河南省洛阳强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

这是一份河南省洛阳强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形中，
A．B．C．D．
2.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标为
A．B．C．D．
3.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则
A．B．C．D．
4.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则
A．1B．C．或1D．2
5.已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为
A．2B．C．D．1
6.已知空间中三点，，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
A．B．C．3D．
7.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为
A．B．C．D．
8.在正三棱柱中，，，，M为棱上的动点，N为线段AM上的动点，且，则线段MN长度的最小值为
A．2B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10.如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，P，Q分别是线段AE，BD的中点，则
A．B．异面直线AQ，PF所成角为
C．点P到直线DF的距离为D．的面积是
11.在平行六面体中，，，若，其中m，n，，则下列结论正确的为
A．若点Q在平面内，则B．若，则
C．当时，三棱锥的体积为D．当时，CQ长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量，，若，则 .
13.在空间直角坐标系中，点A，B，C，M的坐标分别是，，，，若A，B，C，M四点共面，则 .
14.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知空间向量，，，.
（1）求；
（2）判断与以及与的位置关系.
16.（本小题满分15分）
已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段AG的中点.
（1）用，，表示，并求出；
（2）求．
17.（本小题满分15分）
如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）若点P在棱，且平面，求CP的长度.
18.（本小题满分17分）
如图，四棱柱的底面为矩形，，M为BC中点，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点.
（1）证明：平面；
（2）已知，F为线段AB上的动点（包括端点）.
①求三棱台的体积；
②求与平面所成角的正弦值的最大值.
洛阳强基联盟高二10月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B
.故选B．
2.C
点关于x轴对称点的坐标为.故选C．
3.A
连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，.故选A．
4.C
因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得.故选C．
5.B
，则点P到的距离.故选B．
6.D
，夹角的余弦值为.因此，夹角的正弦值为，故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为.故选D．
7.A
依题意，向量在向量上的投影向量为，所以投影向量的坐标为.故选A．
8.D
因为在正三棱柱中，O为BC的中点，取的中点Q，连接OQ，如图，以O为原点，OC，OA，OQ分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，因为M是棱上的动点，设，且，因为，所以，于是令，，所以，.又因为函数在上单调递增，所以当时，，即线段MN长度的最小值为.故选D．
9.AB
因为，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选AB．
10.AC
由题意知AB，AD，AF两两垂直，以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，又P，Q分别是线段AE，BD的中点，所以，，所以，，又PQ，DF不共线，所以，故A正确；，，设异面直线AQ，PF所成角为，则，又，所以=，即异面直线AQ，PF所成角为，故B错误；由，，得，所以点P到直线DF的距离为，故C正确；因为，所以Q到DF的距离即为P到DF的距离，所以的面积.故D错误.故选AC．
11.ABD
对于选项A，若点Q在平面内，易知有，所以，又，则，故A正确；对于选项B，由题意易知，，且，又，即，故，解得，故B正确；对于选项C，由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点H，则H为的中心，不难求得，.当时，Q到平面的距离为，所以，故C错误；对于选项D，
，又，由基本不等式可知，所以，即，当且仅当时等号成立，所以CQ长度的最小值为，故D正确.故选ABD．
12.4
因为，所以，即，故.
13.6
，，，又A，B，C，M四点共面，则存在x，，使得，即，即，解得.
14.
由题意可知，
，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以，所以.
15.解：
（1），
所以.
（2）因为，，所以，
所以；
因为，，所以，
所以.
16.解：
（1）因为点M是线段AG的中点，
所以.
因为，
所以
，
所以.
（2）.
17.
（1）证明：如图，连接，，，，
因为，分别为，的中点，所以且，
即四边形为平行四边形，故，
因为，分别为，的中点，所以，即，
所以，，，四点共面.
（2）解：在长方体中，CB，CD，两两垂直，
如图，以CD，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由，，易得，，
设（），故，，
又平面，故，即，即，
所以.
18.
（1）证明：因为底面是矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）解：取AD的中点O，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，连接OM，又底面为矩形，所以，所以OM，AD，两两互相垂直，以O为坐标原点，，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，.
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则.
设二面角的平面角为，则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
19.
（1）证明：设交于点G，连接EG，在三棱台中，，，又D为AC的中点，所以，，四边形是平行四边形，G为的中点.
又E为BC的中点，所以，又平面，平面，所以平面.
（2）解：①连接BD，因为平面，且平面，所以平面平面，
因为，D为CA的中点，所以，又平面平面，平面，所以平面，所以，
又，，，平面，所以平面，，故四边形为菱形，，
所以三棱台的体积为.
②如图所示建立平面直角坐标系，则，，，，不妨设，则，，
设平面的一个法向量为，令，得，
令，可得，
设与平面所成角为，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为.