专题4.3 模型构建专题：全等三角形中的常见之五大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

这是一份专题4.3 模型构建专题：全等三角形中的常见之五大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版），文件包含专题43模型构建专题全等三角形中的常见之五大考点原卷版docx、专题43模型构建专题全等三角形中的常见之五大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28403" 【典型例题】 PAGEREF _Tc28403 \h 1
\l "_Tc2133" 【考点一 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc2133 \h 1
\l "_Tc11861" 【考点二 三垂直模型】 PAGEREF _Tc11861 \h 8
\l "_Tc28882" 【考点三 旋转型模型】 PAGEREF _Tc28882 \h 17
\l "_Tc11023" 【考点四 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc11023 \h 23
\l "_Tc22952" 【考点五 截长补短模型】 PAGEREF _Tc22952 \h 33
【典型例题】
【考点一 一线三等角模型】
例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．
【答案】探究：见解析；应用：6
【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和△CAF中，
∴；
应用
解：∵△ABE≌△CAF，
∴，
∴，
∵，的面积为9，
∴，
∴与的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且于点于点，证明：；
（2）迁移应用：如图②，点在的边、上，点在内部的射线上，分别是的外角，已知，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
（1）先根据同角的余角相等得出，再根据证明即可；
（2）先根据已知条件证明，再根据证明即可求解．
【详解】（1）证明∶，
在和中，
，
（2）解∶．理由如下：
，
，
，
在和中，
2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）（1）如图①，已知∶中，，直线经过点于于，求证∶；
（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用∶如图③，在中，是钝角，，，直线与BC的延长线交于点，若的面积是12，求与的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）先证明，，然后根据即可证明；
（2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；
（3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）成立，证明如下：
∵，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（3）同（2）可证，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键．
3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
（1）由条件可证明，可得，，可得结论；
（2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论；
（3）过作于，，交的延长线于由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论是的中点．
【详解】解：（1）如图，
直线，直线，
，
，
，
，
.
在和中，
，
，，
；
（2）成立：．
如图，
，
，
，
在和中．
．
≌，
，，
；
（3）如图，
过作于，，交的延长线于，
，
由（1）和（2）同理可证，，
.
，
在和中，
，
≌，
，
是的中点．
【考点二 三垂直模型】
例题：通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；
（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．
【详解】（1））解：于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）证明：如图2，作于点，
∵于点，于点E，
∴，
由，
同理（1）得，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键．
（1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解；
（2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
过点B作于点F，即，
，
，，
.
，
.
.
在和中，，
.
.
，，
.
.
（2）解：.理由如下：
过点B作于点F，∴，
由（1）可得：，
.
，
，.
，
.
.
在和中，，
.
.
2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到；
（2）同（1）利用可证明，根据即可得到；
（3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度；
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（2）∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（3）如图，过作于，的延长线于，
∴
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得：
∴，，
即：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由即可求解；
（2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可；
（3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
故答案为：；
（2）证明：作

由“K字模型”可得：
∴
即：点G是的中点
（3）解：作，如图：

∵四边形和四边形均为正方形
∴
由“K字模型”可得：
即：
∵
∴
【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键．
【考点三 旋转型模型】
例题：如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
2．如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．
（1）请说明的理由；
（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；（3）
【分析】（1）先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；
（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；
（3）由（1）知，，
∴．
【点睛】本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；
（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．
【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S△AED•AD•EB12×12＝72．
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S△AED•AD•EB2×2＝2．
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
【考点四 倍长中线模型】
例题：（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线；
（1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；
（2）先用证明，得出，再用证明，即可解答．
【详解】（1）解：选方法一来证明，
是的中线，
在和中
，
，
在中，
，
，
即：，
，
（2）解：延长到F使，连接，如图所示；
点D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中
（__________）
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）已作；对顶角相等；；
（2）
（3）6
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长到点，使，由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长．
【详解】（1）证明：延长到点，使，
在和中，
，
；
（2）由（1）得：，且，，
，
在中，，
；
（3）延长交的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
，，
又且
，
，
，
．
即：的长是6．
2．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；
②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，
为的中点，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
∴，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）（1）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，过点B作直线的平行线，交线段的延长线于点，可以判定，得出，这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是：____________，
（2）【类比应用】如图2，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展创新】如图3，在四边形中，与的延长线交于点F，E是的中点，是的平分线，试判断的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】(1)
(2) ,见解析
(3) 见解析
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定，等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．
(2) 根据，证明，判定是等腰三角形证明即可．
(3) 延长交的延长线于点G，仿照(2)的证明解答即可．
【详解】（1）∵边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
(2)延长交的延长线于点F，
∵，
∴，，
∵ E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
(3)如图，延长交的延长线于点G，
∵，
∴，，
∵ E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
【考点五 截长补短模型】
例题：在四边形中，点C是边的中点．
(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；
(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．
【答案】(1)，见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；
（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；
【详解】（1），理由如下：
在上取一点F，使，连接．
∵平分，
∴，
在和中
∴．
∴ ，，
∵C是边的中点．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中
∴．
∴ ．
∵，
∴．
（2），理由如下：
在上取，，连接，．
与（1）同理，可得，．
∴，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【变式训练】
1．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．
【详解】（1）解：在上截取，连接．

∵平分，
∴．
在和中，
∴
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接．
①证明；
②若，，设，可得的取值范围是 ；
（2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．

【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析
【分析】（1）①根据三角形的中线得出，再由对顶角相等得出，即可得出结论；
②先由，得出，再由，得出，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；
（2）先根据判断出，得出，再根据判断出，得出，即可求出答案．
【详解】（1）①证明：是的中线，
，
在和中，
，
；
②解：由①知，，
，
，
，
，，
，
在中，，
根据三角形的三边关系得，，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长，截取，连接，，

，，
即，，
∴，
，
是中线，
，
，，
∴，
，
∵，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．
3．（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法______；（填“正确”或“错误”）．
（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出，即可解题；
（2）证明方法同（1）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题；
（3）证明方法同（2）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：正确；
（2）解：上题中的结论依然成立；
如图2，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：正确，
如图3，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．