2024年山东省德州市德城区九年级中考一模数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1. 下列各数中，最小的是（ ）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：∵2，1是正数，，是负数，
∴最小数的是在，里，
又，，且，
∴，
∴最小数的是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解．
【详解】解：∵主视图是直角三角形，
故A，C，D选项不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．
3. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数，方差，根据方差越小越稳定决策即可．
【详解】解：丙的平均数最大，方差最小，
丙成绩好且状态稳定，
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．根据题意逐项计算即可．
【详解】A. ，此选项不正确；
B. ，此选项不正确；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项不正确．
故选：C．
5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，

，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
6. 若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
∴该直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
7. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，，则；再证明得到，则，，进而得到，同理可得．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，，
∴
同理可得，
故选：A．
8. 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一件盈利，另一件亏本，则两件上衣的进价之和为（ ）
A. 230元B. 240元C. 250元D. 260元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据题意可分别设进价，由售价及盈亏情况可分别求出进价，再求和即可．
【详解】解：设盈利的那件进价为元，亏本的那件进价为元，则
解得
故两件上衣进价之和为：（元）．
故选：C．
9. 如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据C为的中点，得到，利用等腰三角形性质推出，利用圆内接四边形性质，得到，推出，进而可得，再利用解直角三角形推出，进而求得即可解题．
【详解】解： C为的中点，
，
，
，
四边形内接于，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
10. 已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．根据根与系数关系得到，，进而求得，，即可．
【详解】解：∵关于的方程的两根分别为和，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
11. 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得 ，根据，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，，
∵，
∴，
与中，
，
∴ ，
∴，
∵正方形中，，O是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为．
故选C．
【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造是解题的关键．
12. 把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点仍在原抛物线上，则是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向平移的直线分解为水平方向和竖直方向的平移．
根据一次函数解析式，利用勾股定理求出，然后求出抛物线的顶点坐标，可知顶点沿直线方向平移个单位，当于把顶点向右平移2个单位再向上平移1个单位或者是把顶点向左平移2各单位再向下平移1个单位，得出平移后抛物线的顶点坐标，再根据平移后的顶点原抛物线上，求出a的值．
【详解】解：直线
令，则；
令，则，
直线经过点，如图所示，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
把抛物线的顶点沿直线平移个单位，相当于把顶点向右平移2个单位再向上平移1个单位或者是把顶点向左平移2各单位再向下平移1个单位，
平移后的顶点坐标为或，
平移后的顶点在抛物线上，
把代入得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
，
，
故选：C
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
14. 在课后特色服务剪纸兴趣课上，李老师将在小鲁、小泉、小青和小德4名同学中随机抽取两名进行作品展示，则恰好抽到小鲁和小德的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查画树状图法或列表法求概率．根据题意画出树状图即可．
【详解】解：设小鲁、小泉、小青和小德分别用表示，则画树状图如下：
共有12中情况，其中符合题意的有2种，故概率为：．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交于，若,，则该矩形的周长为_______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形的性质．连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到矩形的周长．
【详解】连接，如图，
由作法得垂直平分，
在中，
所以该矩形的周长为．
故答案为24．
16. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简.由数轴可得，，判断，，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可.
【详解】解：由题意可得：，，
∴，，
∴

