专题01 平行线平分线段成比例（知识串讲+9大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）比例的性质
①基本性质：ab=cd⇔ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质：ab=cd⇔a±bb＝c±dd；（b、d≠0）
③等比性质：ab=cd＝…＝mn＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔a+c+…+mb+d+…+n＝k．（b、d、…、n≠0）
（二）比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（三）平行线平分线段成比例
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
（四）黄金分割
黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）已知ab=37，则ab−a的值为（ ）
A．37B．34C．−34D．−37
【答案】B
【分析】先把ab=37化为ba=73，再化简b−aa=ba−1即可得到答案 ．
【详解】解：∵ab=37，
∴ba=73，
∴b−aa=ba−1=73−1=43，
∴ab−a=34．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，把b−aa化为ba−1是解题关键．
【变式1】（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）已知ab=cd=ef=132b+4d−6f≠0，则a+2c−3e2b+4d−6f的值为（ ）
A．13B．23C．16D．32
【答案】C
【分析】由已知条件得出b=3a，d=3c，f=3e，再代入a+2c−3e2b+4d−6f中进行约分化简即可求解．
【详解】∵ab=cd=ef=13，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
∴a+2c−3e2b+4d−6f=a+2c−3e6a+12c−18e=a+2c−3e6a+2c−3e=16，
故选C．
【点睛】本题考查了比例性质的运用，分式的化简求值，掌握比例的性质是解答本题的关键．
【变式2】（2022秋·湖南益阳·九年级校考期末）如果2a=3bab≠0，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．ab=23B．ba=32C．a3=b2D．a2=b3
【答案】C
【分析】根据比例的基本性质直接判断即可．
【详解】解：A、由ab=23，可得到3a=2b，A错误，不符合题意；
B、由ba=32，可得到3a=2b，B错误，不符合题意；
C、由a3=b2，可得到2a=3b，C正确，符合题意；
D、由a2=b3，可得到3a=2b，D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键．
【变式3】（2022秋·上海嘉定·九年级校考阶段练习）如果x:y=2:5，那么下列各式不成立的是（ ）
A．x+yy=75B．x−yy=−35C．x2y=15D．x+1y+1=12
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质，设x=2k，y=5k，分别代入各选项进行计算即可得出答案．
【详解】解：设x=2k，y=5k（k≠0），
A. x+yy=2k+5k5k=75，式子成立，故选项不符合题意；
B.x−yy=2k−5k5k=−35 ，式子成立，故选项不符合题意；
C. x2y=2k10k=15，式子成立，故选项不符合题意；
D. x+1y+1=2k+15k+1≠12，式子不成立，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中几个量用所设的未知数表示出来，进行约分．
考点2：线段的比
典例2：（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为（ ）
A．2B．4C．6D．15
【答案】C
【分析】根据线段成比例，可以列出方程a:b=b:c，代入数值求解即可．
【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段，
∴a:b=b:c，
∵a=3，c=12，
∴3:b=b:12，
解得b=6．
故选：C．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解．
【变式1】（2022秋·上海·六年级专题练习）在一幅地图上，量得A、B两地距离是7厘米，已知两地实际距离为350千米，则该地图的比例尺是（ ）
A．1:50B．1:5000C．1:500000D．1:5000000
【答案】D
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，即可求解．
【详解】解：根据题意，该地图的比例尺为：
7厘米:350千米=7厘米:35000000厘米=1:5000000，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，注意单位之间的换算．
【变式2】（2022春·九年级课时练习）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
A．0.76mB．1.24mC．1.36mD．1.42m
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得2−xx=x2，求解即可；
【详解】设雕像的下部高为xm，则上部长为2−xm，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为2m，
∴2−xx=x2，
∴x2+2x−4=0，
解得：x=−1−5（舍）或x=5−1，
∴x=5−1≈1.24m．
故选B．
【点睛】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键．
【变式3】（2023·上海奉贤·统考一模）如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，那么AP:AB等于（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．2:3
【答案】A
【分析】根据题意可知△ABC是等腰直角三角形，设AC=BC=x，可用含x的式子表示AB的长，再根据以A为圆心，AC长为半径作弧，可知AP的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，△ABC是等腰直角三角形，设AC=BC=x，
∴AB=AC2+BC2=x2+x2=2x，
