新高考2024年高三数学专题训练数列（解答题篇）含答案

这是一份新高考2024年高三数学专题训练数列（解答题篇）含答案，共42页。试卷主要包含了已知等比数列的前项和为，，，已知数列满足，，记，已知等差数列的前项和为，且，.，已知数列是公比为2的等比数列.，已知数列前项和为，且满足.，已知为等差数列的前项和，，.等内容，欢迎下载使用。
(1)求等比数列的公比；
(2)求
2．已知数列满足，，记．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前n项和为，求数列的前n项的和．
3．已知，是公差互为相反数的两个等差数列，其中，且．
(1)求，；
(2)若，求数列的前n项和．
4．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式.
(2)设，试问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，；若不存在，请说明理由.
5．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
6．已知数列是公比为2的等比数列.
(1)若，求数列的前项和；
(2)若，证明：.
7．已知等差数列的公差为2，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的值.
8．已知是公差为的等差数列，它的前项和为，，数列中，.
(1)求公差的值；
(2)若，求数列中的最大项和最小项的值.
9．已知数列前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
10．已知为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
11．已知数列满足，，
(1)求；
(2)当为奇数时，求数列的前项和
12．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
13．已知数列满足，数列首项为2，且满足.
(1)求和的通项公式
(2)记集合，若集合的元素个数为，求实数的取值范围.
14．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
15．已知数列满足，且点在直线上
(1)求数列的通项公式；
(2)数列前项和为，求能使对恒成立的的最小值．
16．已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若为数列的前n项和，求使成立的n的取值范围.
17．已知数列是各项均为正数的等比数列，且是与的等差中项．数列满足，且．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记（其中，符号表示不超过x的最大整数），求数列的前n项和．
18．已知数列的前n项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
19．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)探究数列是否存在最大项，并说明理由．
20．已知数列满足，数列满足．
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若（，），求的取值范围；
(3)在数列中，是否存在正整数，，使，，（，，）构成等比数列？若存在，求符合条件的一组的值，若不存在，请说明理由．
21．已知数列满足，且，数列满足，且（表示不超过的最达整数），．
(1)求；
(2)令，记数列的前项和为，求证：．
22．已知数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：.
23．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前n项和，若为数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
24．已知常数，数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列是单调递增数列，求实数的取值范围．
参考答案：
1．(1).
(2).
【分析】（1）利用等比数列求和公式即可求公比；
（2）由（1）求出数列的通项公式，并判断出其为等比数列，利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）当时，，不合题意，舍；
当时，，
解得.
（2）由（1）得，
所以，所以为常数，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列．
故.
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，结合，得出，即可求解；
（2）由（1），求得，得到，分为偶数和为奇数，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为数列满足，，可得，
又因为，即，且，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1），可得数列的通项公式为，可得，
所以
当为偶数时，

