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专题4.1 三角形与图形全等之十一大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）
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这是一份专题4.1 三角形与图形全等之十一大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版），文件包含专题41三角形与图形全等之十一大考点原卷版docx、专题41三角形与图形全等之十一大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5710" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5710 \h 1
\l "_Tc21749" 【考点一 三角形的识别与有关概念】 PAGEREF _Tc21749 \h 1
\l "_Tc19855" 【考点二 构成三角形的条件】 PAGEREF _Tc19855 \h 3
\l "_Tc23619" 【考点三 确定第三边的取值范围】 PAGEREF _Tc23619 \h 4
\l "_Tc17429" 【考点四 根据三角形的中线求长度】 PAGEREF _Tc17429 \h 5
\l "_Tc6275" 【考点五 根据三角形的中线求面积】 PAGEREF _Tc6275 \h 7
\l "_Tc24696" 【考点六 三角形的角平分线】 PAGEREF _Tc24696 \h 9
\l "_Tc15883" 【考点七 三角形的高线】 PAGEREF _Tc15883 \h 11
\l "_Tc13676" 【考点八 全等图形识别】 PAGEREF _Tc13676 \h 13
\l "_Tc19878" 【考点九 全等三角形概念和性质】 PAGEREF _Tc19878 \h 14
\l "_Tc15830" 【考点十 由三角形全等求时间或线段长】 PAGEREF _Tc15830 \h 16
\l "_Tc26339" 【考点十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 PAGEREF _Tc26339 \h 19
\l "_Tc21073" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21073 \h 23
【典型例题】
【考点一 三角形的识别与有关概念】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，边BE所对的角是，所对的边是；在中，边AE所对的角是，所对的边是；以为内角的三角形有．
【答案】 CEAC，，
【解析】略
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察图形．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出的边、顶点及三个内角；
(3)以为内角的三角形有哪些？
(4)以AB为边的三角形有哪些？
【答案】(1)7个，见解析
(2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，
(3)，，
(4)，，
【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，．
（2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，．
（3）以为内角的三角形有，，．
（4）以AB为边的三角形有，，．
2．（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，在中，点，分别在，上，交于点．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来．
(2)写出以为内角的三角形．
(3)写出的对边．
(4)写出以线段为边的三角形．
【答案】(1)图中有个三角形，分别是，，，，，，，
(2)，
(3)在中，的对边是；在中，的对边是
(4)，
【分析】本题考查三角形定义，三角形的边和内角
（1）先找出基本三角形，再找组合图形；
（2）根据三角形的内角即可解答；
（3）根据三角形的边即可解答；
（4）根据三角形的边即可解答；
解题的关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．
【详解】（1）解：图中有个三角形，分别是，，，，，，，；
（2）含有的三角形有，；
（3）在中，的对边是；在中，的对边是；
（4）以线段为边的三角形有，．
【考点二 构成三角形的条件】
例题：（23-24八年级下·广东广州·开学考试）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，6，9B．5，6，10C．5，6，11D．1，4，7
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误；
B、，能构成三角形，故B正确；
C、，不能构成三角形，故C错误；
D、，不能构成三角形，故D错误．
故选B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）下列各组数分别表示3条线段的长度，其中能组成三角形的是（ ）
A．2，5，6B．2，7，9C．3，4，8D．2，3，6
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
【详解】解：A、，符合三角形三边关系，能构成三角形；
B、，不符合三边关系，不能构成三角形；
C、，不符合三边关系，不能构成三角形；
D、，不符合三边关系，不能构成三角形；
故选：A．
2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，再取一根，想围成三角形，有（ ）种取法．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案．
【详解】解：设三角形的第三边长为，
则，
即，
∴可取，，，有3种取法；
故选：A
【考点三 确定第三边的取值范围】
例题：（23-24八年级上·吉林·阶段练习）已知a、b、c是的三边，，，c为整数，则c的最小值为．
【答案】5
【分析】本题考查三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．掌握三角形三边的关系是解题的关键．
根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据为整数，即可得出答案．
【详解】解：∵、、是的三边，，，
∴，即，
又∵为整数，
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如果三角形的三边长分别为，那么的取值范围为．
【答案】
【分析】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；熟记该性质是本题的解题关键．
【详解】解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知：
，即：，
故答案为：．
2．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）在中，若，则第三边的长度m的取值范围是；若m的值为偶数，则．
【答案】 4或6或8或10或12
【分析】本题考查求第三边的取值范围，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出m的取值范围即可．
【详解】解：由题意，得：，即：，
当为偶数时，4或6或8或10或12；
故答案为：，4或6或8或10或12．
【考点四 根据三角形的中线求长度】
例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中线（三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线），根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．解题的关键是掌握三角形中线的定义．
【详解】解：∵为边的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山西大同·期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周长为20，
所以．
故答案为：17．
2．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出．
【详解】解：边上的高，，的面积是，
，即，
，
是边上的中线，
，
故答案为：8．
【考点五 根据三角形的中线求面积】
例题：（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则．
【答案】5
【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，连接，设，根据据同高三角形的面积比等于底边比，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，，，
