专题01 概率的进一步认识（知识串讲+9大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）概率的定义及计算公式
①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为=
②概率公式：随机事件A的概率。
（二）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（三）利用频率估计概率
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
考点一遍过
考点1：列表、树状图求概率——摸球放回型
典例1：（2023·北京·九年级专题练习）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A．35B．325C．310D．925
【变式1】（2022·河南南阳·统考一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A．59B．49C．13D．19
【变式2】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“0”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是( )
A．14B．13C．12D．23
【变式3】（2020秋·黑龙江佳木斯·九年级校考期末）口袋中有2个红球和1个黑球，每次摸到后放回，两次都摸到红球的概率为（ ）
A．19B．29C．13D．49
考点2：列表、树状图求概率——摸球不放回型
典例2：（2023·河北邯郸·二模）对于甲、乙两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【变式1】（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）袋中有同样大小的四个球，其中3个红色，1个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球的颜色相同的概率是（ ）．
A．14B．23C．13D．12
【变式2】（2023春·九年级单元测试）一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【变式3】（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）将分别标有“文”“明”“山”“西”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“山西”的概率是( )
A．18B．16C．14D．13
考点3：列表、树状图求概率——转盘抽奖型
典例3：（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ．
【变式1】（2017·宁夏·中考真题）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【变式2】（2022春·河南濮阳·七年级期末）某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得9折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为 ．

【变式3】（2020·江苏苏州·统考一模）转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为 ．
考点4：列表、树状图求概率——比赛型
典例4：（2022春·九年级单元测试）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【变式1】（2021秋·辽宁锦州·九年级统考期中）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
【变式2】（2023·河北·模拟预测）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
考点5：列表、树状图求概率——卡片型
典例5：（2023·山西大同·校联考模拟预测）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．如图，有四张卡片正面分别是垃圾分类标志图案，它们除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．若从中随机抽取两张卡片，则所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率（ ）

A．12B．13C．16D．112
【变式1】（2023·山西长治·校联考二模）如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为化学反应的概率是（ ）
A．12B．56C．16D．13
【变式2】（2023·安徽六安·校联考一模）一次动员会上，为了鼓励运动员奋力拼搏，某班级将分别标有“你”“我”“加”“油”汉字的四张卡片装在一个不透明的口袋中，这些卡片除汉字外无其他差别，每次摸卡片前先搅拌均匀随机摸出一张，不放回；再随机摸出一张卡片，两次摸出的卡片上的汉字可以组成“加油”的概率是（ ）
A．18B．16C．14D．12
【变式3】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月21日零时正式打响，本届世界杯吉祥物是“拉伊卜”．如图，现共有3张世界杯会徽和吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有会徽图案，一张正面印有“拉伊卜”的图案，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是“拉伊卜”的概率是（ ）

A．13B．49C．12D．23
考点6：列表、树状图求概率——实际应用型
典例6：（2023春·江西九江·九年级统考期中）将身高相同的40名同学平均随机排成四个队列组成学校的仪仗队进行表演，小红和小明是其中的两名同学（不考虑其它因素）．
(1)小红在第一队列是___________事件（填“随机”、“必然”或“不可能”），该事件发生的概率是___________．
(2)请用画树状图法或列表法求小红与小明在同一队列的概率．
【变式1】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）中国一中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光．也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球
(1)若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ；
(2)从袋中任取一个小球，不放回．搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法（汉字不分先后顺序）求出取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．
【变式2】（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．
(1)若随机选一位医生和护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【变式3】（2023·辽宁锦州·统考一模）乘坐高铁已经成为人们远行的主要方式．高铁车厢的二等座一排有五个座位，座位布局采用3+2模式（一边3座一边2座），座位号分别是A，B，C，D，F，其中A，F这两个座位是靠窗的．张红妈妈准备到北京出差，如果她同时随机地购买了往返的车票，请用列表法或画树图的方法，求她往返都买到靠窗座位的概率．
考点7：列表、树状图求概率——其他应用型
典例7：（2023·全国·九年级专题练习）有四个完全相同的小球，分别标注−2，−1，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作Pk（如：P3是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求P1；
(2)张亮认为：Pk的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
(3)能否找到概率Pi，Pj，Pm（i