2022-2023学年广东省深圳市宝安区石岩公学高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市宝安区石岩公学高二（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若数列满足，，则
A．B．1C．2D．
2．（5分）某物体的运动路程（单位：与时间（单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为
A．B．C．D．
3．（5分）某商场的展示台上有6件不同的商品，摆放时要求，两件商品必须在一起，则摆放的种数为
A．B．C．D．
4．（5分）在等比数列中，，公比，则与的等比中项是
A．1B．3C．D．
5．（5分）函数的单调递增区间为
A．B．C．D．
6．（5分）的展开式中的系数为
A．0B．20C．10D．30
7．（5分）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则
A．4043B．4044C．4045D．4046
8．（5分）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小睛给出的选项中，有多项符合题目要
9．（5分）现有男女学生共8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中男生有
A．3人B．4人C．5人D．6人
10．（5分）在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为
A．B．C．D．
11．（5分）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是
A．B．
C．D．
12．（5分）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）二项式的展开式中常数项为 ．
14．（5分）已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是 ．（写出满足条件的一个通项公式即可）
15．（5分）现有编号为，，，，，的6个不同的小球，若将这些小球排成一排，要求球不在最边上，且，，各不相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答）
16．（5分）设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有．若有，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文学说明、证明
17．（10分）已知等比数列的前项和．
（1）求实数的值；
（2）若，求．
18．（12分）已知函数，，为的导函数，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围．
19．（12分）已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位；满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
（1）求的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
21．（12分）设等差数列的前项和为，，，且有最小值．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设数列的前项和为，求．
22．（12分）已知函数．
（1）证明：函数有且只有一个零点；
（2）设，，若，是函数的两个极值点，求实数的取值范围，并证明（1）．
2022-2023学年广东省深圳市宝安区石岩公学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
1．（5分）若数列满足，，则
A．B．1C．2D．
【答案】
【分析】通过及计算出，，，，进一步发现的周期即可求解．
【解答】解：由题意，，，，，，
所以是以3为周期的周期数列，
所以．
故选：．
【点评】本题考查数列的周期性，考查学生归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．
2．（5分）某物体的运动路程（单位：与时间（单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用瞬时速度的定义直接求解．
【解答】解：该物体在时间段，△上的平均速度为，
当△无限趋近于0时，△无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为．
故选：．
【点评】本题主要考查了瞬时速度的定义，属于基础题．
3．（5分）某商场的展示台上有6件不同的商品，摆放时要求，两件商品必须在一起，则摆放的种数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用捆绑法求解即可．
【解答】解：首先捆绑，两件商品，共有种情况，视为一个整体与余下的4件商品全排列，
共有种情况，综上共有种．
故选：．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
4．（5分）在等比数列中，，公比，则与的等比中项是
A．1B．3C．D．
【答案】
【分析】先求，结合等比中项的定义可得答案．
【解答】解：因为，
所以与的等比中项是．
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
5．（5分）函数的单调递增区间为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】求出导函数，求解，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，函数定义域为，
由得，
故函数的单调递增区间是．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（5分）的展开式中的系数为
A．0B．20C．10D．30
【答案】
【分析】利用二项式定理展开式，即可解出．
【解答】解：由展开式的通项为，
令，得展开式中的系数为，
的系数为，
所以的展开式中的系数为．
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
7．（5分）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则
A．4043B．4044C．4045D．4046
【答案】
【分析】结合题意先计算的公差为2，写出的通项后即可求解．
【解答】解：设数列的公差为，
由题意可知，，，，
故，故，
则．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题．
8．（5分）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，即可得出答案．
【解答】解：等价于，
令，
则，
所以是增函数，
所以等价于，
所以，
所以，
令，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（e），
所以实数的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小睛给出的选项中，有多项符合题目要
9．（5分）现有男女学生共8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中男生有
A．3人B．4人C．5人D．6人
【答案】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合组合数的运算求解即可．
【解答】解：男女学生共8人，设男生有人，则女生有人，
从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有种不同的选法，
则，
解得或，
故选：．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了组合数的运算，属基础题．
10．（5分）在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义即可．
【解答】解：切线的斜率，设切点为，，则，
又，所以，
所以，，当时，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（5分）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据原函数与导函数的图象关系，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于：若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