∵以A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，
∴AC=AP=x，
∴AP:AB=x:2x=1:2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键．
考点3：成比例线段
典例3：（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30=9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【变式1】（2023·全国·九年级假期作业）线段a，b，c，d的长度如下：
①a=12cm，b=8cm，c=15cm，d=10cm；
②a=7cm，b=14cm，c=19.6cm，d=5cm；
③a=12cm，b=4cm，c=9dm，d=0.3m；
以上3组数据中，能使a，b，c，d构成比例线段的有．（ ）
A．1组B．2组C．3组D．0组
【答案】B
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：①12×10=8×15，即ad=bc，故成比例线段；
②7×5≠14×19.6，即ad≠bc，故不成比例线段；
③c=9dm=90cm，d=30cm，12×30=4×90，即ad=bc，故成比例线段；
∴成比例线段有2组，
故选B．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
【变式2】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．6cm、2cm、1cm、4cmB．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cmD．6cm、3cm、8cm、4cm
【答案】D
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
A，6×1≠2×4，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B，4×7≠5×6，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C，3×6≠4×5，所以四条线段不成比例，故C选项不符合题意；
D，6×4=3×8，所以四条线段成比例，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义．
【变式3】（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）下列各组线段中，成比例的一组线段是（ ）
A．2，3，4，6B．2，3，4，7C．2，3，4，8D．2，3，4，9
【答案】A
【分析】根据比例线段的定义，分别计算选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积，若相等，则四条线段成比例，反之不成比例．
【详解】解：A、2×6=3×4，故选项A符合题意；
B、2×7≠3×4，故选项B不符合题意；
C、2×8≠3×4，故选项C不符合题意；
D、2×9≠3×4，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
考点4：黄金分割
典例4：（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形ABCD满足ABBC=5−12，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5−12
C．AC=8−25D．矩形ABCD的周长C=25+2
【答案】C
【分析】计算得出AB=5−1，根据矩形的性质求得各项，即可判断．
【详解】解：∵ABBC=5−12，且BC=2，
∴AB=5−1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，故选项A正确，不符合题意；
∴S△AOB=14S矩形ABCD=14×2×5−1=5−12，故选项B正确，不符合题意；
∴AC=5−12+22=10−25≠8−25，故选项C错误，符合题意；
∴矩形ABCD的周长C=25−1+2=25+2，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【变式1】（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）
A．75+7cmB．21−75cmC．75−21cmD．75−7cm
【答案】D
【分析】根据黄金比例求解即可．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，
∴它的宽=5−12×14=75−7cm，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是5−12是解题的关键．
【变式2】（2023·贵州遵义·统考三模）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段AB 分成两份，如果BC:AC=AC:AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高2m，则玩偶嘴巴离地高度是___m．

A．5−12B．3−52C．5−22D．5−1
【答案】D
【分析】根据黄金分割比，即可进行解答．
【详解】解：∵BC:AC=AC:AB，
∴BCAC=ACAB=5−12，
设玩偶嘴巴离地高度是xm，
∴x2=5−12，解得：x=5−1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为5−12．
【变式3】（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）在长度为1的线段AB上有一点P．满足AP2=BP⋅AB，则BP长为（ ）
A．3−52B．3−5C．5−2D．5−12
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，代入数据即可得出AP的长，进而求出BP的长度．
【详解】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，
∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，
∴AP=5−12AB=5−12×1=5−12，
∴BP=1−5−12=3−52．
故选A．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
考点5：“#”字型
