2022-2023学年广东省深圳市龙华中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙华中学高二（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设全集，集合，，则
A．B．C．D．
2．（5分）根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为
A．60B．55C．50D．45
3．（5分）已知直线是曲线的切线，则
A．B．1C．D．2
4．（5分）的展开式中，的系数是
A．40B．C．80D．
5．（5分）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．的解集是
6．（5分）小明准备将新买的中国古典长篇小说四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水游传》、《西游记》和《论语》五本书立起来放在书架上，若要求《三国演义》、《水汻传》两本书相邻，且《论语》放在两端，则不同的摆放方法有
A．18种B．24种C．36种D．48种
7．（5分）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．（5分）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．（5分）下列说法正确的为
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法
10．（5分）以下结论正确的是
A．具有相关关系的两个变量，的一组观测数据，，，，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，，，，中的一个点
B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
C．已知随机变量服从二项分布，若，，则
D．设服从正态分布，若，则
11．（5分）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记 “零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，2，，下列结论正确的有
A．（A）B．
C．D．
12．（5分）下列关于基本不等式的说法正确的是
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知，，，则的最小值为
D．若正数，满足，则的最小值是3
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）命题“，”的否定是 ．
14．（5分）2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援．已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2人，每人只去一个地区，则共有 种安排方案．
15．（5分）已知函数有2个极值点，，则 ．
16．（5分）设随机变量的分布列如表：
则 ，若数学期望，则方差 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
17．（10分）甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教．
（1）不同的安排方法共有多少种？
（2）求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率．
（3）求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率．
18．（12分）设函数．
（1）若不等式的解集，求，的值；
（2）若（1），
①，，求的最小值；
②若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．（12分）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场．从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从，其中年龄，的有321人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，．
参考数据：，．
20．（12分）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本，2，3，，的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若且，证明：．
2022-2023学年广东省深圳市龙华中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）设全集，集合，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据集合的交并补运算法则即可求解．
【解答】解：，
则，，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查补集、交集的运算，属于基础题．
2．（5分）根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为
A．60B．55C．50D．45
【答案】
【分析】先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解．
【解答】解：由表中数据，计算，，
因为回归直线方程过样本中心，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
3．（5分）已知直线是曲线的切线，则
A．B．1C．D．2
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答．
【解答】解：，，
设直线与曲线相切的切点为，，
则根据题意可知且，所以．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，方程思想，属中档题．
4．（5分）的展开式中，的系数是
A．40B．C．80D．
【答案】
【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为0，解出，代入通项公式化简即可．
【解答】解：展开式的通项公式为，，1，，
令，解得，
则的系数是．
故选：．
【点评】本题考查二项式展开式的应用，考查特定项的求法，属于基础题．
5．（5分）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．的解集是
【答案】
【分析】由已知1，3是方程的两个根且，由此确定，，的关系，并由此判断，，，再化简不等式求其解．
【解答】解：因为不等式的解集为或，
所以且1，3是方程的两个根，
所以，，
所以，，
因为，所以错，
因为，，所以，所以正确，
因为，，，所以，错，
因为，，
所以可化为，
所以，解得，错误．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）小明准备将新买的中国古典长篇小说四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水游传》、《西游记》和《论语》五本书立起来放在书架上，若要求《三国演义》、《水汻传》两本书相邻，且《论语》放在两端，则不同的摆放方法有
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理，结合捆绑法运算求解．
【解答】解：第一步：《论语》放在两端，有种不同的摆放方法；
第二步：将《三国演义》、《水汻传》两本书捆绑，再与剩余的两本书一起排列，有种不同的摆放方法；
所以共有种不同的摆放方法．
故选：．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
7．（5分）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出条件的的范围，再根据四个条件的定义建立不等式即可求解．
【解答】解：条件：由不等式解得：，
若是的充分不必要条件，则，，
所以，解得，
故选：．
【点评】本题考查了四个条件的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．（5分）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意可得，可得，，，，令，，，利用导数研究函数的单调性与极值，即可得出结论．
【解答】解：由题意可得，
，，，
，
令，，，
，
令在，上单调递增，且（1），
，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，（1），
函数取得最小值，即．
即的最小值为，
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．（5分）下列说法正确的为
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法
【答案】
【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断；利用隔板法计算判断；利用分类加法计数原理列式计算判断作答．
【解答】解：对于，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，
不同分法有种，正确；
对于，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法，
不同分法种数是，错误；
对于，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，
取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，正确；
对于，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种，
一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种，
所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是，错误．
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
10．（5分）以下结论正确的是
A．具有相关关系的两个变量，的一组观测数据，，，，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，，，，中的一个点
B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
C．已知随机变量服从二项分布，若，，则
D．设服从正态分布，若，则
【答案】
【分析】根据回归方程的性质可判断选项，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项，根据二项分布的特征可判断选项，根据正态分布的性质判断选项．
【解答】解：由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项错误；