.
故答案为：.
17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为______．

【答案】10
【解析】
【分析】设，根据平行四边形对边平行得到点B的纵坐标为，根据图象沿轴对称所得图象为及中点性质得到，根据点O、A的水平距离为x及平行四边形对边平行且相等，推出点M、B的水平距离为，推出，得到，得到．
【详解】∵（）的图象经过平行四边形的顶点A，
∴设，
∵轴，
∴点B的纵坐标为，
∵图象沿轴对称所得图象为，这个图象恰好经过中点，
∴，
∵点O、A的水平距离为x，，，
∴点B、C的水平距离也为x，
∴点M、B的水平距离为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，轴对称，平行四边形．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的性质，关于y轴对称的函数的性质，平行四边形边的性质，中点坐标的性质．
18. 如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质．过点作于，先证，得，设，则，则，由，得，再表示出,最后用即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，
，
，
，
将沿折叠得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【答案】，2．
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意先化简分式，再解出不等式的值代入即可．
【详解】解：原式
解不等式得
，，
当时，原式．
20. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是________；
（2）本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________；
（3）若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．
【答案】（1）
（2）60，
（3）人
【解析】
【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（2）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数．
【小问1详解】
解：∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是；
故答案为：0.4
【小问2详解】
由题意可得，本次调查的样本容量是,
由题意得，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：60，
【小问3详解】
解：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
21. 如图，某校教学楼上悬挂一块高为的标语牌．某班学生开展综合实践活动．测量标语牌的底部点距地面的高度．如图，在测点A处安置测倾器（测倾器高度忽略不计），测得标语牌底部点的仰角为，在与点A相距4m的测点B处安置测倾器，测得标语牌顶部点的仰角为，求标语牌底部点距地面的高度的长（图中点A，B，，，在同一平面内）．（参考数据：，，）
【答案】点到地面的距离的长约为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
先解，设，则，再解即可．
【详解】
由题意得，，
，∴，
∴，
，
设，则,
，
在中，，
，
．
解得：．
答：点到地面的距离的长约为．
22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元
（2）本次购买最少花费2250元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆列出方程求解即可；
（2）设购买A种菜苗m捆，总花费为W元，则购买B种菜苗捆，先根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再由A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数列出不等式求出m的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
【小问2详解】
解：设购买A种菜苗m捆，总花费为W元，则购买B种菜苗捆，
由题意得，，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴，
∴，
∵，
∴W随m增大而减小，
∴当时，W最小，最小值为，
∴本次购买最少花费2250元．
23. 如图，已知，点M是上的一个定点．

（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；
（2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
；
【小问2详解】
解：∵和为的切线，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
24. 【问题初探】
（1）数学课上，老师给出如下信息：
如图1，，平分，且，垂足为，连接并延长，交于点．
①根据以上信息，通过观察，猜想，可以得到与的数量关系为：______；
②小亮同学从“平分”和“”这两个条件出发，想到了如下证明思路：如图2，延长交于点，构造出一对特殊位置的全等三角形，结论得以证明．
请你结合图2，按照小亮的思路写出证明过程．
【类比迁移】
（2）如图3，在中，，，平分，与交于点，过点作于点，若，求的值．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，平分，点是中点，过点作于点，交于点，求证：．
【答案】（1）①；②证明见解析；
（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
（1）①，②证明即可；
（2）延长交延长线于点，先证得，再证，最后证即可；
（3）作于，交于，先证得，再用勾股定理即可．
【详解】（1）①；
②证明：平分
又
，
；
（2）证明：如图，延长交的延长线于点，
又
在和中
平分
又
；
（3）作于，交于，
是的中点
由（1）
在中，
又
．
25. 以为自变量两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为．因为恒成立．所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立．
（1）已知函数与函数相交于点、．
①此时，的值分别为：______，______；
②求此时函数与的“相关函数”；
（2）已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围；
（3）已知以为自变量的函数与（为常数且，）．点，点，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）①，；②；
（2）；
（3）且；且．
【解析】
【分析】（1）①利用“相关函数”的定义，得出，的值；
②在①的前提下：；
（2）首先推导出相关函数，进而得到当时，对于x的每一个值函数y与g的“相关函数”，恒成立，恒成立，当时，，当时，恒成立，所以；
（3）∵函数与，推导出，进一步解得，从而得到，由，推导了出，得到且，最后求得函数h的图象截x轴得到的线段长度为：=，进而得到且．即可作答．
本题主要考查一次函数，二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“相关函数”的定义．
【小问1详解】
解：①∵已知函数与函数相交于点、．
∴，；
②∵，
∴函数，
；
【小问2详解】
解：函数与，
相关函数，
当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，
桓成立，
当时，，
当时，恒成立，
；
【小问3详解】
解：函数与，
，
将点、、代入解析式得：
，，，
，
，
，
解不等式得：且，
不妨令，则且，
设函数与轴交于，，
是方程的两根，
，，
函数的图象截轴得到的线段长度为：
，
且，
且，
即且．
甲
乙
丙
丁
平均数
92
98
98
91
方差
1
组别
时间
频数
5
20
15
8