典例5：（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC=2CE，BD=8，则DF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例得21=8DF，即可得出DF值．
【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，
∴ACCE=BDDF，
∵AC=2CE，
∴2CECE=8DF
即21=8DF，
∴DF=4．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AC=11，BC=6，EF=4，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．103
【答案】D
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到ABBC=DEEF，带入数值求解即可．
【详解】解：∵直线AC和DF被l1，l2，l3所截，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=AC−BC=11−6=5，
即56=DE4
∴DE＝103．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【变式2】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若ACCE＝32，BD＝9，则DF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BDDF=ACCE，
∵ACCE=32，BD=9，
∴9DF=32，
解得：DF＝6，
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，利用平行条件，找到线段比例式，代入对应边长求解，这是解决本题的主要思路．
【变式3】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，a∥b∥c，若AC＝5，CE＝10，DF＝12，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出BD的长．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴ACCE=BDDF ，
∵AC＝5，CE＝10，DF＝12，
∴510=BD12
∴BD=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解决问题的关键．
考点6：“8”字型
典例6：（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，则DEDF的值为（ ）

A．47B．37C．74D．43
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到ABBC=DEEF=43，根据合比性质即得．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴ ABBC=DEEF=43，
∴ DEDF=47．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．
【变式1】（2022秋·海南海口·九年级统考期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB=6,BC=4，则DEDF等于（ ）
A．23B．32C．25D．35
【答案】D
【分析】先求出AC的长，然后根据平行线分线段成比例定理，列比例式即可求出DEDF的值．
【详解】∵AB=6,BC=4，
∴AC=AB+BC=10．
∵l1∥l2∥l3，
∴DEDF=ABAC=610=35．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握这个定理，正确的列出比例式是解题的关键．
【变式2】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，有下列结论：①EDEA=EFEB；②DEBC=EFFB；③CFDF=BFBE；④BFBE=BCAE．其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴EDEA=EFEB，DEAD=DEBC=EFFB，CFDF=BFEF，BFBE=ADAE=BCAE，
故①②④正确；故③错误；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
【变式3】（2022秋·湖南岳阳·九年级校考期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB分别与l1，l2，l3相交于点A、B、C，直线DF分别与l1，l2，l3相交于点D、E、F，已知ABBC=32，DE=6，EF的长为（ ）

A．9B．4C．4.5D．3
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴ DEEF=ABBC=32，
∴ 6EF=32，
∴EF=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
考点7：“A”字型
典例7：（2023·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD=2，BD=3，则AEAC的值是（ ）

A．25B．12C．35D．23
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AEAC=ADAB，即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，DE∥BC，
∴AEAC=ADAB，
∵AD=2，BD=3
∴AEAC=ADAD+BD=22+3=25，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
【变式1】（2022秋·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB=23，则S△ADE:S△BEC等于（ ）
A．2:15B．4:15C．4:9D．3:15
【答案】B
【分析】由DE//BC，证明ADDB=AEEC=23，再证明S△ADES△BDE=23，S△ABES△BEC=23，设S△ADE=2m，再求解S△BEC=15m2，从而可得答案．
【详解】解：∵ DE//BC，ADDB=23，
∴ADDB=AEEC=23，
∴S△ADES△BDE=23，S△ABES△BEC=23
设S△ADE=2m，则S△BDE=3m，
∴S△ABE=5m，
∴5mS△BEC=23，
∴S△BEC=15m2，
∴S△ADES△BEC=2m15m2=415.