∴，，
连接，设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：5．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图， 的边上有一点，取的中点，连接，，如果的面积为4，则图中阴影部分的面积为．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，，即可推出，进而求解即可，解题关键是掌握三角形中线的性质．
【详解】解：点是的中点，
是的中线，是的中线，
，，
，
故答案为：2．
2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，是中边上的中线，分别是的中点．若的面积为3，则的面积为．
【答案】24
【分析】本题考查了三角形的面积公式，由于F是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍，同理由于E是的中点，得出的面等于面积2倍，由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
同理，
故答案为：24．
【考点六 三角形的角平分线】
例题：（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义有∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF，得∠OCD=90°，再根据外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC的外角
∴∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF
∵∠ACB+∠ACF=180°
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACF）=90°
∴∠BOC=∠OCD+∠D
∴∠D=110°－90°=20°
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线定义，三角形外角的应用，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，则；与的平分线相交于点，则；依此规律得，则．
【答案】
【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律．
【详解】解：∵、分别平分和，
∴，，
而，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，难度适中．
【考点七 三角形的高线】
例题：（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，作边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形高线的作法．中边上的高线是过A点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：在中，作边上的高线为：
．
故选：D
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，，则中边上的高是哪条垂线段（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
根据三角形的高的定义，中边上的高是过A点向作的垂线段，即可解答．
【详解】解：于E，
中边上的高是垂线段．
故选：A．
2．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)4
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，
（1）延长，过A作与D，即可得到答案．
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案．
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，即为所求：
（2）如下图，即为所求
（3），
∴．
故答案为：4．
【考点八 全等图形识别】
例题：（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”是解题的关键．
【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形，
故选C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
B选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选B．
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据全等图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是全等的图形，故本选项符合题意；
B、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
C、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
D、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形全等是解题的关键．
【考点九 全等三角形概念和性质】
例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，，则的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
根据全等三角形的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：A．
2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．
①的对应角为（ ）；②的对应角为（ ）；③的对应角为（ ）；④的对应边为（ ）；⑤的对应边为（ ）．
【答案】，，，，
【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案．
【详解】解：∵，
∴①的对应角为；
②的对应角为；
③的对应角为；
④的对应边为；
⑤的对应边为；
故答案为：，，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．
【考点十 由三角形全等求时间或线段长】
例题：（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为．
【答案】或或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得．
⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
【变式训练】
1.如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过s后，与全等．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于点A，于B，
∴．
设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则．
分两种情况：
①若，则，，．
可知，
∴≌；
②若，则，
解得：，可知，
此时与不全等．
综上所述：运动后与全等．
故答案为：4．
【考点十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和】
例题：（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中，度．
【答案】
【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
根据网格的特点可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．
2．（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求度．
【答案】45
【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）一个三角形的两边长分别为和，若第三边的长为奇数，则第三边的长为（ ）
A．13B．9C．7D．11
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系可求出第三边的取值范围，再根据第三边长是奇数即可求解．
【详解】解：设第三边长为，由三边关系可得：
，
，
因为第三边为奇数，
所以，
故选：B．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列四组图形中，不是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【详解】观察发现，A、B、C选项的两个图形都可以完全重合，
∴是全等图形，
D选项中两个图形大小不一样，不可能完全重合，
∴不是全等形．
故答案选D.
