2022-2023学年山西省太原市八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山西省太原市八年级下学期期末数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了填空题将答案写在题中横线上，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。


请将其字母序号填入下表相应位置.
1．（3分）分式有意义的条件是（）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x＝2D．x≠2
2．（3分）电动车在我国发展已经超过 30年时间，在两轮电动车领域，不断有科技含量高的技术出现．下列电动车新技术的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．SDS专利智慧动力系统B．MAX聚能电池
C．整车LED节能灯组D．MAX聚能电机
3．（3分）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）
A．x2﹣4xB．x2﹣4x+4C．x2﹣4D．x2+4
4．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点 D，E分别是 AC，AB
的中点，则DE的长为（）
A．1.5B．2C．2.5D．4
5．（3分）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式
为（）
xyB．5xyC．5xyzD．20xy6．（3分）不等式2﹣3x＞2x﹣8 的正整数解有（）
个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）如图，▱ ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，AB⊥BD，∠AOB＝45°．若 BD
＝4，则AC的长（）
A．8B．C．2D．
8．（3分）已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2（a＞0，b＞0），则该圆的半径是（）
A．3a+bB．9a+bC．3abD．3πa+πb
9．（3分）如图，正五边形 ABCDE中，边 AE，CD的延长线交于点 F，则∠F的度数为
（）
A．30°B．32°C．36°D．72°
10．（3分）某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费 24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费 72元．已知每行驶 1千米，纯燃油费用比纯
用电费用多0.6元．晓华根据这一情境中的数量关系列出方程则，则未知数
x表示的意义为（）
A．每行驶1千米纯用电的费用B．每行驶1千米纯燃油的费用
C．每1元电费可行驶的路程D．每1元油费可行驶的路程
二、填空题（本大题共 5个小题）将答案写在题中横线上
11（．3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于原点O成中心对称的点的坐标为．
12．（3分）多项式“3m3﹣5m2+▲”分解因式的结果为m（3m2﹣5m﹣2），则原多项式中“▲”处所缺的项为 ．
13．（3分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移，当点B的对应点与点C重合时得到△DCE，连接AD．若∠ACB＝80°，则∠ADE 的度数为 ．
14．（3分）如图，直线 y＝ax+b（a≠0）过点 A（﹣3，0），B（0，3），则关于 x的不等式
ax+b＞3 的解集是 ．
15．（3分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，DE⊥AB于点E，连接CE．请从下面A，B 两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若AC＝BC＝8，则线段CE 的长为 ．
B．如图2，若AC＝8，BC＝6，则线段CE的长为 ．
三、解答题（本大题共 8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
分解因式：
（1）x2y﹣9y；
（2）（a+1）（a﹣1）﹣（1+a）2；
（3）利用因式分解计算：842﹣28×84+142．
解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
解方程：．
已知：如图，▱ ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上的两点，顺次连接点 A，E，C，F， A，得到四边形 AECF．若四边形 AECF 也是平行四边形，求证：BE＝DF．
20．2023年 5月 8日是第 76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置 AED设备，第一次总费用为 88000元，第二次总费用为 120000
元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
该校第一次购置 AED设备多少台？
该校计划将所购置的 AED 设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜 10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超
过 7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
如图，已知△ABC是等边三角形，点 D是 AB边上的一点．
求作：直线 DE，使 DE⊥BC于点 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
在（1）所作图中，取 AC边上的点 F，使 AF＝AD，连接 DF，EF．若 BD＝2AD，请按要求补全图形，并证明四边形 DBEF是平行四边形（若完成第（1）题有困难，可画草图完成第（2）题）．
阅读下列材料，完成相应的任务．
真分式与假分式
将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数；类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于
分母中整式的次数，如
，
，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中
整式的次数时，如，
，称为真分式．一些假分数可以化为带分数，即整数
与真分数之和，如：
；类似地，我们也可以把一些假分式化为带
分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例
＝2
．
任务：
：
；
下列分式中，是假分式（填序号）：
①；②；③．
小彬将一个假分式化成带分式的结果为请求出原来的假分式；
请从下面A，B 两题中任选一题作答，我选择 题．
将假分式化成带分式的结果为 ．
将假分式化成带分式的结果为 ．
综合与实践：
问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图 1所示的等腰三角形纸片（即△ABC），其中AB＝AC＝2，BC＝4，AD 是BC 边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究．
初步分析：（1）“勤学”小组发现图 1中的 AD与 BC相等，请你证明这一结论；
操作探究：（2）“善思”小组将△ABC纸片沿 AD剪开，然后保持△ABD不动，将△ACD从图 1 的位置开始运动．
①如图 2，将△ACD绕点 C 逆时针旋转 90°得到△FCE，点 E，F分别是 D，A的对应点，连接 BE．猜想线段 AB 与 BE 之间的数量关系与位置关系，并说明理由；
②如图 3，将△ACD沿射线 BC方向平移得到△GHP，点 G，H，P分别是 A，D，C的对应点．连接 AP，CG 交于点 O．
请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择题．
当以 A，C，O为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出平移的距离．
当以 A，C，O为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出平移的距离．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
请将其字母序号填入下表相应位置.