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD=2AD，则CFAF的值为（ ）
A．12B．13C．14D．23
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得BDAD=BEEC，AFCF=BECE，根据BD=2AD可得答案．
【详解】∵DE∥AC，EF∥AB，
∴BDAD=BEEC，AFCF=BECE，
∴AFCF=BDAD，
∵BD=2AD，
∴CFAF=12．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例；平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例．正确找出对应线段是解题关键．
【变式3】（2022秋·广东茂名·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，DE∥BC，ADAB=13，AE=2cm，则EC的长是（ ）

A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AC=6cm，再求出EC的长即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC=13，
∵AE=2cm，
∴AC=6cm，
∴EC=AC−AE=4cm；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线，列出比例式．
考点8：平行线平分线段成比例——计算
典例8：（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，点M是菱形ABCD边BC的中点，点E在边CD上，连接AE，过点M作MN∥AB交对角线AC于点Q，交AE于点N．若BC=8，MN=5，则线段DE的长为（ ）

A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】由菱形的性质得AB∥CD，AB=BC=CD=AD=8，再证QM是△ABC中位线，得QM=12AB=4，然后证QN是△ACE的中位线，得CE=2QN=2，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BC=8，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=AD=8，
∵M是菱形ABCD边BC的中点，MN∥AB，
∴AQCQ=BMCM=1
∴Q是AC的中点，
∴QM是△ABC中位线，
∴QM=12AB=4，
∵MN=5，
∴QN=MN−QM=5−4=1，
∵MN∥AB，AB∥CD
∴MN∥CD，
∴ANEN=BMCM=1
∴N是AE的中点，
∴QN是△ACE的中位线，
∴CE=2QN=2，
∴DE=CD−CE=8−2=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
【变式1】（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若BOOD=34，CO=8，则AC的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质可以得到BODO=AOOC，由此即可求解．
【详解】解：∵AC与BD相交于点O，DC∥AB，
∴BODO=AOOC，
∵BOOD=34，OC＝8，
∴34=AO8，
∴AO＝6，
∴AC＝AO+OC＝6+8＝14．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，属于基础题型，熟练掌握比例线段的对应关系是解题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH=3 cm，EH=6 cm，AH=4 cm，则HC的长为（ ）
A．24cmB．22cmC．20cmD．18cm
【答案】C
【分析】延长FE交CB的延长线于点G．证明△AFE≌△BGE，得出EG=EF，求出EG=9cm，根据平行线分线段成比例定理，得出AHCH=FHGH，代入求出结果即可．
【详解】解：延长FE交CB的延长线于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠EBG，∠AFE=∠BGE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BGE，
∴EG=EF，
∵EF=EH+FH=3+6=9cm，
∴EG=9cm，
∴GH=GE+EH=9+6=15cm，
∵AD∥BC，
∴AHCH=FHGH，
即4CH=315，
解得：CH=20cm，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明△AFE≌△BGE，求出EG=9cm．
【变式3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB=6，BC=4，EF=3，则线段DF的长为（ ）
A．1.5B．4.5C．7.5D．10.5
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵a∥b∥c，AB=6，BC=4，EF=3，
∴ABBC=DEEF，即64=DE3，
∴DE=184=92，
∴DF=DE+EF=92+3=152=7.5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键．
考点8：平行线平分线段成比例——三角形中位线
典例8：（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF:FD=3:1，BC=10，则CE的长为（ ）

A．3B．4C．5D．103
【答案】B
【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到BEEC=32,计算即可.