【点睛】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形.
3．（23-24八年级上·青海海东·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长．
【详解】解：，
，，
，
，
．
故选：C．
4．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断．
【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
5．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，点、分别为、的中点，，若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题灵活考查了三角形的面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．根据点、分别为、的中点，求出，，进而求出，再根据三角形的面积公式，由，求出，最后得出的面积．
【详解】解：点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
的面积为：；
故选：C
二、填空题
6．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，是边上的中线，的面积是1，则的面积是．
【答案】2
【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵是边上的中线，的面积是1，
∴，
故答案为：2．
7．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是．
【答案】 ///
【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可．
【详解】解：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是．
故答案为：；；
8．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知a、b、c 是三角形的三边长，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：a、b、c 是三角形的三边长，
，，
，，
，
故答案为：．
9．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，中，是的角平分线，，交于点E，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质、角平分线的定义及平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
由是的外角，利用三角形的外角性质可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再由，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
10．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是．
【答案】15
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解．
【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
∴第5个图形中有全等三角形的对数是：．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
三、解答题
11．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
(1)求c的取值范围；
(2)若第三边长c是整数，求c的值．
【答案】(1)
(2)c的值为，，
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值．
（1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第三边长c是整数，求c的值即可．
【详解】（1）解：∵，
，，
解得，，
，，
∴．
（2）解：∵是整数，
的值为，，．
12．（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）如图，已知平分的外角，交的延长线于点E，，
(1)求的度数 ．
(2)求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用．
（1）根据角平分线和外角性质求解即可．
（2）根据角平分线和外角性质求解即可．
【详解】（1）解：∵是的一个外角，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：由（1）得，
，
∵为的一个外角，
∴ ，
∴．
13．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，此题难度不大．
（1）根据高的定义求得为直角，结合即可求出的度数；
（2）首先根据外角的性质求出的度数，再结合角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数．
【详解】（1）解：在中，
，
，
，
；
（2）解：是的外角，，，
．
平分，
．
14．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)的面积为______．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)6；
【分析】（1）本题考查作格点三角形的高，根据格点图形的性质直接作图即可得到答案；
（2）本题考查作格点三角形的中线，根据格点线段中点作中线即可得到答案；
（3）本题考查求格点三角形的面积，根据（1）求出，再结合中线即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，的边上的高如图所示，
；
（2）解：由题意可得，的边上的中线如图所示，
；
（3）解：由（1）得，
，
∵是的边上的中线，
∴．
15．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且．
(1)求的度数；
(2)若，试判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；
（2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案．
【详解】（1），，
，
，
，
，
，
；
（2），且．
理由：，
，，
．
16．（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点．
(1)，，求的度数；
(2)若的面积为，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角定理、三角形中线的性质以及三角形的面积计算．熟练掌握这些知识点是解决本题的关键．
（1）利用三角形的外角定理，可求出的度数．
（2）由中线可将三角形分成面积相等的两个三角形，以及三角形的面积计算公式可解决此题．
【详解】（1）是的一个外角，
．
，，
．
（2）连接，
为的中线，
．
同理．
，
，
．
，．
．
解得．
EF的长为．
17．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若，求的大小．
(2)若的面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）解：为中线，
，
，
．
18．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且．
(1)求的长；
(2)求和的周长之差；
(3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)7cm
(3)
【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积，
（1）根据三角形面积公式得，据此可得的长；
（2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差；
（3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值．
【详解】（1）在中，，，，，为边上的高，
，
，
即的长度为；
（2）为边上的中线，
，
的周长为：，
的周长为：，
的周长的周长，
即和的周长之差为；
（3）点是边的三等分点，
有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
在中，，，，
，
为边上的中线，
，
，即，
，
，
，即，
；
②当时，如图2所示：
