，
∴选项A不符合题意；
∵a+m与a+n没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的；
∴选项B不符合题意；
∵-a+b= -(a+b)与a+b的公因式是a+b，
∴，
∴选项C符合题意；
∵，
∴的计算是错误的；
∴选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．
4. 若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出选项即可．
【详解】解：A．
，故本选项不符合题意；
B．
，即分式的值扩大2倍，故本选项不符合题意；
C．
，即分式的值不变，故本选项符合题意；
D．
，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变．
5. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线垂直C. 邻边垂直D. 邻角互补
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可．
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等但不一定垂直是解题的关键．
6. 平行四边形的一条边的长度为12，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A. 6和14B. 10和14C. 18和20D. 12和36
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】解：如图，设，长对角线为，短对角线为，对角线相交于点E，
A．它的两条对角线的长为6和14时， ，，故不符合题意；
B．它的两条对角线的长为10和14时，，，故不符合题意；
C．它的两条对角线的长为18和20时，，，符合题意；
D．它的两条对角线的长为12和36时，，，故不符合题意；
故选：C．
7. 以下命题中，真命题是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 矩形和等边三角形都中心对称图形
C. 顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，该选项不符合题意；
B、矩形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，原命题是假命题，该选项不符合题意；
C、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形，真命题，该选项符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原命题是假命题，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定方法，难度不大．
8. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB=5，再根据旋转的性质可得=AC=4，=BC=3，从而求出=2，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
∵将绕点B逆时针旋转得，
∴A’C’=AC=4，BC’=BC=3．
∴AC’=AB-BC’=5-3=2，∠A’C’B=∠C=90°，
∵∠A’C’B+∠A’C’A=180°，
∴∠A’C’A=90°，
∴ =
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
9. 如图，已知△ABC的面积为21，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 3B. 7C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】连接EC，过A作AMBC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×的值即可．
【详解】解：连接EC，过A作AMBC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DECF，EFCD，
∴AMDECF，ACFM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×，
∵△ABC的面积是21，BC=3CF，
∴BC× =×3CF×=21，
∴CF×=14，
∴阴影部分的面积是×14=7，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键．
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，若∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S四边形ABCD＝AB•AC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正确的个数有（ ）个
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤由三角形中线的性质可得：S△BOE＝S△EOC＝OE•OC＝．
【详解】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝2，
故②正确；
∵∠BAC＝90°，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故③正确；
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，
故④正确；
⑤∵BE＝EC＝2，
∴S△BOE＝S△EOC＝OE•OC＝，
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____．若分式的值为0，则x的值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及分式的值为0的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据分母不为0可求解空1，根据分子等于0且分母不等于0可求解空2．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
∵分式的值为0，
∴且，
∴．
故答案为：；．
12. 在中，，则______°．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，
在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
13. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_________，面积为________．
【答案】 ①. 20 ②. 24
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
【详解】解：如图所示，
菱形中，，
∴，
∴，
∴此菱形的周长是：，
面积是：，
故答案为：20，24．
【点睛】此题主要考查了菱形的基本性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
14. 已知，则代数式的值为_____________．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了分式的求值运算，适当变形后整体代入是解题的关键．解法一将变形为，再将变形为整体代入求解．解法二将原式的分子和分母同时除以，再将整体代入即求出值．
【详解】解：解法一：
，即，
∴原式．
解法二：将原式的分子和分母同时除以，
故答案为：4．
15. 若平行四边形三个顶点坐标分别为，则在第四象限的第四个顶点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质求解．
【详解】解：如图，设第四象限的第四个顶点的坐标为，
则，
∴，
第四象限的第四个顶点的坐标为
故答案为．
16. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长．
【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3），
∴OB=
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用．
17. 如图，在中，D分别是的中点，是上一点，连接若，则的长度为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．先证明，继而得到；再证明为的中位线，即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，
∴中，，
∴；
∵分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：12．