【详解】过点D作DH∥AE交BC于H,

则 CHHE=CDDA=1, BEEH=BFFD=13，
∴BEEC=32，
∵BC=10,
∴CE=4,
故选:B.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
【变式1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB=∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①CD=12AB；②BG=FG；③FG∥AC；④∠CAE+∠BGF=180°．其中正确的有（ ）个．

A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，由BD=12AB,DB12AB，从而判断①；由EF∥NG∥BC，EG=CG，得出FN=BN，从而判断②；先证△AEF≌△AMF，可得FE=FM，从而判断③，由∠BFG+∠FBG+∠FGB=180°结合等角的转化，得出∠CAE+∠BGF=180°，从而判断④．
【详解】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，则EF∥NG∥BC，

∵BD=12AB,DB12AB，故①不符合题意；
∵EF∥NG∥BC，EG=CG，
∴EGCG=FNBN=1，
∴FN=BN，
∵GN⊥AB，
∴FG=GB，故②符合题意；
∵∠EAF=∠MAF,AF=AF,∠AFE=∠AFM=90°，
∴△AEF≌△AMF，
∴FE=FM，
∵EG=CG，
∴FG∥AC，故③符合题意；
∵FG∥AC，
∴∠BFG=∠BAC，
∵FG=BG，
∴∠GFB=∠GBF，
∵∠BFG+∠FBG+∠FGB=180°，
∴∠CAE+∠BGF=180°，故④符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理的含义，平行线分线段成比例的应用，关键是灵活应用这些知识点．
【变式2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC=2BE，则AFFE=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】取CE的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理得DM∥AE，DM=12AE，再根据平行线分线段成比例得EFDM=BEBM=12，即可得出答案．
【解答】解：如图，取CE的中点M，连接DM，
∵D是AC边上的中点，
∴DM∥AE，DM=12AE，EM=MC
∵EC=2BE，
∴EFDM=BEBM=12，
∴EF=12DM，
∴12AE=2EF，
∴AE=4EF，
∴AFFE=3，
故选:B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
【变式3】（2023春·广西南宁·八年级南宁市第二十六中学校考阶段练习）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点. 若AE=2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【答案】C
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【详解】解：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，ΔABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
则此时EF+CF 的值最小，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=12∠ACB=30°，
故选C．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用对称解决最值问题．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022秋·湖南怀化·九年级统考期末）如果ab=cd，则下列正确的是（ ）
A．a:b=c:dB．a:c=d:bC．d:a=c:bD．d:c=a:b
【答案】B
【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，计算与已知比较即可得解．
【详解】解：因为A. a:b=c:d
所以ad=bc，选项错误；
因为B. a:c=d:b
所以ab=cd，选项正确；
因为C. d:a=c:b
所以ac=bd，选项错误；
因为D. d:c=a:b
所以ac=bd选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质的理解和灵活运用情况．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，点D,点E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，AF与DG交于点H，则下列比例式正确的是（ ）
A．ADDE=HGACB．BFBE=FGFHC．DHEF=BFBGD．AHHF=EFDG
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项．
【详解】解：A选项错误，
∵点D、点E是AB的三等分点，
∴ADDE=11=1，
∵HG//AC，
∴HGAC=FHFA，
∵DH//EF，
∴FHFA=EDEA=12，
则ADDE≠HGAC；
B选项错误，无法证明；
C选项正确，
∵DH//EF，
∴DHEF=ADAE=12，
∵EF//DG，
∴BFBG=BEBD=12，
则DHEF=BFBG；
D选项错误，
∵DH//EF，
∴AHHF=ADDE=11=1，
∵EF//DG，
∴EFDG=BEBD=12，
∴AHHF≠EFDG．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系．
3．（2022秋·九年级单元测试）已知ab=cd=23，且b+d≠0，则a+cb+d的值是（ ）
A．23B．43C．35D．25
【答案】A
【分析】由ab=cd=23，结合比例的性质解答即可．
【详解】解：∵ab=cd=23，
∴a=23b，c=23d，
∴a+cb+d=23b+23db+d=23．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
4．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）在比例尺为1:24000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为( )
A．168kmB．16.8kmC．1.68kmD．0.168 km
【答案】C
【分析】根据游览图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【详解】设隧道的实际长度是xcm，根据题意得：7：x=1：24000．
解得：x=168000cm=1.68千米．
故选C．
【点睛】本题主要考查了比例尺的含义，实际就是比例的问题．
5．（2023·九年级课时练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G,若DE=2，EG=1，GF=3，则（ ）
A．ABBC=23B．AGGC=23C．CGAC=23D．BCAC=23
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，DE＝2，EG＝1，GF＝3，
∴ABBC=EDEF=21+3=12，故A错误；
∴AGGC=DGGF=2+13=1,故B错误；
∴CGAC=GGDF=31+2+3=12，故C错误；
∴BCAC=EFDF=1+31+2+3=23，故D正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
6．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为（ ）

A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出AE，进而求出AC．
【详解】解：∵DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，
∴ADDB=AEEC，即93=AE2，
解得，AE=6，
∴AC=AE+CE=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．（2022秋·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考阶段练习）如图，已知直线l1//l2//l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】∵BC＝2AO＝2OB，
∴OC＝3AO，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴AOOC=ODOF，
∴AOOC=ODOF＝13，
∵OD＝1，
∴OF＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段.