同理得：，
，
，
，即，
．
综上所述：的值为．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5710" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5710 \h 1
\l "_Tc21749" 【考点一 三角形的识别与有关概念】 PAGEREF _Tc21749 \h 1
\l "_Tc19855" 【考点二 构成三角形的条件】 PAGEREF _Tc19855 \h 3
\l "_Tc23619" 【考点三 确定第三边的取值范围】 PAGEREF _Tc23619 \h 4
\l "_Tc17429" 【考点四 根据三角形的中线求长度】 PAGEREF _Tc17429 \h 5
\l "_Tc6275" 【考点五 根据三角形的中线求面积】 PAGEREF _Tc6275 \h 7
\l "_Tc24696" 【考点六 三角形的角平分线】 PAGEREF _Tc24696 \h 9
\l "_Tc15883" 【考点七 三角形的高线】 PAGEREF _Tc15883 \h 11
\l "_Tc13676" 【考点八 全等图形识别】 PAGEREF _Tc13676 \h 13
\l "_Tc19878" 【考点九 全等三角形概念和性质】 PAGEREF _Tc19878 \h 14
\l "_Tc15830" 【考点十 由三角形全等求时间或线段长】 PAGEREF _Tc15830 \h 16
\l "_Tc26339" 【考点十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 PAGEREF _Tc26339 \h 19
\l "_Tc21073" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21073 \h 23
【典型例题】
【考点一 三角形的识别与有关概念】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，边BE所对的角是，所对的边是；在中，边AE所对的角是，所对的边是；以为内角的三角形有．
【答案】 CEAC，，
【解析】略
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察图形．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出的边、顶点及三个内角；
(3)以为内角的三角形有哪些？
(4)以AB为边的三角形有哪些？
【答案】(1)7个，见解析
(2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，
(3)，，
(4)，，
【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，．
（2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，．
（3）以为内角的三角形有，，．
（4）以AB为边的三角形有，，．
2．（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，在中，点，分别在，上，交于点．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来．
(2)写出以为内角的三角形．
(3)写出的对边．
(4)写出以线段为边的三角形．
【答案】(1)图中有个三角形，分别是，，，，，，，
(2)，
(3)在中，的对边是；在中，的对边是
(4)，
【分析】本题考查三角形定义，三角形的边和内角
（1）先找出基本三角形，再找组合图形；
（2）根据三角形的内角即可解答；
（3）根据三角形的边即可解答；
（4）根据三角形的边即可解答；
解题的关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．
【详解】（1）解：图中有个三角形，分别是，，，，，，，；
（2）含有的三角形有，；
（3）在中，的对边是；在中，的对边是；
（4）以线段为边的三角形有，．
【考点二 构成三角形的条件】
例题：（23-24八年级下·广东广州·开学考试）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，6，9B．5，6，10C．5，6，11D．1，4，7
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误；
B、，能构成三角形，故B正确；
C、，不能构成三角形，故C错误；
D、，不能构成三角形，故D错误．
故选B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）下列各组数分别表示3条线段的长度，其中能组成三角形的是（ ）
A．2，5，6B．2，7，9C．3，4，8D．2，3，6
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
【详解】解：A、，符合三角形三边关系，能构成三角形；
B、，不符合三边关系，不能构成三角形；
C、，不符合三边关系，不能构成三角形；
D、，不符合三边关系，不能构成三角形；
故选：A．
2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，再取一根，想围成三角形，有（ ）种取法．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案．
【详解】解：设三角形的第三边长为，
则，
即，
∴可取，，，有3种取法；
故选：A
【考点三 确定第三边的取值范围】
例题：（23-24八年级上·吉林·阶段练习）已知a、b、c是的三边，，，c为整数，则c的最小值为．
【答案】5
【分析】本题考查三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．掌握三角形三边的关系是解题的关键．
根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据为整数，即可得出答案．
【详解】解：∵、、是的三边，，，
∴，即，
又∵为整数，
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如果三角形的三边长分别为，那么的取值范围为．
【答案】
【分析】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；熟记该性质是本题的解题关键．
【详解】解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知：
，即：，
故答案为：．
2．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）在中，若，则第三边的长度m的取值范围是；若m的值为偶数，则．
【答案】 4或6或8或10或12
【分析】本题考查求第三边的取值范围，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出m的取值范围即可．
【详解】解：由题意，得：，即：，
当为偶数时，4或6或8或10或12；
故答案为：，4或6或8或10或12．
【考点四 根据三角形的中线求长度】
例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中线（三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线），根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．解题的关键是掌握三角形中线的定义．
【详解】解：∵为边的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山西大同·期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周长为20，
所以．
故答案为：17．
2．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出．
【详解】解：边上的高，，的面积是，
，即，
，
是边上的中线，
，
故答案为：8．
【考点五 根据三角形的中线求面积】
例题：（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则．
【答案】5
【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，连接，设，根据据同高三角形的面积比等于底边比，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，，，
∴，，