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为正方形，点A坐标为（0，3），点C坐标为（－3，0），线段DE∥x轴，点E在y轴上，点D的坐标为（4，5），若正方形OABC沿x轴左右运动，连接BE、AD，则在运动过程中，四边形ADEB周长的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作，作点M与点N关于直线AB对称，连接MN、AM、MD交AB于H，证明四边形ABEN为平行四边形，当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，进而进行求解即可．
【详解】如图所示：
过点A作，
作点M与点N关于直线AB对称，
连接MN、AM、MD交AB于H，
∵，且点D坐标为，
∴点E坐标为，，
∴四边形ABED周长=AB+BE+ED+AD=BE+AD+7，
∵，，
∴，，
∴四边形ABEN为平行四边形，
∴，
∵M，N关于AB对称，
∴，
∴，
当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，
四边形ADFE周长最小值为，
∵四边形ABEN为平行四边形，
∴
∵，点E坐标为，
∴点N坐标为，
∵直线AB解析式为，点N，点M关于AB对称，
∴点M坐标为，
∴，
∴四边形ADEB周长=，
∴四边形ADEB周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了正方形平移问题，正确画出辅助线，读懂题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1）
（2）
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂的意义，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算开方和零指数幂，再算加减；
（2）先算乘法，再算减法即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
20. 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
【答案】x+1； 当x=－2时，原式=－1．
【解析】
【分析】利用分式的运算法则化简，再代入合适的值即可求解．
【详解】
=
=
= x+1
∵当x=-1，0，1时，分母为零，无意义，所以x只能取-2，
故当x=-2时，原式=-1．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及分母不为零的情况．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O 成中心对称．
（1）画出；
（2）是的边上一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）对称中心的坐标为；
【解析】
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
【小问1详解】
解：即为所求；
【小问2详解】
解：∵，平移后点P的对应点，
∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
如下所示：
【小问3详解】
解：连接，相交于点，
∴对称中心的坐标为；
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22. 某校为了了解九年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了两幅尚不完整的统计图，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中D组圆心角度数是 ；
（3）请你估计该校九年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【答案】（1）见解析，50；（2）72°；（3）360
【解析】
【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，再计算出B组的频数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）先根据直方图中的数据计算出D组所占的百分比，然后再乘以360度即可；
（3）用九年级学生总数乘以样本中体重超过60kg的学生的百分比即可．
【详解】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%＝50，
B组的频数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全频数分布直方图，如图：
故填：50；
（2）在扇形统计图中D组的圆心角度数是：360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18（名），
估计该校九年级体重超过60kg的学生大约有1000×＝360（名）．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、样本容量等知识点，解答明确题意、掌握数形结合的思想成为解答本题的关键．
23. 如图，在中，点、分别是、的中点． 求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．在中，根据平行四边形的性质可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形．
【详解】证明：在中，，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
24. 如图，在中，点O是边上的一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
（1）说明；
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说明你的结论．
（3）在（2）的前提下满足 ，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明）
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）点O在边上运动到中点时；证明过程见解析；
（3）；
【解析】
【分析】本题综合考查了平行线性质，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论；
（2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形；
（3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形．
【小问1详解】
解： 平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，都为等腰三角形，
．
【小问2详解】
解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形．
如图所示，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，即，
四边形是矩形．
【小问3详解】
解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形．如图所示，
，，平分，平分，
，，
，
，
四边形是正方形．
25. 我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
（1）四边形是等对角四边形，，若则 ， ．
（2）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
（3）如图③，在平行四边形中，于点E且．点P在射线上，设，求四边形为等对角四边形时x的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）由等对角四边形得出，再由四边形内角和即可求出；
（2）根据题目已给信息作图即可；
（3）分当时，当时，分别讨论，证明，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是等对角四边形，，
则，
∵
∴，
∴
故答案为：，．
【小问2详解】
由题意可得：等对角四边形ABCD如图所示
【小问3详解】
解：如图所示，过点作，交于点，
当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图所示，
同理可得，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理、全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；解决本题的关键理解新定义，分类讨论．
26. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．
（1）写出点B的坐标是（ ， ）；
（2）当时，求点E的坐标；
（3）在点E的整个运动过程中，
