2024年山东省德州市夏津县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 实数的相反数是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数．
【详解】解：的相反数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各个选项判断即可解答．
【详解】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，负整数指数幂，立方根，根据相关法则计算即可．
【详解】A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，选项错误，不符合题意；
D．，选项错误，不符合题意；
故选：B．
4. 下列用相同正方体堆放在一起组成的几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得主视图，从左面看到的图形是左视图，可得答案．
【详解】A．主视图和左视图都相同，底层为三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
D．主视图和左视图相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图．
5. 下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，不可以判定四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故选：C．
6. 近年来全国房价不断上涨，我市2008年的房价平均每平方米为 7000元，经过两年的上涨，2010年房价平均每平方米为 8500元，假设这两年房价的平均增长率均为 x，则关于x的方程为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次涨价后商品的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可．由于设这两年房价的平均增长率均为，那么2008年房价平均每平方米为元，2010年的房价平均每平方米为元，然后根据2010年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．
【详解】解：依题意得
．
故选：B
7. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，B. 蓄电池的电压是
C. 当时，D. 函数的表达式
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【详解】设，
∵图象过，
∴，故选项B正确，不符合题意，
∴，故选项D正确，不符合题意；
当时，，选项C正确，不符合题意；
根据函数图象可得当时，，选项A错误，符合题意；
故选：A．
8. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.
故选：D
【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.
9. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解∶由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
10. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A. ﹣2＜x＜﹣1B. ﹣1＜x＜0C. x＜﹣1D. x＞﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11. 如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，

则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
12. 如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．
先根据点D运动时，点P与点A重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．所以当时，点P在边上，此时，，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由题意知，点D运动时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在中，，，，
∴，
∴．
由函数图象得，
∴，
∴．
由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．
当时，点P在边上，如图2，
此时，，
∴．
∵，
又∵，
∴当时，的值最大，
此时．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共102分）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
【答案】x≥0且x≠1
【解析】
【详解】解：由题意得，
解得：且
故答案为且
14. 在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则点M到x轴的距离是_______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：∵点M的坐标是，
∴点M到x轴的距离是，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
15. 已知方程的两根是，则的值是______．
【答案】51
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，，再代入计算即可．
【详解】∵方程的两根是，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 已知，则的值为__________________________．
【答案】1
【解析】
【分析】先用平方差公式进行变形，代入之后再进行整理，再次代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用和代数式求值，利用整体代入的思想是解题的关键．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将沿直线EF折叠，点A的对应点为点，当点E，，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．
【答案】6﹣2或6+2
【解析】
【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题，（注意有两种情形）．
【详解】解：如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
在Rt△BCE中，EC＝ ，
∴CF＝CE＝2，
∵AB＝CD＝6，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2，
当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝2，
∴DF＝CD+CF′＝6+2
故答案为：6﹣2或6+2．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．
18. 如图，一组轴正半轴上的点满足条件，拋物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点和；第二条抛物线以为顶点且经过点和第条抛物线以为顶点且经过点，依次连接抛物线的顶点和与轴的两个交点，形成．请求出满足三角形面积为整数的的值的和______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，抛物线的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质求得系列点的坐标规律．先求得点的坐标，然后求得的面积，即可得到满足条件的整数．
【详解】过作轴于，
，
∵一组轴正半轴上的点满足条件，
∴，，
∵第条抛物线以为顶点且经过点，
∴，
∴，
∴点横坐标为，
∵拋物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，
∴，
∴
∴，
∵三角形面积为整数，
为9的约数，
或或，
或或，
∴满足三角形面积为整数的的值的和为，
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式
【解析】
【分析】先对分式进行化简，然后再代入结合二次根式进行求解．
【详解】解：原式
．
∴当时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
20. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，
（2）480人 （3）
【解析】
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
【小问2详解】
解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．
21. 山东夏津黄河故道古桑树群因其在防沙治沙、生物多样性保护、生物资源利用和农业景观维持等方面具有多功能价值，被联合国粮农组织收录为“全球重要农业文化遗产”，如今以古桑树群为核心不断滋养和丰富着夏津的文化成果和农业发展．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的处测得桑树树顶点的仰角为，然后向桑树的正下方前进6米后到达处，测得桑树树顶点的仰角为，已知测角仪和的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（结果精确到．参考数据：）
【答案】高度约为13米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，易得米，米，在中，，求出的值，再利用进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，
设米，
∵，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，
∵，

∴
即米，
由题意知：米，（米）．
答：高度约为13米．
22. 如图，为半圆的直径，点为圆心，点为半圆上一点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）过点A作的切线交的延长线于点，若的半径为，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据为半圆的直径，得出，证明，从而可以证明结论；
（2）根据已知条件先求出，，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
为半圆的直径，
，
，
，即，
为的切线．
【小问2详解】
解：的半径为，
，
，
，
都为切线，
，
设，
则根据勾股定理得：，
解得，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查了切线判定和性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
23. 某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？
【答案】（1）购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元
（2）购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元，利用数量=总价÷单价，结合用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可；
（2）设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具件，利用总价=单价×数量，结合购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最值即可得出结论．
【小问1详解】
设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元．
【小问2详解】
设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具件，
根据题意得，，
解得，
所以共有三种方案，
当时，购买甲4件，乙16件，费用（万元）；
当时，购买甲5件，乙15件，费用（万元）；
当时，购买甲6件，乙14件，费用（万元）；
∴购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：（万元）
答：购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元．
24. 综合与实践
【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．
“弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）．
①勾股定理 ②完全平方公式 ③平方差公式
【动手操作】
如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______；
【问题探究】
兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到．
（1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）；
【问题解决】
（2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题：
①请判断和的数量关系，并说明理由；
②若，求的长．
【答案】阅读经典：①；动手操作：49；问题探究：（1）正方形；（2）①，②的长为3或4
【解析】
【分析】阅读经典：根据“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，直接得出答案；
动手操作：先根据正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差求得正方形边长为7，再运用正方形面积公式即可求得答案；
问题探究：（1）先证得、均为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可证得四边形是矩形，由，即可证得四边形是正方形．
（2）①连接，，延长、交于点，设交于，由正方形性质可得：，，，进而可得，再利用直角三角形性质即可得出；
②分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，设，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】阅读经典：“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，
故答案为：①．
动手操作：正方形的边长，
，
故答案为：49．
问题探究：（1）如图，点为正方形对角线的中点，
、均为等腰直角三角形，
，，，
由旋转得：，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方形．
（2）①，
是直角三角形，，
由旋转得：，，，
四边形是正方形，
，
连接，，延长、交于点，设交于，如图，
四边形和是正方形，
，，，
，
即，
，
，
，
，，
点，分别为，的中点，
，，
；
②当点在上方时，如图，
设，则，
，，
，，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
；
当点在下方时，如图，
设，则，
，，
，，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
；
综上所述，长为3或4．
【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，直角三角形性质等，还考查了学生探究证明的能力，正确作出辅助线构造相似三角形是解本题的关键．
25. 【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，垂足分别为，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，直线交轴于点，交轴于点垂直于且，求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）直线的解析式为（3）或
【解析】
【分析】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
[类比迁移] （2）①过点作轴于点，证明，利用相似的性质得出，设，则，求出比例的各个值，然后代入可得点的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可．
[拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解．
【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，
则，
∴
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
又∵，，
∴．，，，
∴即，
解得：，，
∴
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．