2021-2022学年河南省洛阳市强基联盟高二下学期大联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省洛阳市强基联盟高二下学期大联考数学（文）试题

一、单选题

1．在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，模型1的相关指数为，模型2的相关指数为，模型3的相关指数为，模型4的相关指数为，其中拟合效果最好的模型是（       ）

A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4

【答案】B

【分析】由回归模型的原理可知，当相关系数，且时，相关性越强

【详解】解：由题意可知，所给的四个模型中，模型2 的相关指数最大，则回归模型的拟合效果最好，

故选：B

2．已知复数z满足为虚数单位，则（        ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法运算法则，求出，再由模长公式，即可得出结论.

【详解】，

所以.

故选：C.

3．有一段演绎推理：“所有的动物都有四条腿，鸡是动物，所以鸡有四条腿”，结论显然是错误的，这是因为（       ）

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．非以上错误

【答案】A

【分析】根据三段论的推理分析即可.

【详解】演绎推理的大前提是“所有的动物都有四条腿”，

小前提是“鸡是动物”，结论是“鸡有四条腿”，

很明显是大前提错误．

故选：A．

4．若复数，则在复平面内所对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】直接对复数化简求出，从而可得其共轭复数即可得答案

【详解】因为，所以，

所以，则，

所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

5．复数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容用数学符号表示分别是（       ）

A．实数，无理数，正整数 B．实数，有理数，自然数

C．无理数，有理数，整数 D．实数，有理数，正整数

【答案】D

【分析】根据复数系的分类以及实数的分类，可得答案.

【详解】根据复数系的知识结构，图中1，2，3三个方格中的内容分别为实数，有理数和正整数，

故选：D．

6．如果发现散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则下列说法错误的是（       ）

A．解释变量和预报变量是一次函数关系 B．相关系数

C．相关指数 D．残差平方和为0

【答案】B

【分析】根据相关指数和残差的定义逐一判断即可.

【详解】散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，所以解释变量和预报变量是一次函数关系，且残差平方和为0，因此选项AD正确；

由题意可知，，若直线的斜率为正，则，若直线的斜率为负，则.

故选：B.

7．在考察儿童出生月份X与学习成绩Y是否优秀的独立性检验中，得出如图的列联表：如果最后发现，这两个分类变量X和Y没有任何关系，则表中正数a的值最有可能是（       ）

A．200 B．720 C．100 D．690

【答案】B

【分析】由列方程来求得的值.

【详解】因为两个变量X和Y没有任何关系，所以，

解得．

故选：B

8．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（       ）

A．24 B．25 C．25.5 D．26

【答案】A

【分析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出、，将样本中心点带入回归方程，即可求得参数.

【详解】设缺少的数值为，则，，

因为回归直线方程经过样本点的中心，所以，解得.

故选：A．

9．《世说新语·道旁苦李》有这样一则故事：王戎七岁的时候，曾经和小朋友们一道玩耍，看见路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动．有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这一定是苦李子．”摘来一尝，果然是这样．这则故事中，王戎判断李子是苦李所用到的数学方法是（       ）

A．反证法 B．综合法 C．分析法 D．分析—综合法

【答案】A

【分析】根据题干信息中的“路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了”，采用反证法推理即可.

【详解】王戎所用的方法是反证法．首先假设道路旁结的李子是甜李子，那么这条大路边每天人来人往这么多人，李子一定所剩无几了，而李子树现在仍有很多李子，两者相互矛盾，所以假设错误，道旁结的李子是苦李子．

故选：A．

10．假设有两个变量X和Y，它们的取值分别为，和，，其列联表为

以下各组数据中，对于同一样本能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是（       ）

参考公式：，．A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

【答案】B

【分析】通过逐个计算，取最大的一组可得X和Y有关系的可能性最大

【详解】对于A，，对于B，，

对于C，，对于D，，

因为，所以选项B中的数据能说明X和Y有关系的可能性最大，

故选：B

11．已知复数（，为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则的最大值为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意利用向量模的定义将复数问题转化为圆的问题，再将利用向量模的定义展开，数形结合求最大值.

【详解】因为，所以，

即，故点在以为圆心，2为半径的圆上．

又，它表示点与原点的距离，

数形结合知的最大值为3．

故选：B

【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

12．在新冠肺炎疫情期间某小区对在外务工，春节返乡人员进行排查，现有甲、乙、丙、丁四名返乡人员，其中只有一个人去过高风险地区.甲说：“乙或丙去过高风险地区，”乙说：“甲和丙都没去过高风险地区.”丙说：“我去过高风险地区.”丁说：“乙去过高风险地区，”这四个人的话只有两句是对的，则去过高风险地区的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】分别假设甲、乙、丙、丁去过高风险地区，逐一分析四个人的话的对错即可.

【详解】假设甲去过高风险地区，则四人说的都是假话，与题意不符；假设乙去过高风险地区，则甲、乙、丁说的都是真话，与题意不符；假设丙去过高风险地区，则甲、丙说的是真话，乙、丁说的是假话，符合题意；假设丁去过高风险地区，则甲、丙、丁说的都是假话，与题意不符.