①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；
②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 ．（请直接写出答案）
【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）； （3）① E（0，）； ② 4
【解析】
【分析】（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，故点D的坐标分别为（3，0）、则点A（6，0），即可求解；
（2）对于y＝2x−6，令x＝0，求出G点的坐标，由对称性得出，所以，列出等式求解即可；
（3）①根据菱形的性质得出EG//BF，BE＝GF＝BF＝EG，判断出BF在OA的延长线上，由BE2＝EG2列出等式，求解即可；
②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，由三角形形全等判定推出△BCE≌△BTF（AAS），推出点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE，即可表示出点F的坐标，由GE＝GF，列出等量关系求解即可．
【详解】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，
∴D的坐标分别为（3，0），
∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA，
∴A（6，0），
B（6，6），
故答案为：6；6；
（2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6，
∴ G（0，﹣6），
∵点E关于直线DG的对称点F，
∴，
∴
设点E的坐标为（0，m）．
∴EG＝m+6，
∵， B（6，6），
∴，
∴，
解得m＝2，
∴E（0，2）；
（3）①若四边形BEGF菱形，则EG//BF，
∴ BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上，
根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG，
∵点E的坐标为（0，m），
∴BE2＝EG2，BE2＝BC2 +CE2
∴，
解得：，
∴E（0，）；
②如下图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，
∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，
过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，
∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°，
∴∠CBE＝∠FBA，
∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF，
∴△BCE≌△BTF（AAS），
∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC，
故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m，
故点F（12−m，0），
∵GE＝GF，
∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2
∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2，
解得：m＝4．
故答案为：4
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理，熟练掌握所学性质定理是解题的关键．
1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。
【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。
2. 下列调查适合普查的是 （ ）
A. 调查全市初三所有学生每天的作业量B. 了解全省每个家庭月使用垃圾袋的数量
C. 了解某厂2016年生产的所有插座使用寿命D. 对“天舟一号”的重要零部件进行检查
【答案】D
【解析】
【详解】A. 调查全市初三所有学生每天的作业量，适合采用抽样调查，故本选项错误；
B. 了解全省每个家庭月使用垃圾袋的数量，适合采用抽样调查，故本选项错误；
C. 了解某厂2016年生产的所有插座使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项错误；
D. 对“天舟一号”的重要零部件进行检查，为保证成功发射，应对其零部件进行全面检查，故此选项正确，
故选D．
3. 下列约分计算结果正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．
【详解】∵与a+b没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的，
∴选项A不符合题意；
∵a+m与a+n没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的；
∴选项B不符合题意；
∵-a+b= -(a+b)与a+b的公因式是a+b，
∴，
∴选项C符合题意；
∵，
∴的计算是错误的；
∴选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．
4. 若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出选项即可．
【详解】解：A．
，故本选项不符合题意；
B．
，即分式的值扩大2倍，故本选项不符合题意；
C．
，即分式的值不变，故本选项符合题意；
D．
，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变．
5. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线垂直C. 邻边垂直D. 邻角互补
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可．
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：B．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等但不一定垂直是解题的关键．
6. 平行四边形的一条边的长度为12，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A. 6和14B. 10和14C. 18和20D. 12和36
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】解：如图，设，长对角线为，短对角线为，对角线相交于点E，
A．它的两条对角线的长为6和14时， ，，故不符合题意；
B．它的两条对角线的长为10和14时，，，故不符合题意；
C．它的两条对角线的长为18和20时，，，符合题意；
D．它的两条对角线的长为12和36时，，，故不符合题意；
故选：C．
7. 以下命题中，真命题是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 矩形和等边三角形都中心对称图形
C. 顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，该选项不符合题意；
B、矩形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，原命题是假命题，该选项不符合题意；
C、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形，真命题，该选项符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原命题是假命题，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定方法，难度不大．
8. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB=5，再根据旋转的性质可得=AC=4，=BC=3，从而求出=2，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
∵将绕点B逆时针旋转得，
∴A’C’=AC=4，BC’=BC=3．
∴AC’=AB-BC’=5-3=2，∠A’C’B=∠C=90°，
∵∠A’C’B+∠A’C’A=180°，
∴∠A’C’A=90°，
∴ =
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
9. 如图，已知△ABC的面积为21，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 3B. 7C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】连接EC，过A作AMBC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×的值即可．