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0，解得 x≠2，故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与自身重合．
【分析】根据提公因式法、平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：A．x2﹣4x＝x（x﹣4），因此选项 A 不符合题意； B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，因此选项 B 不符合题意； C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项 C符合题意；
D．x2+4在实数范围内不能进行因式分解，因此选项 D不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
【分析】由勾股定理求解 BC的长，再利用三角形的中位线定理可求解 DE的长．
【解答】解：在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝，
∵点 D，E分别是 AC，AB的中点，
∴DE＝BC＝2．故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的中位线定理，掌握勾股定理，三角形的中位线定理是解题的关键．
【分析】找出分子、分母的公因式即可．
【解答】解：＝＝，
则将化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为5xy，故选：B．
【点评】本题考查的是最简分式的概念、公因式的概念，各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1可得答案．
【解答】解：∵2﹣3x＞2x﹣8，
∴﹣3x﹣2x＞﹣8﹣2，
﹣5x＞﹣10，则 x＜2，
∴其正整数解为 1，故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，由∠ABD＝90°，∠AOB
＝45°，得∠OAB＝∠AOB＝45°，则AB＝OB＝2，所以OA＝＝2，则
AC＝2OA＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC，BD相交于点 O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝×4＝2，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵∠AOB＝45°，
∴∠OAB＝∠AOB＝45°，
∴AB＝OB＝2，
∴OA＝＝＝2，
∴AC＝2OA＝2×2＝4，故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明∠OAB＝∠AOB＝45°是解题的关键．
【分析】将原式提公因式π后，利用完全平方公式得到π（3a+b）2＝πR2即可．
【解答】解：∵原式＝π（9a2+6ab+b2）
＝π（3a+b）2＝πR2，
∴R＝3a+b，
即半径为 3a+b，故选：A．
【点评】本题考查提公因式法、公式法因式分解，理解公因式的定义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
【分析】求出正五边形每个外角的度数，由三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵正五边形每个外角度数＝＝72°，
∴∠DEF＝∠EDF＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝36°．故选：C．
【点评】本题考查正多边形的性质，三角形内角和定理，关键是求出正五边形的每个外角的度数．
【分析】根据 x与 x+0.6的关系，可得出 x表示每行驶 1千米纯用电的费用，此题得解．
【解答】解：∵每行驶 1千米，纯燃油费用比纯用电费用多 0.6元，
∴x表示每行驶 1千米纯用电的费用，x+0.6表示每行驶 1千米纯燃油的费用．故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的分式方程，找出未知数 x
表示的意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共 5个小题）将答案写在题中横线上
【分析】关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，据此解答即可．
【解答】解：点 A（﹣2，3）关于坐标原点 O中心对称的点的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点成中心对称的点坐标特点，熟知关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，是解题的关键．
【分析】根据单项式乘多项式计算m（3m2﹣5m﹣2），再根据因式分解的定义得出答案．
【解答】解：∵m（3m2﹣5m﹣2）＝3m3﹣5m2﹣2m，而 3m3﹣5m2+▲＝m（3m2﹣5m﹣2），
∴▲＝﹣2m，
故答案为：﹣2m．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，理解公因式的定义以及单项式乘多项式是正确解答的前提．
