专题01 一元二次方程（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（3）【注意】
①只含有一个未知数；
②所含未知数的最高次数是2；
③整式方程。
（二）方程解的应用
（1）概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
（2）方法技巧：一元二次方程解的应用方法，将解代入方程，化简式子求解（或是整体思想）
考点一遍过
考点1：一元二次方程的定义
典例1：（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x2-3x-1B．x(x-3)=2(3-x)
C．x2-1x-5=0D．(x+1)(x-2)-x2=0
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①-x2-x=4 ②2x2-3xy+9=0 ③x2-2x+1x=4④x2=1 ⑤x2-x2+3=0⑥4x2-3x=(2x-1)2
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）下面关于x的方程中：15(1-x)=0，4x2π-3=0，x2-y22=0，1x+x=0，x2+3x=0，ax2+bx+c=0，其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2-y+2=0B．x2+2x-5=0C．1x2-1x+8=0D．x-y=2
考点2：一元二次方程——求字母
典例2：（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）已知关于x的方程k-3xk-1+2k-3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3B．3C．-3D．不能确定
【变式1】（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如果方程(m-3)xm2-7-x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3B．3C．-3D．不存在
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）关于x的方程m-1xm2+1+6x-1=0是一元二次方程，则（ ）
A．m=-1B．m=1C．m=±1D．m=2
【变式3】（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程(m-3)xm2-7-5x-12=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )
A．3B．-3
C．±3D．以上答案都不对
考点3：一元二次方程——求取值范围
典例3：（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）若关于x的方程a+2x2-2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a-2D．a≠-2
【变式1】（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）若关于x的方程(a+2)x2-2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≥-3且a≠-2B．a≥-3C．a≥-2D．a≠-2
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）若m2-4x2+3x-5=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠2B．m≠-2C．m≠-2，或m≠2D．m≠-2，且m≠2
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程为m-2x2-x+3=0，则m的值是（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．m≠2
考点4：一元二次方程一般式
典例4：（2023秋·全国·九年级专题练习）用求根公式解一元二次方程3x2-2=4x时a，b，c的值是（ ）
A．a=3，b=-2，c=4 B．a=3，b=-4，c=2
C．a=3，b=-4，c=-2 D．a=3，b=4，c=-2
【变式1】（2022秋·吉林松原·九年级校联考期中）一元二次方程x-2x+3=0化为一般形式后，常数项为（ ）．
A．-2B．-6C．1D．-1
【变式2】（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）把一元二次方程2x+1+2x-12=0化成一般形式，结果正确的是（ ）
A．4x2-4x+1=0B．4x2-2x+3=0C．2x2-2x+3=0D．4x2+3=0
【变式3】（2023春·安徽六安·八年级统考期中）把一元二次方程x-12=3x-2化为一般形式，若二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为( )
A．-3和3B．-3和1C．-5和3D．-5和1
考点5：一元二次方程解的应用——求字母
典例5：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）若x=-2是关于x的一元二次方程x2+3x+t=0的一根，则t的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【变式1】（2019秋·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x=2是一元二次方程x2-mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．-3B．3C．0D．6
【变式2】（2023春·四川自贡·九年级校考阶段练习）已知x=2是关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个解，则a的值为（ ）
A．-5B．-4C．4D．5
【变式3】（2023春·广西贺州·八年级统考期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1或﹣1B．﹣1C．1D．12
考点6：一元二次方程解的应用——求代数式
典例6：（2023秋·全国·九年级专题练习）已知t为一元二次方程x2-1011x+3=0的一个解，则2t2-2022t值为（ ）
A．-3B．-2C．-6D．-4
【变式1】（2022秋·重庆璧山·七年级校考期末）若x2+2x=-1，则2021-2x2-4x的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式2】（2021秋·吉林·七年级校联考阶段练习）已知整式2y2 -3y+4的值是12，那么整式y2- 32y- 1的值是（ ）
A．3 B．-3 C．5 D．7
【变式3】（2020秋·广东深圳·七年级校考期中）若x2+3x的值为12，则式子﹣3x2﹣9x﹣2的值为（ ）
A．10B．﹣24C．﹣34D．﹣38
考点7：一元二次方程解的应用——求根
典例7：（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）已知方程x2+2x-8=0的解是x1=2，x2=-4，那么方程(x+1)2+2(x+1)-8=0的解是（ ）
A．x1=-1,x2=5B．x1=1,x2=5
C．x1=1,x2=-5D．x1=-1,x2=-5
【变式1】（2023春·安徽马鞍山·八年级马鞍山八中校考期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0a≠0有一个根为x=2023，则方程ax-12+bx-3=b必有一根为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【变式2】（2021秋·山东潍坊·九年级统考期中）根据下表中的数据，一元二次方程x2-3x-4.5=0的一个近似解为（ ）