；
当为奇数时，

，
所以数列的前项和为：.
3．(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可得，求出公差和，结合等差数列的通项公式计算即可求解；
（2）由（1）可得，利用错位相减求和法计算即可求解.
【详解】（1）设的公差为d，则的公差为，
依题意有，即，得，，
，．
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得
，
于是
4．(1)
(2)或或
【分析】（1）求得数列的首项和公差，从而求得.
（2）根据等差中项列方程，化简后根据为正整数求得符合题意的.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
依题意得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
假设存在符合题意的正整数，，，，成等差数列，
即，
，
交叉相乘并整理得，
当时，上式不符合，所以，
则，
当时，；当时，；当时，不是正整数；
当时，；当时，，不是正整数，则不是正整数，
综上所述，符合题意的为或或.
5．(1)
(2)
【分析】（1）当，直接代入求出，当，仿写之后作差求出即可.
（2）当为偶数时，，其中奇数项的和是等差数列直接求出即可，偶数项是等差乘等比，用错位相减法求出，最后求出；当为奇数时，.
【详解】（1）由，得，
当时，，即，又，所以.
当时，
所以，即，
整理得，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）得,
当为偶数时，
，
令，则，
令，所以，
两式相减，得
，
所以，
所以；
当为奇数时，
，
所以.
6．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差比数列，求出，利用错位相减法求出的前项和；
（2）根据当时，，当时，，放缩证明不等式.
【详解】（1）由，可得，
故，
所以数列的通项公式为.
则，
故，①
.②
由可得，
，
所以.
（2）证明：若，则数列的通项公式为.
当时，；
当时，.
故
7．(1)
(2)9100
【分析】（1）由已知可得，转化为关于首项和公差的方程，再求等差数列的通项公式；
（2）由等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）因为成等比数列，所以，
所以，解得：，
所以的通项公式为.
（2）因为,
所以,
所以的值为9100.
8．(1)；
(2)最大项的值为3，最小项的值为.
【分析】（1）利用等差数列前项和公式列式计算即得.
（2）由（1）的结论求出，再探讨数列单调性求解即得.
【详解】（1）等差数列中，由，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
由，得，显然当时，，且数列递减，
当时，，数列递增，
因此当时，取得最小值，当时，取得最大值，
所以数列中的最大项和最小项的值分别为和.
9．(1)，；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用求通项公式；
（2）求出，利用裂项相消法求和后可证得不等式成立．
【详解】（1）由已知，
时，，
此时也适合上式,
所以，；
（2）由（1），，
所以，
10．(1)
(2)
【分析】（1）设的公差为，根据已知条件列出方程得出公差，即可得出答案；
（2）根据已知可得出的奇数项为等差数列，直接求和即可得出奇数项的和；根据错位相减法，求出偶数项的和，分组求和，相加即可得出答案.
【详解】（1）设的公差为.
∵，，
∴，解得，
∴.
（2）由已知可得，当为奇数时，；
当为偶数时，.
∴
设，①
则，②
①②，得
∴.
故.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果；
（2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到，
设，
则，
又，所以为奇数时，
12．(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列性质计算即可得；
（2）由等差数列前项和公式计算即可得.
【详解】（1）设公差为d，由题设有，
解得，，所以；
（2）由，
则，
因此，
所以数列的前20项和为．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，当时，，求得，再由，结合等差数列的定义，求得，得到的通项公式.
（2）根据题意，转化为，记，化简，得出数列的单调性，结合题意，即可求解.
【详解】（1）解：由，
当时，，
相减可得，故，
当时，也符合上式，所以，
又由，可得，
所以数列为公差为的等差数列，且首项为，
所以，则.
（2）解：由和，
可得，
记，则，
所以，
当时，，当时，，此时单调递减，
而，
由于集合的元素个数为，所以，所以，
即实数的取值范围为.
14．(1)，．
(2).
【分析】（1）应用等差、等比通项公式及已知列方程求基本量，进而写出，的通项公式；
（2）由（1）得，再由错位相减法、等比数列前n项和公式求．
【详解】（1）由已知得①，
②，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，．
（2）由题意及（1）及，故，
∴，
，
两式相减得
．
∴.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义判断得是等差数列，从而得解；
（2）利用裂项相消法求得，从而问题转化为，由此得解.
【详解】（1）因为点在直线上，则，即，
又，所以数列是以首项为，公差为的等差数列．
故，即．
（2）由（1）得，
所以，
要使对恒成立，则，即，
又，所以的最小值为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列等比数列求解公差与公比，求解通项公式；
（2）裂项相消法求和，利用，求出范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由题意可得即
又因为，所以，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
因为，所以，又，所以.
所以满足题意的的取值范围为.
17．(1)，；
(2).
【分析】（1）求出等比数列的公比即可求得通项，再利用累加法求出的通项.
（2）求出的表达式，再利用分组求和法及错位相减法求和即得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，，即，
而，解得，则，由，
得当时，，符合上式，
所以.
（2）由（1）得，又，则，
于是，则，
令①，则②，
①-②得，则，
所以.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据和等比数列的定义可证数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，根据放缩法可得，结合裂项相消法计算即可证明.
【详解】（1）依题意，，即．
当时，，解得．
当时，由得，
两式相减可得，，
即．
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故．
（2）证明：由（1）得
．
因为，所以，
所以，
故．
19．(1)
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，由条件可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，由（1）可得，则，然后作差，即可得到当时，为单调递减数列，从而得到结果.
【详解】（1）因为，即，
且，可得，所以，
即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即，所以，又，
则.
（2）由（1）可得，，则，
所以，
当时，，，则，所以，
所以当时，为单调递减数列，
又，，，
所以当或时，数列有最大项为.
20．(1)，，；
(2)
(3)存在，.
【分析】（1）由与数列的递推关系证明是等差数列，进而得通项；
（2）分离参数得，再构造数列，研究单调性求解最值可得的取值范围；
（3）由，，构成等比数列得，由整数的性质
【详解】（1）（1）由已知得：，
．
因为，，所以，
而，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为．
（2）不等式化为：，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，因为在上恒成立，
所以，
所以的取值范围为．
（3）若，，（，，）构成等比数列，
则，即：，
所以，
由于，均为正整数，所以奇数必须是完全平方数，
又因为，所以，
则为奇数的平方，不妨取，，
所以，当时，，，即：，不满足题意，舍去；
当时，，，即：，，不满足题意，舍去；
当时，，，即：，.
所以符合条件的一组的值可以是．
21．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）先推导可得，再累加可得，再判断当时，即可得；
（2）推导可得是以为首项，为公比的等比数列，代入通项公式可得，再根据，累加求和证明即可.
【详解】（1），
，，
．又是递增数列，
，当时，．
．
（2），
，则有，
是以为首项，为公比的等比数列，
．
，
，
原不等式得证．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数列的通项和前n项和之间的关系求解；
（2）由，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，不适合上式，
所以；
（2）由（1）知：，
当时，，显然成立；
当时， ，
则，
，
.
结论成立.
23．(1)；
(2).
【分析】（1）根据等比数列前n项和公式求得，结合已知可得，应用关系求的通项公式；
（2）应用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题设，则，
当时，故，
当，也满足上式，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
24．(1)，
(2)
【分析】（1）由和可得，根据得到，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）根据数列是单调递增数列，得到，即，对分类讨论，利用单调性即可得出.
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以，
化简得：，
在中，
当时，得，满足上述递推关系式，
数列是以为首项，公差为的等差数列，
故，；
（2），，
即，化简得，
①当是奇数时，，，，
令，即可，
，
，且，故；
②当是偶数时，，，，
令，即可，
因为，
所以，且，所以，
综上可得：实数的取值范围是.