连接，设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：5．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图， 的边上有一点，取的中点，连接，，如果的面积为4，则图中阴影部分的面积为．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，，即可推出，进而求解即可，解题关键是掌握三角形中线的性质．
【详解】解：点是的中点，
是的中线，是的中线，
，，
，
故答案为：2．
2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，是中边上的中线，分别是的中点．若的面积为3，则的面积为．
【答案】24
【分析】本题考查了三角形的面积公式，由于F是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍，同理由于E是的中点，得出的面等于面积2倍，由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
同理，
故答案为：24．
【考点六 三角形的角平分线】
例题：（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义有∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF，得∠OCD=90°，再根据外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC的外角
∴∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF
∵∠ACB+∠ACF=180°
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACF）=90°
∴∠BOC=∠OCD+∠D
∴∠D=110°－90°=20°
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线定义，三角形外角的应用，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，则；与的平分线相交于点，则；依此规律得，则．
【答案】
【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律．
【详解】解：∵、分别平分和，
∴，，
而，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，难度适中．
【考点七 三角形的高线】
例题：（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，作边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形高线的作法．中边上的高线是过A点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：在中，作边上的高线为：
．
故选：D
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，，则中边上的高是哪条垂线段（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
根据三角形的高的定义，中边上的高是过A点向作的垂线段，即可解答．
【详解】解：于E，
中边上的高是垂线段．
故选：A．
2．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)4
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，
（1）延长，过A作与D，即可得到答案．
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案．
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，即为所求：
（2）如下图，即为所求
（3），
∴．
故答案为：4．
【考点八 全等图形识别】
例题：（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”是解题的关键．
【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形，
故选C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
B选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选B．
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据全等图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是全等的图形，故本选项符合题意；
B、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
C、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
D、不是全等的图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形全等是解题的关键．
【考点九 全等三角形概念和性质】
例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，，则的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
根据全等三角形的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：A．
2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．
①的对应角为（ ）；②的对应角为（ ）；③的对应角为（ ）；④的对应边为（ ）；⑤的对应边为（ ）．
【答案】，，，，
【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案．
【详解】解：∵，
∴①的对应角为；
②的对应角为；
③的对应角为；
④的对应边为；
⑤的对应边为；
故答案为：，，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．
【考点十 由三角形全等求时间或线段长】
例题：（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为．
【答案】或或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得．
⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
【变式训练】
1.如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过s后，与全等．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于点A，于B，
∴．
设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则．
分两种情况：
①若，则，，．
可知，
∴≌；
②若，则，
解得：，可知，
此时与不全等．
综上所述：运动后与全等．
故答案为：4．
【考点十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和】
例题：（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中，度．
【答案】
【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
根据网格的特点可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．
2．（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求度．
【答案】45
【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）一个三角形的两边长分别为和，若第三边的长为奇数，则第三边的长为（ ）
A．13B．9C．7D．11
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系可求出第三边的取值范围，再根据第三边长是奇数即可求解．
【详解】解：设第三边长为，由三边关系可得：
，
，
因为第三边为奇数，
所以，
故选：B．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列四组图形中，不是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【详解】观察发现，A、B、C选项的两个图形都可以完全重合，
∴是全等图形，
D选项中两个图形大小不一样，不可能完全重合，
∴不是全等形．
故答案选D.