相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项正确；
因为随机变量服从二项分布，且，，
则，解得，故选项正确；
若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，
若，则，所以，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查线性回归直线方程的性质，相关系数的性质，二项分布的性质，正态分布的性质，属中档题．
11．（5分）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记 “零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，2，，下列结论正确的有
A．（A）B．
C．D．
【答案】
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个结论即可．
【解答】解：因为（A），故错误；
因为，故正确；
因为，
，
所以，故正确；
由上可得，
又因为，故错误．
故选：．
【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
12．（5分）下列关于基本不等式的说法正确的是
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知，，，则的最小值为
D．若正数，满足，则的最小值是3
【答案】
【分析】根据基本不等式求出最值即可判断．
【解答】解：对，若，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故正确；
对，因为，所以，
所以，
当且仅当，即等号成立，故函数最小值为3，故错误；
对，因为，，，
所以，
当且仅当，即，等号成立，故最小值为，故正确；
对，由可得，因为，，可得，
则，当且仅当，即等号成立，
所以最小值是4，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查基本不等式，属于基础题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）命题“，”的否定是 ， ．
【答案】，．
【分析】含有全称命题的否定，需将全称改为特称，并且对命题否定．
【解答】解：命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查含有全称命题的否定，属于基础题．
14．（5分）2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援．已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2人，每人只去一个地区，则共有 2940 种安排方案．
【答案】2940．
【分析】讨论分派人数的情形，利用排列组合知识计算即可．
【解答】解：人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，
所以共有种安排方案．
故答案为：2940．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）已知函数有2个极值点，，则 0 ．
【答案】0．
【分析】可求出，令即可求出的极值点，从而得出，的值，从而求出答案．
【解答】解：，解得，，
的极值点为和，且，为的极值点，
不妨令，
，，
．
故答案为：0．
【点评】本题考查了幂函数的求导公式，函数极值点的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
16．（5分）设随机变量的分布列如表：
则 0.5 ，若数学期望，则方差 ．
【答案】0.5；1．
【分析】利用分布列的性质得到，的一个关系式，再利用数学期望的计算公式得到，的另一个关系式，联立方程组求出，的值，再由方差的计算公式求解即可．
【解答】解：由分布列的性质可得，，则①，
又，
则，则②，
由①②可得，，，
所以．
故答案为：0.5；1．
【点评】本题考查了随机变量分布列的应用，随机变量数学期望以及方差公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）
17．（10分）甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教．
（1）不同的安排方法共有多少种？
（2）求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率．
（3）求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率．
【答案】（1）36．
（2）．
（3）．
【分析】（1）将4人分成3组，再分配到3所学校，利用排列组合公式计算即可；
（2）优先安排甲乙，再将剩下2人分配到2所学校，利用排列组合公式计算即可；
（3）根据条件概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将4人分成3组，再分配到3所学校有．
（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校有种方法，
甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率为．
（3）甲志愿者被安排到学校，
若学校只有1个人，则有种安排方法，
若学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到学校有种安排方法，
在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有2名志愿者的安排方法有种，
所以在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有2名志愿者的概率是．
【点评】本题考查了排列、组合与简单的计数原理，古典概型概率公式，也考查了运算求解能力，是中档题．
18．（12分）设函数．
（1）若不等式的解集，求，的值；
（2）若（1），
①，，求的最小值；
②若在上恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由不等式的解集得出方程的两根，由根与系数的关系可求，的值；
（2）①由（1）得的值，将所求变形，利用基本不等式求出最小值；
②不等式恒成立化为恒成立，利用判别式△求出的取值范围．
【解答】解：（1）由的解集是知，1是方程的两根，
由根与系数的关系可得，解得；
（2）由（1）得，
①，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是9．
②不等式在上恒成立，则在上恒成立，
即恒成立，，
解得，
实数的取值范围是．
【点评】本题考查了一元二次不等式与方程根的关系以及利用基本不等式求代数式的最小值问题，是中档题．
19．（12分）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场．从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从，其中年龄，的有321人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程，，．
参考数据：，．
【答案】（1）．（2）15000人．
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：（1）由表中数据可得，，
，
，
，
则，，
故线性回归方程为．
（2）该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从，
，
该地参与社区养老的老人有人．
【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，以及正态分布的对称性，属于中档题．
20．（12分）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本，2，3，，的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
【答案】（1）；
（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值．
【解答】解：（1）令，则关于的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，关于的回归方程为．
（2）由可得，
年利润，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
【点评】本题主要考查线性回归方程，属于中档题．
21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可．
【解答】解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为0，1，2，
则，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为；
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，
即，第（1）不中奖的概率比第（2）问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若且，证明：．
【答案】（1）在上单调递增．
（2）证明详情见解答．
【分析】（1）的定义域为，求导分析的符号，进而可得的单调性．
（2）由题意可得，，求导分析的单调性，设，则恒成立，令，则，由于，得，，要证，即证，即证，即证，即可得出答案
【解答】解：（1）的定义域为，
，
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增．
（2）证明：由题意可得，，
则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
设，则恒成立，
令，则，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
由，得，
要证，即证，即证，
即证，
因为，
所以即证，
令，则，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
又（1），
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以（1），
所以，
所以，得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/18 0:18:01；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：298415652
4
5
6
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0
1
2
3
0.1
0.4
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
新建社区养老机构
12
15
20
25
28
2
4
5
6
8
30
40
50
70
0
1
2
3
0.1
0.4
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
新建社区养老机构
12
15
20
25
28
0
1
2
0
1
2