模拟卷03（2024新题型）-【赢在高考·模拟8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A．93B．93.5C．94D．94.5
【答案】B
【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为，
所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即.故选：B.
2．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为23，则P（3，±23），
∴P到抛物线的准线的距离为：4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．
故选：A．
3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的。我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从“数学风车”的八个顶点中任取两点，则这两点取自同一片“风叶”的概率为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种，
其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有，
根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率，故选B。
4．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】将平面平面，
又∵平面平面，平面，
，∴平面，
∵四边形为平行四边形，∴，
同理平面，∴、均为，
设中点为，连、，
则，为三棱锥外接球半径，
则，，
则，∴三棱锥外接球的表面积为，故选C。
5．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故故选：D
6．在等差数列中，、，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】数列为等差数列，公差，则，，，
则
，
∴数列（）是递减数列，最大项为，
∴，，又是正整数，∴的最小值为，故选C。
7．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，得，则，
即，整理得，且，
那么，则.故选：C.
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，点是线段上一点，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】设，，则，如图所示：
由余弦定理得，
即，所以，
从而.
因为，
所以，
整理得：，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，，.故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的最小正周期为，方程在的解为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减D．
【答案】ABD
【解析】由函数的最小正周期为，得，所以，故选项A正确；
因为，得，
所以函数的图象关于点对称，故选项B正确；
由，得，所以函数在上先减后增，故选项C错误；
当时，，依题意有，
结合图象可知，，即，
所以，故选项D正确.故选：ABD.
10．设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则的最小值是
【答案】ABD
【解析】设，
对于选项A：，所以，所以，故选项A正确；
对于选项B：，所以，即，故选项B正确；
对于选项C：，则，故选项C不正确；
对于选项D：即表示点到点
和到点的距离相等，所以复数对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，
因为中点为，，
所以的中垂线为，整理可得：，
所以表示点到的距离，
所以，故选项D正确，故选：ABD.
11．已知定义域为的函数满足，且，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
【答案】BC
【解析】，
令，，则，故选项A错误；
令，则，
又，所以，令，则，
所以函数关于对称，
令，则，
令，则，，
又函数的定义域R，所以函数为偶函数，故选项B正确；
令，则，
又，，，所以，选项C正确；
因为，所以，所以函数的一个周期为8，
令，，则，所以，
所以，所以，
，，
所以
，
，所以，故选项D错误.故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.定义集合运算：A⊙B=z|z=xyx+y,x∈A,y∈B，集合A=0,1,B=2,3，则集合A⊙B所有元素之和为
【解答】：当；
当；
当；
当，
集合，
集合所有元素的和为
故答案为：
13．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】设两个半平面截球的两个截面圆的圆心分别为，连接，如图所示
由球的截面圆性质及球的切线性质得，且，
由题意可知，
所以为二面角的平面角，即，
因为，，，，所以，
所以，同理：，故四边形为矩形，
所以，得，
则球的表面积.
14．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，
则由题意可得，
因为，所以
①当时，，只需考虑，
所以，，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数，其中.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）；（2）答案见解析；
【解析】（1），
∵曲线在处的切线与直线平行，
∴，即，故；
（2）函数的定义域为.
当时，恒成立，
故在上单调递增；
当时，，令，得.
∵，∴方程有两不等实根.
∵，，∴.
令，得或；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
方法二：（常规方法）：讨论的符号.
当，即时，恒成立，则，在上递增；
当，即或时，方程有两不等实根.
（i）当时，由知，
则恒成立，故在上递增；
（ii）当时，由知，
，得或；令，得.
故在、上递增，在上递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
16．（15分）
一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．
（1）求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；
（2）求的分布列与数学期望．
【答案】（1），事件“”与事件“”为互斥事件；（2）分布列见解析，
【解析】（1）当取取值为时，，
当取取值为时，，
当取取值为时，，
当取取值为1，2时，，
当取取值为1时，，
所以，
当时，，事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；
（2）的取值为，
取值为，时，
，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
所以的分布列为
所以．
17．（15分）
如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析
【解析】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系.
.
.
设平面的法向量为，
则由，取得.
因为，所以
解得.
所以，且平面，所以平面
（2）设平面的法向量为
则由，解得.
所以，解得.
18．（17分）
如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为 32，|F1F2|=2 3，O为坐标原点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设过点P(4,m)的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m>0，求△OMN的面积S的最大值．
18. 【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题.
Ⅰ由离心率为，，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程的方程.
Ⅱ直线，的方程分别为：，，由得，可得，，同理可得，，直线MN的方程为：，，可得直线MN过定点，故设MN的方程为：，
由得，，即的面积利用函数单调性即可求出面积最大值．
19.（本小题满分17分）
对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.
设，，，定义加法和数乘：，.
对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则
【解析】所以由可得，
代入可得，（17分）
（1）解：对于①，设，则可得，所以线性相关；
对于②，设，则可得，所以，，所以线性相关；
对于③，设，则可得，解得，所以线性相关；
（2）解：设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关，
（3）①，如果某个，，2，⋯，m，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，⋯，，⋅⋅⋅，都等于0，
所以这些系数，，⋅⋅⋅，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，⋅⋅⋅，全不为零，
所以，
所以，⋯，，
所以0
1
2
3
4
5
6