【分析】根据平移的性质可得 AC∥DE，AD∥CE，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：由平移可知：AC∥DE，AD∥CE，
∴∠DEC＝∠ACB＝80°，∠ADE+∠E＝180°，
∴∠E＝100°．故答案为：100°．
【点评】本题主要考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
【分析】根据图象求解．
【解答】解：由图象得：ax+b＞3的解集为：x＞0，故答案为：x＞0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
【分析】根据自己的能力选择 A；
由勾股定理求解 AB的长，AE及 BE的长，过 E点作 EF⊥BC于点 F，求得 BF，CF
的长，再利用勾股定理可求解；
由勾股定理求解 AB的长，过 C点作 CF⊥AB于点 F，求得 CF的长，再利用勾股定理 AF 的长，即可求得 EF 的长，利用勾股定理可求解．
【解答】解：A；
A．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，
∴AB＝，∠A＝∠B＝45°，
∵D为 AC的中点，
∴AD＝AC＝4，
∵DE⊥AB于点 E，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝DE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝，过 E 点作 EF⊥BC 于点 F，
∴∠FEB＝∠B＝45°，
∴BF＝EF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2，
∴CE＝，
故答案为：；
B．∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝，
过 C点作 CF⊥AB于点 F，
∴CF＝，
∴AF＝，
∵DE⊥AB，
∴CF∥DE，
∵D为 AC的中点，
∴E为 AF的中点，
∴AE＝EF＝AF＝3.2，
∴CE＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识的综合运用，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共 8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
【分析】（1）依据题意，根据因式分解的方法，先提公因式再运用公式法即可得解；
依据题意，根据因式分解的方法进行变形可以得解；
依据题意，根据完全平方公式法进行计算可以得解．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣9）
＝y（x+3）（x﹣3）．
（2）原式＝（a+1）[（a﹣1）﹣（a+1）]
＝（a+1）×（﹣2）
＝﹣2（a+1）．
（3）原式＝842﹣2×14×84+142
＝（84﹣14）2
＝702
＝4900．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能准确计算是关键．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤﹣3，解不等式②得：x＜4，
∴原不等式组的解集为：x≤﹣3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【分析】最简公分母为 4（3+x），方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：，
方程两边都乘 4（x+3），可得：4×（2﹣x）＝x+3+4，去括号得：8﹣4x＝x+7，
移项得：x+4x＝8﹣7，
系数化为1得：x＝，
检验：当x＝时，3+x≠0，
∴x＝是原方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的过程，注意验根是关键．
【分析】由平行四边形的性质得 CB∥AD，CB＝AD，CE∥AF，则∠CBE＝∠ADF，∠ CEF＝∠AFE，所以∠CEB＝∠AFD，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△CBE
≌△ADF，则 BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，CB＝AD，
∴∠CBE＝∠ADF，
∵四边形 AECF是平行四边形，
∴CE∥AF，
∴∠CEF＝∠AFE，
∴180°﹣∠CEF＝180°﹣∠AFE，
∴∠CEB＝∠AFD，在△CBE和△ADF中，
，
∴△CBE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△CBE≌△ADF 是解题的关键．
【分析】（1）设该校第一次购置 AED设备 x台，则该校第二次购置 AED设备（x+2）台，
