广东省深圳市宝安区重点学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

广东省深圳市宝安区重点学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．若数列满足，，则（　　）

A． B． C． D．

2．某物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（　　）

A． B． C． D．

3．某商场的展示台上有件不同的商品，摆放时要求，两件商品必须在一起，则摆放的种数为（　　）

A． B． C． D．

4．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（　　）

A．1 B．3 C． D．

5．函数的单调递增区间为（　　）

A． B． C． D．

6．的展开式中的系数为（　　）

A．0 B．20 C．10 D．30

7．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（　　）

A．4043 B．4044 C．4045 D．4046

8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9．现有男女学生共人，从男生中选取人，从女生中选取人，共有种不同的选法，其中男生有（　　）

A．人 B．人 C．人 D．人

10．在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（　　）

A． B． C． D．

11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（　　）

A． B．

C． D．

12．如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（　　）

A． B．

C． D．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．二项式的展开式中常数项为　     　．

14．已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是　     　写出满足条件的一个通项公式即可

15．现有编号为，，，，，的个不同的小球，若将这些小球排成一排，要求球不在最边上，且，，各不相邻，则有　     　种不同的排法．用数字作答

16．设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有若有，则实数的取值范围为　         　．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知等比数列的前项和．

（1）求实数的值；

（2）若，求．

18．已知函数，，为的导函数，且．

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围．

19．已知数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位；满足关系：，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．

（1）求的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

21．设等差数列的前项和为，，，且有最小值．

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）设数列的前项和为，求．

22．已知函数．

（1）证明：函数有且只有一个零点；

（2）设，，若，是函数的两个极值点，求实数的取值范围，并证明．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】数列的函数特性

【解析】【解答】 ，，，，，，数列 是以3为周期的数列，
，
故答案为：C
【分析】由 ，求出数列前几项找出规律求解

2．【答案】D

【知识点】变化的快慢与变化率

【解析】【解答】由导数的物理意义知路程在某时刻的导数值是物体在该时刻的瞬时速度，
， ，物体在时的瞬时速度为.
故答案为：D
【分析】利用导数的物理意义进行求解。

3．【答案】A

【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式

【解析】【解答】第一步捆绑 ，两件商品共有种摆放种数，第二步，两件商品看为一个整体与余下4个商品全排列共有种摆放种数，所以总共有种摆放的种数。
故答案为：A
【分析】利用捆绑法求解。

4．【答案】D

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质

【解析】【解答】数列 为等比数列，，与的等比中项是.
故答案为：D
【分析】先求出，再利用等比中项定义求 与的等比中项。

5．【答案】A

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】，，当时，，单调递增。
故答案为：A
【分析】求导分析得出函数的单调递增区间。

6．【答案】B

【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用

【解析】【解答】 展开式的通项公式为，又 ，
展开式中 的项有令则，，
令则，，
展开式中的系数为.
故答案为：B
【分析】利用分配律结合二项式展开式的通项公式进行求解。

7．【答案】C

【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式

【解析】【解答】由题意知新的等差数列的公差，首项，数列通项公式为，.
故答案为：C
【分析】先新的等差数列的公差，再利用等差数列通项公式求解 。

8．【答案】D

【知识点】函数单调性的性质；导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【解答】由 ，令，
和都是增函数，是增函数，
只需证明，即恒成立，
令，则，
，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，实数的取值范围为 .
故答案为：D
【分析】将式子转化为 ，利用函数单调性将问题转化为恒成立，进而求解。

9．【答案】C,D

【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式

【解析】【解答】设男生有人，第一步男生中选取人有种不同的选法，第二步女生中选取人有种不同的选法，共有，解得或.
故答案为：CD
【分析】利用分步乘法计数原理进行计算。