A．-1.075B．-1.098C．-1.116D．-1.123
【变式3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx-6=0的根是（ ）
A．x1=0， x2 =1B．x2 =-1，x1=2 C．x1=-2，x2 =3D．x1=-3，x2 =4
考点8：一元二次方程解的应用——综合
典例8：（2023秋·全国·七年级专题练习）关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c=0和4a-2b+c=0，则方程的根是（ ）
A．0B．1，-1C．2，-2D．无法确定．
【变式1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是x=m，则方程x2+bx+a=0有一个根是（ ）
A．x=mB．x=-mC．x=1mD．x=1-m
【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子 m3+2m2+2014 的值为（ ）
A．2015B．2014C．2013D．2012
【变式3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知a是方程x2-2x-2=0的根，则1-1a+1÷a3a2+2a+1的值是（ ）
A．16B．12C．19D．2
同步一遍过
一、单选题
1．（2023秋·江苏镇江·九年级校联考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若4a-2b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ）
A．-2B．2C．±2D．不能确定
2．（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值等于（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程x2-mx+3=0有一根是3，则m的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2-y2=2B．2x2=3C．xy=-3D．1x+x=2
5．（2023秋·广东珠海·九年级珠海市前山中学校考期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．﹣x+2＝0D．x2﹣1＝0
6．（2022秋·九年级单元测试）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5B．3C．41D．3或41
7．（2023秋·山西运城·九年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A．xx+5=x2-2B．1x2+1x=0C．ax2+bx+c=0D．2y+12=y+1
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列方程中不一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2-7x-1=0B．4x2-144=0C．x2+2x=0D．ax2+3x+b=0
9．（2023秋·九年级单元测试）如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
10．（2023秋·陕西西安·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解是x=2,则2023+2a-b的值是( )
A．2023B．2023C．2023D．2023
二、填空题
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）一元二次方程的概念．
只含有 未知数x的 方程，并且可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做 ．
12．（2022秋·全国·九年级专题练习）将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式、则一次项是 ，b+c＝ ．
13．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知方程（x+1）（x+a）＝0有一个根是x＝3，则a＝ ．
14．（2022秋·甘肃陇南·九年级统考期中）已知m是关于x的方程x2-2x-5=0的一个根，则代数式3m2-6m+1的值为 ．
15．（2023·浙江·九年级专题练习）关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-9，x2=11（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a(x+m+3)2+b=0的解是 ．
16．（2023·广西南宁·九年级校联考期末）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，则（m+1）2+（m+1）（m﹣1）= ．
三、解答题
17．（2023秋·八年级课时练习）把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数．
（1）2x2=3x； （2）(5x-1)2-3=0；
（3）(4m-5)(2m+1)=m2； （4）3x2-ax+b=0．（a、b是已知数）
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣x+3＝0是一元二次方程，求m的值．
19．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．
20．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：（x+1﹣3xx2-x）÷（x2x-1﹣4），其中x为一元二次方程x2﹣3x＝0的解．
21．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）已知P=(a-3+9a+3)÷aa2-9．
（1）化简P；
（2）若a为方程13x2-x-2=0的解，求P的值．
22．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一元二次方程x2-2ax+b=0中，若a2-b>0，则称a是该方程的中点值．
(1)方程x2-8x+3=0的中点值是 ．
(2)已知x2-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．
23．（2023秋·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？
（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
24．（2023秋·全国·九年级专题练习）把方程12x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程12x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①12x2-x-2=0；②-12x2+x+2=0；③x2-2x-4=0；
④-x2+2x+4=0； ⑤3x2-23x-43=0．
（2）方程12x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
x
-1.13
-1.12
-1.11
-1.10
-1.09
-1.08
-1.07
x2-3x
4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35
x
……
-3
-2
-1
0
1
2
3
……
ax2+bx
……
12
6
2
0
0
2
6
……