8．（2023·浙江杭州·九年级）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，若EF//BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为（ ）
A．457B．335C．395D．152
【答案】C
【分析】根据两梯形的周长相等可得AD＋AE＋EF＋FD＝EF＋EB＋BC＋CF继而可得：AD＋AE＋FD＝EB＋BC＋CF＝12(AD＋AB＋BC＋CD)＝11，设AEEB＝k，则AE，DF，都可用k表示出来，从而可得出k的值，再运用平行线分线段成比例的性质定理即可解出EF的长．
【详解】解：由已知AD＋AE＋EF＋FD＝EF＋EB＋BC＋CF，
∴AD＋AE＋FD＝EB＋BC＋CF＝12(AD＋AB＋BC＋CD)＝11
∵EF∥BC，
∴EF∥AD，
∴AEEB=DFFC
设AEEB=DFFC=k
AE＝kk+1AB=6kk+1 ，
DF＝kk+1CD=4kk+1，
AD＋AE＋FD＝3＋6kk+1+4kk+1=13k+3k+1
∴13k+3k+1=11
∴解得：k＝4，
作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，
则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC−CH＝9−3＝6，
∵EGBH=AEAB=45，
∴EG＝45BH＝245，
∴EF＝EG＋GF＝245+3=395．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例的知识、比例的性质，综合性较强，注意平行线分线段成比例定理的理解及运用．
9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知AB=4，BC=6，DE=2，那么DF等于（ ）

A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式ABBC=DEEF，再代入求解即可．
【详解】∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，即46=2EF
∴解得EF=3，
∴DF=DE+EF=5．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键．
10．（2022秋·四川内江·九年级校考阶段练习）已知ab=32，则3a−2ba−b=（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】根据比例的基本性质进行解答即可
【详解】∵ab=32
∴设a=3k，b=2k,
则3a−2ba−b
=9k−4k3k−2k
=5
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质再求解代数式的值是解题的关键．
二、填空题
11．（2023·九年级统考课时练习）若线段AB=4cm，CD=53cm，则AB:CD= ，CD:AB= ．
【答案】 12:5 5:12
【分析】把AB=4cm，CD=53cm分别代入AB:CD、CD:AB化简即可.
【详解】∵AB=4cm，CD=53cm，∴
AB:CD= 4:53=12:5 ，CD:AB= 53:4=5:12.
故答案为 12:5，5:12
【点睛】本题考查了比的性质，把比的前项与后项都乘以同一个不为零的数，所得的比值不变.
12．（2022秋·九年级单元测试）在一张比例尺为1：5000的地图中，小明家到学校的距离为0.2米，则小明家到学校的实际距离是 米．
【答案】1000．
【详解】试题分析：因为比例尺为1︰5000,小明家到动车站的图上距离有0．2米,所以实际距离为：0.2×5000=1000（米）．
故答案是1000．
考点：比例尺．
13．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，BD=2，AE=3，则AC= ．
【答案】4.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADBD=AEEC，
∴42=3EC，
∴EC=1.5，
∴AC=AE+EC=3+1.5=4.5，
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．
14．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可给人以协调的美感．某女老师身长约1.68m，下身长约1.02m，她要穿鞋后跟 cm高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（结果精确到1cm）．
【答案】5．
【详解】试题分析：设她要穿xcm的高跟鞋，根据黄金比值约为0.618列出方程，解方程得到答案
解：这位女老师的上身长为：1.68﹣1.02=0.66m，
设她要穿xcm的高跟鞋，
由题意得，=0.618，
解得x≈5．
故答案为5．
考点：黄金分割．
15．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知xy＝32，则xx+y＝ ．
【答案】35
【分析】根据xy＝32得到x＝32y，代入代数式后约分即可求解．
【详解】解：∵xy＝32，
∴x＝32y，
∴xx+y＝32y32y+y＝35，
故答案为35，
【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或ab=cd（bd≠0）.