故选：C.

二、填空题

13．观察下列等式：

照此规律，第4个等式可为________.

【答案】

【分析】由已知式观察，右边的项数，第一项的值与左边的底数的关系，归纳出结论．

【详解】由方框中的规律可以看出，，共两项和，且；，共三项和，且；，共四项和，且；应为五项和，且开始数为，故第4个等式为.

故答案为：.

14．在平面直角坐标系中，点到直线的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点到平面的距离为______．

【答案】5

【分析】把平面点到直线距离公式类比到空间点到平面的距离公式：点，平面方程，距离．由此计算．

【详解】类比可得点到平面的距离．

故答案为：5．

15．执行如图所示的流程图，若输入x的值为2.5，则输出i的值是___________．

【答案】4

【分析】根据程序框图，分析计算即可得出答案.

【详解】解：当时，成立；

所以，有成立；

有，有成立；

有，有成立；

有，有不成立，所以输．

故答案为：4.

三、双空题

16．在复数列中，已知，为复数列的前n项和，则_______，_______．

【答案】         

【分析】①依次计算出，， ，得出，然后分组求和；

②由①可得，带入计算可得结果；

【详解】因为，所以；

；；

由此可得：；

所以，

．

四、解答题

17．请选择适当的方法证明下列结论：

(1)求证：；

(2)已知，求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过分析法证明即可；

（2）通过综合法证明即可.

【详解】(1)要证，只需证．

即证，即证．

即证，即证，

因为显然成立，所以原不等式成立．

(2)．

因为，所以，，

所以，所以．

18．已知复数．

(1)若z是纯虚数，求；

(2)若，求a，b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由纯虚数的概念求解

（2）根据复数的运算法则化简

【详解】(1)因为是纯虚数，

所以解得．             

所以，则．

(2)由，得，                  

代入，

得，                           

即．

19．2022年元旦前夕，习近平总书记在新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”．某农村利用得天独厚的地理优势，建起了草莓采摘园，为农民增加了一份收入．该农村每年的草莓种植面积y（单位：百亩）和年份代码x的关系如表，已知x与y之间有较强的线性相关性．

(1)试用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；

(2)预测2023年该农村的草莓种植面积．

参考公式：，．

【答案】(1)

(2)约为9.08百亩

【分析】（1）根据表中数据及参考公式即可求解；

（2）将代入回归直线方程即可求解.

【详解】(1)解：，，

所以，，

所以，，

所以y关于x的回归直线方程；

(2)解：令，可得，

所以2023年该农村草莓的种植面积约为9.08百亩．

20．2022年北京冬奥会的成功举办，使广大国民爱上了冰雪运动，为了研究爱好冰雪运动是否与性别有关，研究人员随机抽取100人调研得到如下数据（男、女人数相同）：

(1)补全列联表中的数据；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为爱好冰雪运动与性别有关？

(3)从这100人中按兴趣爱好以分层抽样的方式抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人都爱好冰雪运动的概率．

附：，其中．

临界值表

【答案】(1)填表见解析

(2)不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为爱好冰雪运动与性别有关

(3)

【分析】（1）根据题设条件，结合题设中数据，得到列联表；

（2）根据表格中的数据，求得的值，结合附表，即可得到结论；

（3）抽取的个中，爱好冰雪运动和不爱好冰雪运动的人数，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】(1)解：爱好冰雪运动与性别是否有关的列联表为：

(2)解：由（1）中的的列联表，

可得，

所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为爱好冰雪运动与性别有关．

(3)解：抽取的个中，爱好冰雪运动的有人，

记为,不爱好冰雪运动的有人，记为，

从这5人中抽取2人共有10种选法，

分别是AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，

其中2人都爱好冰雪运动的有3种选法，分别是AB，AC，BC，

所以2人都爱好冰雪运动的概率为．

21．已知数列，，．

(1)求、、；

(2)归纳猜想通项公式，并证明你的猜想；

(3)求数列的前n项和．

【答案】(1)， ，；

(2)猜想：；证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用递推关系即得；

（2）利用条件可得，进而可得，即得；

（3）利用裂项相消法即得.

【详解】(1)∵，．

∴，

同理可得：，．

(2)由（1）猜想：．

因为，，

所以，所以，

所以，又因为，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

所以．

(3)∵，

所以．

22．已知函数，、为两个正实数．

(1)若，求证：、中至少有一个不小于；

(2)若，且，求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）假设、都小于，推出，，结合不等式的性质可得出，由此可得出与题设条件矛盾，结合反证法的原理可得出结论；

（2）由可得出，结合基本不等式可证得结论 成立.

【详解】(1)证明：假设、都小于，

则，，

因为、为两个正实数，所以，，

所以，，所以，，

所以，这显然与矛盾．

所以假设错误，原结论正确．即、中至少有一个不小于．

(2)证明：因为，所以，

所以，所以，

因为，所以，所以，

所以（不等式取等号条件不成立），

所以．

因为，所以，所以．