利用单价＝总价÷数量，结合第二次每台价格是第一次每台价格的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购买立式存储柜 y个，则购买壁挂式存储柜（10﹣y）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过 7000元，可列出关于 y的一元一次不等式，解之可得出 y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该校第一次购置 AED设备 x台，则该校第二次购置 AED设备（x+2）台，
根据题意得：＝×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．答：该校第一次购置 AED 设备 4 台；
（2）设购买立式存储柜 y个，则购买壁挂式存储柜（10﹣y）个，根据题意得：500（10﹣y）+1200y≤7000，
解得：y≤，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为 2．
答：最多可购买立式存储柜 2个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图；
（2）根据“一组对边平行且线段的四边形是平行四边形”进行证明．
【解答】（1）解：如图：直线 DE即为所求；
（2）证明：在等边三角形 ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝BC，
∵DE⊥BC，
∴BD＝2BE，
∵AF＝AD，
∴△ADF为等边三角形，
∴AD＝DF，∠ADF＝60°，
∴DF∥BC，
∵BD＝2AD，
∴BE＝AD＝DF，
∴四边形 BEFD是平行四边形．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【分析】（1）依据题意，读懂题目后进行分析判断即可得解；
依据题意，根据分式的加减法法则进行计算可以得解；
依据题意，任选一个进行变形即可得解．
【解答】解：（1）由题意，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中
整式的次数时，称为真分式．
＝
．
＝2﹣
；
∴①③是假分式，②是真分式．故答案为：①③．
（2）由题意，x+1+＝
（3）由题意，对A，＝
对于B，＝＝＝3（x+1）+．故答案为：A、B 任选一个填写即可；2﹣；3（x+1）+．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握分式的加减运算法则并准确计算．
【分析】（1）根据勾股定理求得 BD的值，进而得出结果；
（2）①可证明△CEF≌△ECB，从而 BE＝CF，进一步得出 AB＝BE；
②A：可排除 OA＝OC，当 OA＝AC＝2时，由勾股定理得，PD＝8，从而 CP＝PD﹣CD
＝8﹣2＝6，当AC＝OC＝2时，作CR⊥AG于R，求得GR＝＝8，进而
AG＝AR+GR＝2+8＝10；
B：当∠AOC＝90°时，可得四边形 ACPG菱形，从而得出结果；当∠ACO＝90° 时，
取 PD的中点 T，连接 OT，可证得△ADC≌△CTO，从而 CT＝AD＝4，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是 BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BC＝2BD，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝2，
∴BC＝4，
∴AD＝BC；
（2）①AB＝BE，理由如下：
由旋转得：CF＝AC，AD＝EF，∠CEF＝∠ADC＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠CEF，
∵AB＝AC，AD＝BC，
∴CF＝AB，EF＝BC，
∵CE＝CE，
∴△CEF≌△ECB（SAS），
∴BE＝CF，
∴AB＝BE；
②A：如图 1，连接 AG，
∵AG∥CP，AG＝CP，
∴四边形 ACPG是平行四边形，
∵∠ACP≠90°，
∴四边形 ACPG不是矩形，
∴AP≠CG，
∵OC＝，OA＝，
∴OA≠OC，如图 2，
当 OA＝AC＝2时，
由上知：AP＝2OA＝4，
在 Rt△ADP中，由勾股定理得，
PD＝＝8，
∴CP＝PD﹣CD＝8﹣2＝6，如图 3，
当AC＝OC＝2时，作 CR⊥AG 于 R，
∵CG＝2OC＝4，CR＝AD＝4，
∴GR＝＝8，
∴AG＝AR+GR＝2+8＝10，
综上所述：平移的距离是 6或 10时，△ACO是等腰三角形；
B：如图 4，
当∠ACO＝90° 时，取 PD的中点 T，连接 OT，
∴∠ACD+∠OCT＝90°，
∵AO＝OP，
∴OT∥AD，OT＝AD＝2，
∴∠ADC＝∠OTC＝90°，OT＝CD＝2，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠OCT，
∴△ADC≌△CTO（AAS），
∴CT＝AD＝4，
∴PT＝CT＝2+4＝6．
∴DH＝PD﹣HP＝12﹣2＝10；如图 5，
当∠AOC＝90° 时，
由上知：四边形 ACPG是平行四边形，
∴▱ ACPG是菱形，
∴CP＝AC＝2，
∴综上所述：当10或2时，△AOC是直角三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形和菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论。