2024年山东省菏泽市单县九年级数学中考一模试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年山东省菏泽市单县九年级数学中考一模试题（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省菏泽市单县九年级数学中考一模试题原卷版docx、2024年山东省菏泽市单县九年级数学中考一模试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试题共 24个题,满分 120分,考试时间120分钟.
2.请把答案写在答题卡上，选择题用 2B铅笔填涂，非选择题用0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，同样10片雪花的重量用科学记数法可表示为 ( )
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：
故选A．
3. 一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看到的图形即为俯视图进行求解即可．
【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
4. 下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．根据各运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，该选项计算错误；
B．，该选项计算错误；
C．，该选项计算错误；
D．，该选项计算正确．
故选：D．
5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则的结果可能是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴以及在数轴上两点间的距离，结合数轴，得 ，再结合进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：根据数轴，得
∵分别靠近和的中点
∴
故
故选：C
6. 已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于( )
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
，
故选C．
7. 如图，在中，点E在上且，与交于点F，若，则的长为 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键．根据平行四边形性质，易得，设的长为，根据，，即可求出的长．
【详解】解：设的长为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
，，，
，
，
∴．
又，
即，
解得，
故的长为．
故选B．
8. 如图，点在上，的半径为2，，连接并延长，交于点D，连接、，若，则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，解直角三角形，利用平行线的性质和圆周角定理得到，，再利用解直角三角形得到即可解题．
【详解】解：，，
,，
，
，
由题知为的直径，
的半径为2，
,，
．
故选：B．
9. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】解：，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
10. 如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，厘米，
厘米，
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：秒，
当点在上时，；故排除；
当时，点在点处，过点作于点，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 函数中自变量的取值范围是__________.
【答案】且
【解析】
【详解】根据题意得：
解得：且.
故答案为且.
【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零.
12. 如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则______°．

【答案】117
【解析】
【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论．
【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都为：，正五边形的每个内角都为：，
故，
故答案为：117．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握正八边形的各内角度数，正五边形的各内角度数是解题的关键．
13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键．
根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∴当时，；当时，；
∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜度数减少了度，
故答案为：．
14. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识．连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
15. 如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据与x轴相切得到圆心P到x轴的距离为1，即此时点P的纵坐标为1,再利用函数解析式求出点P的横坐标即可．
【详解】解：当与x轴相切时，圆心P到x轴的距离为1，即此时点P的纵坐标为1,
又∵圆心P在抛物线上运动；
∴；
解得或；
因此圆心p的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了二次函数、直线与圆相切，数形结合是解题的关键．
16. 我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将如图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和





……
请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ____
【答案】55
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能发现“杨辉三角”与展开式中各项系数的关系是解题的关键．根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，含项是展开式中的第三项，
观察每行中的第3个数，如图所示，
该列数中的第10个数为：，
故答案为：55．
三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）计算∶
（2）先化简，再求值∶ 其中a是使不等式 成立的正整数．
【答案】（1）；（2）， 当时，原式
【解析】
【分析】（1）先根据乘方，绝对值，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解∶ （1）
（2）



