模拟卷05（2024新题型）-【赢在高考·模拟8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3 14．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15．【答案】（1）； （2）．
【解析】（1），
由复合函数的单调性原理得在上单调递增，
由得，即．
（2）对恒成立
令，，
，在上单调递减，
，
若，即时，在上恒成立，
则在上单调递减，符合题意．
若，即时，
（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去．
（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，
此时这与题设也矛盾，舍去．
综上：实数的取值范围为．
16．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则由题意可知事件包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果；
（2）由题意知可能的取值为，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望.
【详解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，
则
故所求的概率为.
（2）由题意知可能的取值为，
则，
则的分布列为
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用中位线定理以及平行四边形的性质，根据线面平行判定以及面面平行判定，结合面面平行的性质，可得答案.
（2）由题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的余弦公式以及点到平面距离公式，可得答案.
【详解】（1）如图，取中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则.
在平行四边形中，P、E分别为，的中点，则，
由面，面，
所以面，面，又，面，
所以面面，而面，面.
（2）连接，，由四边形为菱形，则.
又，则为正三角形，P为的中点，即.
因为面面，面面，面，
面，在面内过P作交于点R.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
设，，则，
，，，则，
.
设面的法向量为，则，
令，则，
设面的法向量为，二面角的平面角为，
则，解得或（舍），
∴且，又，
∴，故，，故.
所以，即，
连接BP，设P到平面的距离为h，则，
∴，即点P到平面的距离为.
18．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由已知得，所以,椭圆的方程为.
（2）∵，∴三点共线，而，且直线的斜率一定存在，所以设的方程为，与椭圆的方程联立得
，由 ，得
设 ，①
又由得：，∴ ②.
将②式代入①式得:
消去得，
当时，是减函数，所以，
∴，解得，
又因为，所以，即或，
∴直线的斜率的取值范围是.
19.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）满足条件的数表为，
所以的值分别为5，5，6.
（2）若当取最大值时，存在，使得.
由数表具有性质可得为奇数，
不妨设此时数表为.
①若存在（为偶数，），使得，
交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.
②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，
所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得.
（3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表，
一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此.②
记．
由①+②得.
又，可得.
构造数表
可知数表具有性质，且.
综上可知，当n为偶数时，的最大值为.1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
D
D
B
D
A
9
10
11
ABD
ACD
BD
0
2
4