16．（2022秋·四川乐山·九年级校考期中）若k=a+bc=a+cb=b+cak≠0， 则k的值为 ．
【答案】−1或2
【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c）=k（a+b+c），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：由k=a+bc=a+cb=b+cak≠0,得
b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当a+b+c=0时，a+b=−c，
k=a+bc=−cc=−1，
∴k=−1或2．
故答案为：−1或2．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c）=k（a+b+c）是解题关键，又利用了分式的性质．
三、解答题
17．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，ADDB=AEEC=53，AD=15，AC=16.求BD、EC的长．
【答案】BD=9，EC=6
【分析】由AE+EC=AC，然后把AD=15，AC=16代入比例式即可得到结论．
【详解】解：∵ADDB=AEEC=53，AD=15，AC=16，
∴15BD=16−ECEC=53，
解得：BD=9，EC=6，
经检验，符合题意，
∴BD=9，EC=6．
【点睛】本题考查比例的性质，掌握比例的性质，准确计算是解题关键．
18．（2022秋·广西来宾·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．求证：ADAB=BFBC
【答案】见解析
【分析】根据DE∥BC得到ADAB=AEAC，根据EF∥AB得到AEAC=BFBC，由此得到结论
【详解】证明：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵EF∥AB，
∴AEAC=BFBC，
∴ADAB=BFBC．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例，找准对应线段是解答的关键．
19．（2022秋·全国·九年级阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE // BC，EF // DC，EF交边AB于点F．
求证：AD2=AF⋅AB．
【答案】见解析
【分析】已知DE // BC，EF // DC，根据平行线分线段成比例定理可得AFAD=AEAC，AEAC=ADAB，所以AFAD=ADAB，根据比例的性质即可证得结论.
【详解】证明：∵EF // DC，
∴AFAD=AEAC，
∵DE // BC，
∴AEAC=ADAB，
∴AFAD=ADAB，
∴AD2=AF⋅AB．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解决问题的关键.
20．（2023春·九年级单元测试）如图，DE∥BC，且AD=3，AB=5，CE=3，求AC的长．
【答案】AC=7.5
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】∵AE=AC−CE，CE=3，
∴AE=AC−3，
∴AC=AE+3，
又∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAE+3，
∴35=AEAE+3，
∴AE=4.5，
∴AC=AE+CE=7.5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线列出各组边的比例关系，再由已知边，求出未知边是解题的关键．
21．（2022秋·全国·九年级专题练习）（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G.求证：点G是线段BC的一个三等分点.
证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，∵OEDC=12，∴EFFD=OEDC=12.∴EFED=13.
⋅⋅⋅
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）由OE∥DC，可证EFFD=OEDC=12，从而EFED=13，由FG∥DC.可证FGDC=EFED=13，从而FGAB=13，由FG∥AB，可证CGBC=FGAB=13.
（2）依题意，仿照（1），根据平行线分线段成比例定理直接在图中作图即可．
【详解】（1）在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，
∵OEDC=12，
∴EFFD=OEDC=12，
∴EFED=13.
∵FG⊥BC，DC⊥BC，
∴FG∥DC.
∴FGDC=EFED=13.