∵a是使不等式成立的正整数，
∴且a为正整数，
∴，2，3，
又∵， ，
∴，3，，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了实数的混合冤案，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
18. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度y(单位：米)的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米；
（2）根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10.5米时，即可得满分20分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
【答案】（1），
（2）明明在此次考试中能得到满分，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．
（1）根据表格中的数据分析即可；
（2）设抛物线的解析式为，再代入求出解析式，把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【小问1详解】
由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，
通过图表可得当时， ，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2.4米，
由当时，； 当时，，
可得对称轴为直线，
则当时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当时，，
得实心球在空中的最大高度是4.9米，
故答案为：，；
【小问2详解】
明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
由 (1)得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为
把代入，得
解得，
∴抛物线的解析式为；
把代入
得
解得，(不符合题意，舍去)，
∵，
∴明明在此次考试中能得到满分．
19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
20. 2024年4月 25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理． 数据分成五组， A组： ； B组： ； C组： ； D组： ； E组： ． 已知C组的数据为： 70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 77， 79． 根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度；
（3）现从E组里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加航天知识竞答决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）50，图见解析
（2）36 （3）
【解析】
【分析】（1）由D组的人数和所占百分比可求出总人数，利用总人数乘上B组的百分比求出B组的人数，即可补全统计图；
（2）乘以C组人数所占的比例即可求解；
（3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
本次随机抽查的学生人数：（人），
B组人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：50；
【小问2详解】
形统计图中，A 组所在扇形的圆心角度数为
故答案为∶ 36；
【小问3详解】
树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为P(选中甲、乙同学)
【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，根据题意找出所需数据是解题的关键．
21. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，长，确定点的坐标，代入反比例函数解析式即可；
（2）求出的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据求得．
【小问1详解】
在中，
，
可设，，
，
负值舍去，
，
，
，
；
【小问2详解】
∵
∴
∵轴
∴
设的解析式是：，
，
，
，
平移后的函数解析式是：，
由得，
，
，（舍去），
．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．
22. 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若的直径为5，，则CF的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）连接AD，在Rt△ABD中利用∠ABC的余弦值求出BD，再在Rt△BCF中利用∠C的余弦值求出即可求出BC．
【小问1详解】
证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
【小问2详解】
解：连接AD，
∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABC=∠ACB，，
∴，
∴BD=×5=4．
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BC=2BD=8，
∵，
∴CF=×8=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握切线的性质和余弦的定义是解答本题的关键．
23. 如图，已知二次函数． 图象与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作轴于点 H， 与交于点 M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段绕点 C顺时针旋转 点A的对应点为 判断点 是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求的最大值．
【答案】（1）
（2）不在抛物线上，理由见解析
（3）当时，取最大值， 最大值为
【解析】
【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出的坐标，进行判断即可；
（3）设P点坐标为，则M点坐标为，H点坐标为，将转化为二次函数求最值即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，
∴设抛物线的解析式为，
把， 代入， 得∶，
∴，
【小问2详解】
解：不在抛物线上；理由如下∶
过点作轴，
∵是由旋转得到，
∴，
∴与互余，与互余，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
对于 当时， ，
∴不在抛物线上；
【小问3详解】
解：∵，，
∴设直线， 将 代入， 得∶，
∴；
设P 点坐标为 则M点坐标为， H点坐标为．
∵，，，
∴，
∵轴，
，
∴，

当 时，取最大值， 最大值为
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路和方法．
24. 【问题提出】
在数学活动课上，数学王老师给出了如下的问题：
（1）如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且，求证：
【问题探究】
王老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
（2）如图2，“勤奋小组”增加条件：过点作交的延长线于点，求证：．
（3）在“勤奋小组”增加条件的基础上，“智慧小组”增加条件：，求证：．
【问题解决】
（4）“梦想小组”在前面学习的基础上，创编了新的问题，请你解答．
如图3，在四边形中，，，，平分交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）．
【解析】
【分析】（1）根据同角或等角的余角相等即可证明结论；
（2）由对顶角相等和等角的余角相等可以证明，再结合（1）中，即可得出结论；
（3）延长，交于点，证明得，进而可得，再证明即可得出，由此得出；
（4）延长，交于点，延长交于点，先证明，得，进而可得，同理（3）可以求出，，再由得，求出，根据即可求解．
【详解】（1）证明：，在中，，
在中，，
，
；
（2）证明：交的延长线于点，
，
，
，
，由（1），
；
（3）证明：如图1，延长，交于点，
，，，
，
，
，
，，，
，
；
（4）解：在中，，
如图2，延长，交于点，延长交于点．
，， ，
，
，
平分，
，，
同理（3）得，得，，
，
，，
，即，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．水平距离x/m
0
4
5
6
10
竖直高度y/m
2.4
4.8
4.9
4.8
2.4