河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试文科数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，与复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】得到共轭复数及对应的点的坐标，求出所在象限.
【详解】复数的共辄复数为，故对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A
2. 我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据题意，结合题中所给新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.
详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，
只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.
点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.
3. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是
A. 各月的平均最低气温都在0℃以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．
【考点】统计图
【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．
4. 如图所示，在复平面内，对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为( )
A. 1－iB. 1－2i
C. －1－iD. －i
【答案】D
【解析】
【分析】要求P0对应的复数，根据题意，只需知道，而，从而可求P0对应的复数
【详解】因为，对应的复数是－1，
所以P0对应的复数，
即对应的复数是，故选D.
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2021次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）
A. 编号1B. 编号2C. 编号3D. 编号4
【答案】A
【解析】
【分析】先通过换位的规则得到周期，再根据周期得答案.
【详解】根据换位的规则，可得第四次，第五次，第六次，第七次换座后的结果如下图：
据此可以归纳得到：四个小动物在换座位的过程中，每换座位四次就会与原来一样，即以4为周期，因此在次换座位后，四个小动物的位置应该是和第1次换座位后的位置一样，即小兔的座位对应的编号是.
故选：A.
7. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ）
A. 甲、乙、丙B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲D. 甲、丙、乙
【答案】A
【解析】
【分析】利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
8. 用反证法证明命题：“若函数，那么中至少有一个不小于"时，反设正确的是（ ）
A. 假设，都不小于
B. 假设，都小于
C. 假设，至多有两个小于
D. 假设，至多有一个小于
【答案】B
【解析】
【分析】根据反证法的知识确定正确选项.
【详解】由反证法可知，“若函数，那么中至少有一个不小于"，反设正确的是“假设，都小于”.
故选：B
9. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（ ）
A. 33B. 34C. 35D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】先确定二进制数，再化十进制数即可.
【详解】根据条件可得符号为“”表示的二进制数为，
则其表示的十进制数是.
故选：B.
10. 某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为
A. 0.02B. 0.08C. 0.18D. 0.72
【答案】D
【解析】
【详解】设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子发芽后又能成长为幼苗”为事件B|A，由P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
考点：条件概率.
11. 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当时，；当时，；当时，；当时，
输出，故选C.
考点：本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.
12. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，， ，则第7行第4个数（从左往右数）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设数阵的定义依次求出、，、、、，即得结果.
【详解】记第n行的第m个数为，由题意知，
所以，，，，
.
故选：A
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知i为虚数单位，复数的实部与虚部相等，则实数_______．
【答案】
【解析】
【分析】化简复数为，利用复数的实部与虚部相等，即可求出．
【详解】因为，
由题意知，解得．
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
14. 某工程的工序流程图如图（工时单位：天），现已知工程总时数为10天，则工序所需工时数为______天．
【答案】
【解析】
【分析】设工序所需工时数为天，按照不同流程计算求解即可.
【详解】设工序所需工时数为天，
按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为(天)，
按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为(天)，
故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天，
则，解得.
故答案为：.
15. 甲乙两人比赛，比赛的规则为连胜两局者获胜，比赛结束．已知甲每局获胜的概率0.6，乙每局获胜的概率0.4，甲乙之间没有平局且局与局之间相互不受影响，则恰好比赛4局结束比赛的概率是______．
【答案】#
【解析】
【分析】分甲胜乙胜甲胜甲胜和乙胜甲胜乙胜乙胜两种情况求解.
【详解】恰好比赛4局结束比赛，则4局比赛为：
情形一：甲胜乙胜甲胜甲胜，情形二：乙胜甲胜乙胜乙胜，
所以恰好比赛4局结束比赛的概率
.
故答案为：
16. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有三种，又是这三种分解中两数的差最小的，我们称为12的最佳分解，当是正整数的最佳分解时，我们规定函数，例如，下列有关函数的说法，正确的是：______（把正确的答案题号都填上）．
①；②；③；④若是一个质数，则；⑤若是一个完全平方数，则．
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】根据“最佳分解”的定义求解即可.
【详解】对于①：由题意得，的最佳分解为，所以，故①正确；
对于②，由题意得，的最佳分解为，所以，故②不正确；
对于③，由题意得，的最佳分解为，所以，故③正确；
对于④，若是一个质数，则的最佳分解为,所以，故④正确；
对于⑤，若是一个完全平方数，则的最佳分解可以设为,所以 ,故⑤正确.
故答案: ①③④⑤.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知复数，（i为虚数单位）．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的乘除计算求出复数代数形式，再求模即可；
（2）代入，然后利用复数相等列方程求解.
【小问1详解】
，
则；
【小问2详解】
，
因为，
所有，解得.
18. 在中，角的对边分别是，且，求证：角为锐角．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用反证法，假设为直角或钝角，然后利用边角关系找出矛盾，从而证明角为锐角．
【详解】假设为直角或钝角，此时为锐角，
必有，即，
所以，所以，与矛盾，
故假设不成立，
所以角为锐角.
19. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：，
【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；
（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）列联表如下：
，
因此，有把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
20. 某城市理论预测2015年到2019年人口总数与年份的关系如下表所示
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求出关于的线性回归方程；
（3）据此估计2021年该城市人口总数．
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）与之间具有很强的线性相关性
（2）
（3）（十万）
【解析】
【分析】（1）由相关系数公式求得相关系数判断；
（2）利用最小二乘法求出与的值，则线性回归方程可求；
（3）在(2)中求得的线性回归方程中取求得值即可.
【小问1详解】
，
，
，
，
所以，则该组数据中与之间具有很强的线性相关性；
【小问2详解】
，，
则关于的线性回归方程为；
【小问3详解】
在线性回归方程中，取，得，
估计2021年该城市人口总数为（十万）.
21. 下面图形都是由小正三角形构成的,设第个图形中的黑点总数为.
(1)求的值;
(2)找出与的关系,并求出的表达式.
① ② ③ ④
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
分析】（1）根据题意可直接写出结果；
（2）分别计算出，，，，归纳出，再由累加法即可求出的表达式.
【详解】（1）由题意可得：，，，；
（2）因为； ； ； ；
观察猜想：是一个首项为公差为的等差数列，
即．
因为；；；
；
；
把上述式子累加可得到：；
又因为，所以.
【点睛】本题主要考查归纳推理以及累加法求数列的通项公式，属于常考题型.
22. 已知函数，函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的极值；
（2）对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）．
【解析】
【分析】（1）先由函数在点处的切线方程为求出a、b，然后利用导数求极值；
（2）由题意把当时，不等式恒成立转化为讨论函数在上单调递增，利用导函数求参数的范围.
【详解】解：（1）函数的定义域为，，
由，解得，
可知，，
可知在时，，函数单调递增，
在时，，函数单调递减，在单调递增，
可知函数的极小值为，
的极大值为.
（2）由，得，
可知函数在上单调递增，
，，
可得，即，
设，
，
可知函数在上单调递减，
所以，
所以，可知参数的取值范围为.
【点睛】（1）已知切线方程求参数通常利用三个条件列方程：①切点在曲线上；②切点在切线上；③斜率相等.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围通常可以求出导函数，利用分离参数法.
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
人次
人次
空气质量好
空气质量不好
年份
2015
2016
2017
2018
2019
时间代号
0
1
2
3
4
人口总数（十万）
5
7
8
11
19