2024洛阳强基联盟高二下学期3月联考试题数学含解析

这是一份2024洛阳强基联盟高二下学期3月联考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D. 3
2. 节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A. B.
C D.
5. 曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（ ）
A. 0B. C. D.
6 当时，函数取得最小值，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是（ ）
A. 8B. C. D. 10
8. 设，，，则、、大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A. 在上单调递减B. 有极小值
C. 有3个极值点D. 在处取得最大值
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________.
13. 函数的最大值为________．
14. 已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数（），且．
（1）求的解析式；
（2）求函数的图象在点处的切线方程．
16 已知函数，且当时，有极值．
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值．
17. 已知函数，．
（1）证明：在上单调递增；
（2）判断与的大小关系，并加以证明．
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
19. 定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
（1）判断函数和是否具有关系；
（2）若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．
洛阳强基联盟高二3月联考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用平均变化率的定义求解.
【详解】设，则函数在区间上的平均变化率为．
故选：A.
2. 节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.
【详解】由，求导得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为.
故选：B.
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接求导并解不等式，即可得到的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，，
解不等式，得，即，即的单调递减区间为．
故选：D.
4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】由题意知，所以，
又，所以的图象在处的切线方程为，
即．
故选：D．
5. 曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据曲线的曲率定义，对函数求导得出，再对求导得出，将代入求解即可.
【详解】对函数求导，得，
对求导，得，所以，
所以曲线在点处的曲率.
故选：D.
6. 当时，函数取得最小值，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可知，，可解出，，然后验证，满足条件即可.
【详解】由于，函数在处取得最小值，
故，，从而，，解得，.
若，，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以在处取到极小值，也是最小值.
而，所以函数在处取得最小值，故，满足要求，
所以，，故．
故选：D.
7. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是（ ）
A. 8B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求导，分离参数，并构造新函数确定零点个数得m的范围即可.
【详解】，令，得，
由题意知在区间上只有一个变号的根，
令，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，，所以当时，在区间上只有一个变号的根，
即函数在上有且仅有一个极值点时，，即的最小值为．
故选:B．
8. 设，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】令，则，
当时，，则单调递增，所以，
即，则；
令，则，当时，，单调递增，
所以，即，即．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由导数的除法公式可得出A错误，D错误；由导数的加法公式可得出B正确；由导数的乘法公式可得出C正确/
【详解】由导数的除法公式可得，
由导数的加法公式可得，
由导数的乘法公式可得，
由导数的除法公式可得，
所以A，D错误；B，C正确.
故选：BC．
10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A. 在上单调递减B. 有极小值
C. 有3个极值点D. 在处取得最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.
【详解】由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果.
【详解】令，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，故A错误，B正确；
又，所以，
即，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数．
(3)利用导数研究的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则__________.
【答案】24
【解析】
【分析】求导后代入即可得，代入求解即可.
【详解】，故，解得，
故，所以.
故答案为：24
13. 函数的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求得的最大值.
【详解】，
所以在递增，在递减，
所以当时，取得最大值为.
故答案为：
14. 已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入可得，构造函数，则的图像与直线只有1个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，作出图象，结合图象即可得解.
【详解】设切点为，
由，得，
所以切线的斜率为，
切线方程为，
因为点在切线上，所以，
即，
令，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，极大值为，
当时，，当时，，
所以的图象如图所示，

因为过点且与曲线相切的直线只有1条，
所以的图像与直线只有1个交点，
由图象可得或，
即实数的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知函数（），且．
（1）求的解析式；
（2）求函数的图象在点处的切线方程．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；
（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.
【小问1详解】
由，得，
又，所以，解得，即．
【小问2详解】
由（1），得，，
所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数图象在点处的切线方程为，
即．
16. 已知函数，且当时，有极值．
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1），；
（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数；
（2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.
【小问1详解】
由，得，
又当时，有极值，
所以，解得
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．所以当时，有极小值．
所以，满足题意．
【小问2详解】
由（1）知，．
令，得，，
，的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为．
17. 已知函数，．
（1）证明：在上单调递增；
（2）判断与的大小关系，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，确定即可证明；
（2）构造函数，求导确定单调性即可证明.
小问1详解】
证明：，
所以，
所以．
当时，因为，所以．
所以在上单调递增．
【小问2详解】
．
证明如下：设，，则．
由（1）知在上单调递增，所以，
所以，即上单调递增．
所以，即．
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证.
【小问1详解】
因为的定义域为，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，，
令，则，
令，则，
因为，所以，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，即.
【点睛】结论点睛：恒成立问题：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
19. 定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
（1）判断函数和是否具有关系；
（2）若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．
【答案】（1）与具有关系；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依据给定的新定义结合导数判断即可.
（2）令，得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，后结合给定定义求解参数范围即可.
【小问1详解】
与具有关系．
理由如下：根据定义，若在与的定义域的交集上存在，
使得，则与具有关系．令，，
则，所以单调递增，又，，
所以，使得，即，即与具有关系．
【小问2详解】
令，则，因为与在上具有关系，
所以在上存在零点．，若，
当时，因为，，所以，
即在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意．若，
当时，，，
当时，设，则，
所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，
设零点为，则，所以当时，；
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上存在唯一极小值，因为，所以，
又，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有关系．
综上所述，，即实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，然后利用给定定义得到所要求的参数范围即可．
3
4
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增