的图象先负后正，的图象先减后增，故可能正确；
对于：若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，
故可能正确；
对于：若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
恒成立，的图象为增函数，故可能正确；
对于：若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
恒成立，的图象为增函数，不符合，故错误．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力，属于基础题．
12．（5分）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意，结合图象分析可得纸板相较于纸板，剪掉了半径为的半圆，由此分析两个数列的递推关系，进而可得两个数列的通项公式，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，结合图形分析可得：纸板相较于纸板，剪掉了半径为的半圆，
对于数列，则有，则正确；
由于，则，则正确；
同时，每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
对于数列，则有，
则有，错误，
当时，，错误．
故选：．
【点评】本题考查数列的应用，关键是归纳分析两个数列的规律，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）二项式的展开式中常数项为 ．
【答案】．
【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为0，进而可以求解．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为，
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是 （答案不为一） ．（写出满足条件的一个通项公式即可）
【答案】（答案不为一）
【分析】根据等比数列基本量的计算可得，进而即可由等比数列的通项即可求解．
【解答】解：由，得，
所以，
所以，
取，则（写出一个首项为的等比数列即可）．
故答案为：（答案不为一）．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
15．（5分）现有编号为，，，，，的6个不同的小球，若将这些小球排成一排，要求球不在最边上，且，，各不相邻，则有 120 种不同的排法．（用数字作答）
【答案】120．
【分析】先排，有种排法，再在之间插入2个或3个小球，考虑不在边上可解决此题．
【解答】解：首先对进行排列，有种排法，
在之间插入2个或3个小球，又不在边上，
当、分别插在不同空之间时有（种，
当相邻时共有（种，
当之一在边上时共有（种，
所以共有种排法．
【点评】本题考查排列组合应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
16．（5分）设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有．若有，则实数的取值范围为 ， ．
【答案】，．
【分析】由题意构造函数，判断出的奇偶性、单调性，再由转化为，利用单调性，即可得出答案．
【解答】解：令，
对于，有，
则，
则为奇函数，
时，，
在上单调递减，
又为奇函数，则在上单调递减，
又
，
，即，解得，
则实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数的基本性质和利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文学说明、证明
17．（10分）已知等比数列的前项和．
（1）求实数的值；
（2）若，求．
【答案】（1）；
（2）7．
【分析】（1）根据已知条件，结合，即可求解；
（2）令，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，
数列是等比数列，
，解得；
（2），
则，解得．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
18．（12分）已知函数，，为的导函数，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2），．
【分析】（1）对函数求导，根据，可求得的值，进而得出导函数，判断导函数与零的关系，即可得到单调性情况；
（2）依题意，在恒成立，问题转化为对任意恒成立，由此容易得解．
【解答】解：（1）函数，
．
，
，解得．（2分）
则，，
令，解得，．（4分）
由得或，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．（6分）
（2）由题知，，（8分）
函数在定义域内单调递减，
在恒成立，即，即，恒成立，（10分）
，
，即实数的取值范围为，．（12分）
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意可得，然后结合累乘法即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）中结论可得，再结合裂项相消法即可得到结果．
【解答】解：（1）由，得，
所以，
累乘得，又，所以时，，
当时，，符合上式，
所以．
（2）由（1），得，
所以．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位；满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
（1）求的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】（1）；
（2）当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为112万元．
【分析】（1）根据题意可直接得到函数的解析式；
（2）由（1）可得解析式，求导可得，从而得到其极小值，即为最小值．
【解答】解：（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，
；
（2），令得或（舍，
当时，，当时，，
在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，取得最小值（6），
当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为112万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
21．（12分）设等差数列的前项和为，，，且有最小值．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由已知列式求数列的首项与公差，即可求得通项公式与前项和；
（2）由，可得，然后分和求数列的前项和为．
【解答】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，
解得或．
有最小值，．
则，；
（2）由，得．
数列的前7项小于等于0，第8项起大于0，
则当时，；
当时，
．
．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）证明：函数有且只有一个零点；
（2）设，，若，是函数的两个极值点，求实数的取值范围，并证明（1）．
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析．
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，结合，即可证明结论；
（2）求得函数导数，根据题意可知，是导函数等于0时即的两个不同实数根，结合一元二次方程根的分布，列出不等式组，求得实数的取值范围；由，是方程的两根，可得根与系数的关系，结合的表达式化简求值，可证明结论．
【解答】解：（1）证明：由题意知函数的定义域为，对任意恒成立，
当且仅当时，，
所以在上单调递增；
又，
所以函数在定义域上有且仅有1个零点．
（2）因为，
所以．
由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，
令，
又，且函数图像的对称轴为直线，
所以只需，
解得，即实数的取值范围为．
证明如下：
由，是方程的两根，
得，，
故，
又，
所以（1）．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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