∵AB=DC，
∴FGAB=13，又FG∥AB，
∴CGBC=FGAB=13.
（2）如图，点I即为所求.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
22．（2022秋·九年级课时练习）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明1AB+1CD=1EF成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
(1)1AB+1CD=1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
【答案】(1)成立
(2)1S△ABD+1S△BDC=1S△BED
【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．
【详解】（1）成立．证明：∵ AB∥EF,
所以EFAB=DFDB,
∵CD∥EF,
∴EFCD=BFDB,
∴EFAB+EFCD=BFDB+DFDB=1,
∴1AB+1CD=1EF,
（2）关系式为:1S△ABD+1S△BDC=1S△BED,
证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K,
由题设可得:1AM+1CK=1EN,
∴2AM⋅BD+2CK⋅CK=2EN⋅DB,
又∵12•BD•AM=S△ABD,12BD⋅CK =S△BCD
∴12BD•EN=S△BED,
∴1S△ABD=1S△BDC=1S△BED.
【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
23．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若ADDB=2，AC=6，求AE的值．
【答案】（1）如图所示，∠ADE为所作.见解析；（2）AE=4 .
【分析】(1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠ADE=∠B;
(2)先利用作法得到∠ADE=∠B，则可判断DE//BC.然后根据平行线分线段成比例定理求解.
【详解】（1）如图所示，∠ADE为所作.
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
∴AEEC=ADDB.
∵ADDB=2，AC=6，
∴AE=4 .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及基本作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
24．（2023·九年级统考课时练习）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连结PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
【答案】PQ=3
【分析】根据PQ∥BC可得AMMB=ANNC，进而证明MN∥BC，然后可得APBC=AMBM=12，再解答即可．
【详解】解：∵PQ∥BC，
∴APBC=AMMB，AQBC=ANNC，
∴AMMB=ANNC，
∴MN∥BC，
∴ANAC=AMAB=MNBC=13，
∴AMBM=12，
∴APBC=AMBM=12，AP=12BC=32．
∵AP=AQ，
∴PQ=3．
【点睛】该题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，正确列出比例式来判断、解答．
25．（2023·九年级统考课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE∥AB，交BC于点E，连接DE，交OC于点F，作FG∥AB，交BC于点G．
（1）求证：CFFO=2；
（2）求证：点G是线段BC的一个三等分点；
（3）请依照上面画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）由OE∥AB，O是AC中点，可得OE=12AB=12CD，又OE∥CD，又有CFFO=CDOE，而AB=CD，那么可证CFFO=2；
（2）由FG∥AB可得CFCA=CGCB，再利用（1）的结论和平行四边形的性质，可得CFCA=13，即可得G是CE的三等分点；
（3）连接DG，交OC于点H，作HP∥AB，交BC于点P，根据平行线分线段成比例定理和比例的性质可得点P是线段BC的一个四等分点．
【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，AB∥CD，AB=CD，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，OCOA=CEBE
∴E是BC的中点，
∴OE=12AB=12CD．
∴CFFO=CDOE=2；
（2）证明：∵FG∥AB，OE∥AB，
∴CFCA=CGCB，OE∥FG．
∵CFFO=2，
∴CFOC=23,
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC ，
∴CFCA=13．
∴CGCB=13．
∴点G是线段BC的一个三等分点；
（3）连接DG，交OC于点H，作HP∥AB，交BC于点P，则点P是线段BC的一个四等分点（如图）．证明如下：
∵HP∥AB，AB∥CD，
∴HP∥CD，
∴CDFG=DHHG=PCPG,
∵OE∥CD
∴CFFO=CDOE=DFEF=2，
∴EDEF=3，
∵FG∥AB，AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴CDFG=EDEF=3，
∴PCPG=3，即PCCG=34，
由（2）得，CG=13BC，
∴PC=34CG=14BC，即点P是线段BC的一个四等分点．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理和比例的性质，解题的关键是根据平行找准对应关系．