10．【答案】A,D

【知识点】导数的几何意义

【解析】【解答】设 切线的倾斜角为点的横坐标为，，，则由题意知，即，或，解得，符合条件的选项有AD。
故答案为：AD
【分析】利用导数进行求解。

11．【答案】A,B,C

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】A、当曲线是原函数 ，直线是 时符合条件，A正确；
B、当上方曲线是原函数 ，下方曲线是 时符合条件，B正确；
C、当下方曲线是原函数 ，上方曲线是 时 ​​符合条件，C正确；
D、当上方曲线是原函数 ，有减区间显然不符合题意，当下方曲线是原函数直线是 恒显然不符合题意，D错误。
故答案为：ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性逐一判断选项。

12．【答案】A,C

【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式

【解析】【解答】A、C：纸板比纸板多减去一个半径为 的半圆，，，
，，A、C正确；
B、D：纸板比纸板多减去一个半径为 的半圆，，，
，，，通过累加得 ，
，B、D错误。
故答案为：AC
【分析】分析题意得出纸板比纸板多减去一个半径为 的半圆，进而求得 和 的通项公式可判断选项。

13．【答案】

【知识点】二项式定理；二项式定理的应用

【解析】【解答】 展开式的通项公式为，令则 展开式中常数项为，
故答案为：
【分析】利用二项式展开式的通项公式进行求解。

14．【答案】

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式

【解析】【解答】 等比数列满足，，，，
，令，则。
故答案为：
【分析】由 列出等式解出首项，写出一个首项为的等比数列即可 ．

15．【答案】120

【知识点】简单计数与排列组合

【解析】【解答】第一步先排列 ，，共有种排法，第二步第一类，， 插入个小球时又 球不在最边上有种排法 ，第一类，， ​​​​​​​插入个小球时又 球不在最边上有种排法 ​​​​​​​，所以总共有种排法。
故答案为：
【分析】先排列 ，， 再利用插空法求解。

16．【答案】

【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系

【解析】【解答】令，对于 ，有， 是奇函数，
，由题意知当时，有，在 单调递减，又 是奇函数，在 上单调递减，
由 ，有，
，即，解得．
故答案为：
【分析】构造函数 ，将 转化为，利用函数单调性求实数的取值范围。

17．【答案】（1）解：当时，，

数列是等比数列，

，解得；

（2）解：，

则，

解得．

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【分析】（1）利用 ，求出数列 的通项，由   求出 的值 ；
（2）将 代入前项和公式求．

18．【答案】（1）解：函数，

．

，

，解得

则，，

令，解得，

由得或，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，

即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为

（2）由题知，，

函数在定义域内单调递减，

在恒成立，即，即，恒成立，

，

，即实数的取值范围为

【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性；
（2）由函数在定义域内单调递减，得到在恒成立，进而求实数的取值范围．

19．【答案】（1）解：由，得，

所以，

累乘得，又，所以时，，

当时，，符合上式，

所以．

（2）解：由(1)，得，

所以．

【知识点】数列的求和；数列的递推公式

【解析】【分析】（1）由题意得，利用累乘求数列的通项；
（2）求出得，利用裂项求数列的前项和 。

20．【答案】（1）解：每年能源消耗费用为，建造费用为，

；

（2）解：，令得或舍，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得最小值，

当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元．

【知识点】利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】（1）由题意得到 的表达式；
（2）求导利用导数求隔热层修建多厚时总费用达到最小值。

21．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，

由，，得，

解得或．

有最小值，．

则，；

（2）解：由，得．

数列的前项小于等于，第项起大于，

则当时，；

当时，

．

．

【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和

【解析】【分析】（1）由已知先求出首项为，公差为，再利用等差数列通项公式及前项和公式求和。
（2）当时和当时，分别求出数列的前项和为 。
 

22．【答案】（1）解：证明：由题意知函数的定义域为，对任意恒成立，

当且仅当时，，

所以在上单调递增；

又，

所以函数在定义域上有且仅有个零点．

（2）解：因为，

所以．

由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，

令，

又，且函数图像的对称轴为直线，

所以只需，

解得，即实数的取值范围为．

证明如下：

由，是方程的两根，

得，，

故

，

又，

所以．

【知识点】复合函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点

【解析】【分析】（1）利用导数求得在上单调递增，又，所以函数有且只有一个零点；
（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，利用一元二次方程根的分布求出的取值范围，利用韦达定理化简，进而证明 。