【详解】解：连接EC，过A作AMBC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DECF，EFCD，
∴AMDECF，ACFM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×，
∵△ABC的面积是21，BC=3CF，
∴BC× =×3CF×=21，
∴CF×=14，
∴阴影部分的面积是×14=7，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键．
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，若∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S四边形ABCD＝AB•AC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正确的个数有（ ）个
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤由三角形中线的性质可得：S△BOE＝S△EOC＝OE•OC＝．
【详解】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝2，
故②正确；
∵∠BAC＝90°，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故③正确；
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，
故④正确；
⑤∵BE＝EC＝2，
∴S△BOE＝S△EOC＝OE•OC＝，
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____．若分式的值为0，则x的值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及分式的值为0的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据分母不为0可求解空1，根据分子等于0且分母不等于0可求解空2．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
∵分式的值为0，
∴且，
∴．
故答案为：；．
12. 在中，，则______°．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，
在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
13. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_________，面积为________．
【答案】 ①. 20 ②. 24
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．
【详解】解：如图所示，
菱形中，，
∴，
∴，
∴此菱形的周长是：，
面积是：，
故答案为：20，24．
【点睛】此题主要考查了菱形的基本性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
14. 已知，则代数式的值为_____________．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了分式的求值运算，适当变形后整体代入是解题的关键．解法一将变形为，再将变形为整体代入求解．解法二将原式的分子和分母同时除以，再将整体代入即求出值．
【详解】解：解法一：
，即，
∴原式．
解法二：将原式的分子和分母同时除以，
故答案为：4．
15. 若平行四边形三个顶点坐标分别为，则在第四象限的第四个顶点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质求解．
【详解】解：如图，设第四象限的第四个顶点的坐标为，
则，
∴，
第四象限的第四个顶点的坐标为
故答案为．
16. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长．
【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3），
∴OB=
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用．
17. 如图，在中，D分别是的中点，是上一点，连接若，则的长度为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．先证明，继而得到；再证明为的中位线，即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，
∴中，，
∴；
∵分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：12．
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为正方形，点A坐标为（0，3），点C坐标为（－3，0），线段DE∥x轴，点E在y轴上，点D的坐标为（4，5），若正方形OABC沿x轴左右运动，连接BE、AD，则在运动过程中，四边形ADEB周长的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作，作点M与点N关于直线AB对称，连接MN、AM、MD交AB于H，证明四边形ABEN为平行四边形，当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，进而进行求解即可．
【详解】如图所示：
过点A作，
作点M与点N关于直线AB对称，
连接MN、AM、MD交AB于H，
∵，且点D坐标为，
∴点E坐标为，，
∴四边形ABED周长=AB+BE+ED+AD=BE+AD+7，
∵，，
∴，，
∴四边形ABEN为平行四边形，
∴，
∵M，N关于AB对称，
∴，
∴，
当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，
四边形ADFE周长最小值为，
∵四边形ABEN为平行四边形，
∴
∵，点E坐标为，
∴点N坐标为，
∵直线AB解析式为，点N，点M关于AB对称，
∴点M坐标为，
∴，
∴四边形ADEB周长=，
∴四边形ADEB周长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了正方形平移问题，正确画出辅助线，读懂题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1）
（2）
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂的意义，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算开方和零指数幂，再算加减；
（2）先算乘法，再算减法即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
20. 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
【答案】x+1； 当x=－2时，原式=－1．
【解析】
【分析】利用分式的运算法则化简，再代入合适的值即可求解．
【详解】
=
=
= x+1
∵当x=-1，0，1时，分母为零，无意义，所以x只能取-2，
故当x=-2时，原式=-1．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及分母不为零的情况．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点O 成中心对称．
（1）画出；
（2）是的边上一点，将平移后点P的对应点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）对称中心的坐标为；
【解析】
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
【小问1详解】
解：即为所求；
【小问2详解】
解：∵，平移后点P的对应点，
∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
如下所示：
【小问3详解】
解：连接，相交于点，
∴对称中心的坐标为；
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22. 某校为了了解九年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了两幅尚不完整的统计图，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中D组圆心角度数是 ；
（3）请你估计该校九年级体重超过60kg的学生大约有多少名？