【点睛】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形.
3．（23-24八年级上·青海海东·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长．
【详解】解：，
，，
，
，
．
故选：C．
4．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断．
【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线垂直，交的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
5．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，点、分别为、的中点，，若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题灵活考查了三角形的面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．根据点、分别为、的中点，求出，，进而求出，再根据三角形的面积公式，由，求出，最后得出的面积．
【详解】解：点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
的面积为：；
故选：C
二、填空题
6．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，是边上的中线，的面积是1，则的面积是．
【答案】2
【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵是边上的中线，的面积是1，
∴，
故答案为：2．
7．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是．
【答案】 ///
【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可．
【详解】解：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是．
故答案为：；；
8．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知a、b、c 是三角形的三边长，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：a、b、c 是三角形的三边长，
，，
，，
，
故答案为：．
9．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，中，是的角平分线，，交于点E，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质、角平分线的定义及平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
由是的外角，利用三角形的外角性质可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再由，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出的度数．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
10．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是．
【答案】15
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解．
【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
∴第5个图形中有全等三角形的对数是：．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
三、解答题
11．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
(1)求c的取值范围；
(2)若第三边长c是整数，求c的值．
【答案】(1)
(2)c的值为，，
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值．
（1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第三边长c是整数，求c的值即可．
【详解】（1）解：∵，
，，
解得，，
，，
∴．
（2）解：∵是整数，
的值为，，．
12．（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）如图，已知平分的外角，交的延长线于点E，，
(1)求的度数 ．
(2)求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用．
（1）根据角平分线和外角性质求解即可．
（2）根据角平分线和外角性质求解即可．
【详解】（1）解：∵是的一个外角，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：由（1）得，
，
∵为的一个外角，
∴ ，
∴．
13．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，．
(1)求的度数；
(2)平分交于点，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，此题难度不大．
（1）根据高的定义求得为直角，结合即可求出的度数；
（2）首先根据外角的性质求出的度数，再结合角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数．
【详解】（1）解：在中，
，
，
，
；
（2）解：是的外角，，，
．
平分，
．
14．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)的面积为______．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)6；
【分析】（1）本题考查作格点三角形的高，根据格点图形的性质直接作图即可得到答案；
（2）本题考查作格点三角形的中线，根据格点线段中点作中线即可得到答案；
（3）本题考查求格点三角形的面积，根据（1）求出，再结合中线即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，的边上的高如图所示，
；
（2）解：由题意可得，的边上的中线如图所示，
；
（3）解：由（1）得，
，
∵是的边上的中线，
∴．
15．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且．
(1)求的度数；
(2)若，试判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；
（2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案．
【详解】（1），，
，
，
，
，
，
；
（2），且．
理由：，
，，
．
16．（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点．
(1)，，求的度数；
(2)若的面积为，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角定理、三角形中线的性质以及三角形的面积计算．熟练掌握这些知识点是解决本题的关键．
（1）利用三角形的外角定理，可求出的度数．
（2）由中线可将三角形分成面积相等的两个三角形，以及三角形的面积计算公式可解决此题．
【详解】（1）是的一个外角，
．
，，
．
（2）连接，
为的中线，
．
同理．
，
，
．
，．
．
解得．
EF的长为．
17．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若，求的大小．
(2)若的面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）解：为中线，
，
，
．
18．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且．
(1)求的长；
(2)求和的周长之差；
(3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)7cm
(3)
【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积，
（1）根据三角形面积公式得，据此可得的长；
（2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差；
（3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值．
【详解】（1）在中，，，，，为边上的高，
，
，
即的长度为；
（2）为边上的中线，
，
的周长为：，
的周长为：，
的周长的周长，
即和的周长之差为；
（3）点是边的三等分点，
有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
在中，，，，
，
为边上的中线，
，
，即，
，
，
，即，
；
②当时，如图2所示：
同理得：，
，
，
，即，
．
综上所述：的值为．
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