【答案】（1）见解析，50；（2）72°；（3）360
【解析】
【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，再计算出B组的频数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）先根据直方图中的数据计算出D组所占的百分比，然后再乘以360度即可；
（3）用九年级学生总数乘以样本中体重超过60kg的学生的百分比即可．
【详解】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%＝50，
B组的频数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12，
补全频数分布直方图，如图：
故填：50；
（2）在扇形统计图中D组的圆心角度数是：360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8＝18（名），
估计该校九年级体重超过60kg的学生大约有1000×＝360（名）．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、样本容量等知识点，解答明确题意、掌握数形结合的思想成为解答本题的关键．
23. 如图，在中，点、分别是、的中点． 求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．在中，根据平行四边形的性质可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形．
【详解】证明：在中，，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
24. 如图，在中，点O是边上的一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
（1）说明；
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说明你的结论．
（3）在（2）的前提下满足 ，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明）
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）点O在边上运动到中点时；证明过程见解析；
（3）；
【解析】
【分析】本题综合考查了平行线性质，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论；
（2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形；
（3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形．
【小问1详解】
解： 平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，都为等腰三角形，
．
【小问2详解】
解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形．
如图所示，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，即，
四边形是矩形．
【小问3详解】
解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形．如图所示，
，，平分，平分，
，，
，
，
四边形是正方形．
25. 我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
（1）四边形是等对角四边形，，若则 ， ．
（2）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
（3）如图③，在平行四边形中，于点E且．点P在射线上，设，求四边形为等对角四边形时x的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）由等对角四边形得出，再由四边形内角和即可求出；
（2）根据题目已给信息作图即可；
（3）分当时，当时，分别讨论，证明，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是等对角四边形，，
则，
∵
∴，
∴
故答案为：，．
【小问2详解】
由题意可得：等对角四边形ABCD如图所示
【小问3详解】
解：如图所示，过点作，交于点，
当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图所示，
同理可得，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理、全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；解决本题的关键理解新定义，分类讨论．
26. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．
（1）写出点B的坐标是（ ， ）；
（2）当时，求点E的坐标；
（3）在点E的整个运动过程中，
①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；
②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 ．（请直接写出答案）
【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）； （3）① E（0，）； ② 4
【解析】
【分析】（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，故点D的坐标分别为（3，0）、则点A（6，0），即可求解；
（2）对于y＝2x−6，令x＝0，求出G点的坐标，由对称性得出，所以，列出等式求解即可；
（3）①根据菱形的性质得出EG//BF，BE＝GF＝BF＝EG，判断出BF在OA的延长线上，由BE2＝EG2列出等式，求解即可；
②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，由三角形形全等判定推出△BCE≌△BTF（AAS），推出点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE，即可表示出点F的坐标，由GE＝GF，列出等量关系求解即可．
【详解】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，
∴D的坐标分别为（3，0），
∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA，
∴A（6，0），
B（6，6），
故答案为：6；6；
（2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6，
∴ G（0，﹣6），
∵点E关于直线DG的对称点F，
∴，
∴
设点E的坐标为（0，m）．
∴EG＝m+6，
∵， B（6，6），
∴，
∴，
解得m＝2，
∴E（0，2）；
（3）①若四边形BEGF菱形，则EG//BF，
∴ BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上，
根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG，
∵点E的坐标为（0，m），
∴BE2＝EG2，BE2＝BC2 +CE2
∴，
解得：，
∴E（0，）；
②如下图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，
∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，
过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，
∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°，
∴∠CBE＝∠FBA，
∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF，
∴△BCE≌△BTF（AAS），
∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC，
故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m，
故点F（12−m，0），
∵GE＝GF，
∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2
∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2，
解得：m＝4．
故答案为：4
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理，熟练掌握所学性质定理是解题的关键．
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