2023洛阳强基联盟高一下学期3月联考试题数学含解析

洛阳强基联盟3月联考

高一数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章第2节。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知,则=

A.-9                   B.9                   C.7                    D.-7

2. 已知△为等边三角形，则与 的夹角为

A.120°                                       B.60°

C.30°                                       D.-60°

3. 已知向量=(8,-2),=(,1),若,则实数的值是

A.-4                    B.-1                    C.1                    D.4

4. 在△中,角的对边分别为,已知 则=

A.45°或135°                                   B.135°

C.45°                                         D.60°或120°

5. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为

6. 已知△的内角的对边分别是,则“△是钝角三角形”是 “” 的

A.充分不必要条件                               B.必要不充分条件

C.充要条件                                     D.既不充分也不必要条件

7. 已知向量的夹角为 且||=2,=(1,1), 则在上投影向量的坐标为

                                     D.( 1 ,1 )

8. 在平行四边形中,   且· 则平行四边形的面积为

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 对于任意的平面向量，下列说法错误的是

A.若，则与不是共线向量

B.

C.若,且,则

D.

10. 若复数z为纯虚数，则

A. +为实数                               B. -为实数

C. ²为实数                                D. i为实数

11. 下列说法正确的是

A.若两个非零向量  共线，则必在同一直线上

B.若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反

C.若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°

D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量

12. 在△中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是

A.若,则

B.若,则

C.若,则△是等腰三角形

D.若△为锐角三角形,则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设复数满足i+1=,则  

14. 在△中,角的对边分别为,且 ,,则

15. 已知平面向量,,若与的夹角为锐角,则的取值范围为            .

16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的处(即)，观测到山顶处的仰角为15°，山脚处的俯角为45°,则山高=            m.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)

已知虚数z满足

(1)求证 在复平面内对应的点在直线上；

(2)若是方程 的一个根，求与.

18. (本小题满分12分)

已知向量满足||=2,||=3,且.

(1)若,求实数的值;

(2)求与的夹角的余弦值.

19. (本小题满分12分)

已知△的内角的对边分别为,且.

(1)求角;

(2)若△的周长为 ，且△外接圆的半径为1，判断△的形状，并求△的面积.

20. (本小题满分12分)

如图，在等腰梯形中， E是边的中点.

(1)试用 表示

(2)求 的值.

21. (本小题满分12分)

如图，在平面四边形中， 设.

(1)若=60°,=2,求的长度;

(2)若∠=30°,求.

22. (本小题满分12分)

记△的内角所对的边分别为,已知.

(1)求证:

(2)若△的面积,求的最大值，并证明：当取最大值时，△为直角三角形.

洛阳强基联盟3月联考·高一数学

参考答案、提示及评分细则

1. B  ,即,所以.故选B.

2. A  因为△ABC为等边三角形,所以 与BC 的夹角为120°.故选A.

3. A  由,得 解得=-4.故选A.

4. C  由正弦定理得 ∴角A等于45°.故选C.

5. D  由,得  所以z在复平面内对应的点的坐标为 故选D.

6. B若△ABC中B为钝角,则C为锐角,,即有,故充分性不成立；若   ,由余弦定理得    即C为钝角，故必要性成立.故选B.

故选C.

8. D 因为 所以

   得= 则所以故选D.

9. ACD 对于A，两个向量是否共线只跟方向有关，故A错误；

对于B，这是数量积对加法的分配律，显然成立的，故B正确；

对于C若和，都垂直，显然，至少在模长方面没有任何关系，故C错误；

对于D,很多时候是不成立的,则与是分别和共线的向量,故错误.故选ACD.

10. ACD 因为为纯虚数,设,且 则,A正确;,   B错误;为实数,C正确;为实数,D正确.故选ACD.

11. CD 平行向量又叫共线向量，向量AB与CD是共线向量，则 与CD平行或共线，故A错误；当b为零向量时，结论不成立，故B错误；由向量的夹角可知C正确；平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确。故选CD.

12.ABD在△ABC中,由正弦定理得 所以 若,则   又0,所以,故A正确;因为又,,0,所以所以,所以,故B正确;若,由正弦定理可得,即,则或 =π,即或则△ABC是等腰三角形或直角三角形故C错误；若△ABC为锐角三角形，则 所以 又在上为单调增函数，所以即,故D 正确.故选ABD.

  由,得 则

  由正弦定理得,即= 所以  

因为与的夹角为锐角,所以,且与不共线,即,且1×-2×5,解得 且.

16.600 由题意知°,则 又由,所以-60°-,,在中，由正弦定理得    即 解得则.

17.(1)证明:方法一:设…………………………………………………1分

因为所以,…………………………………………………………………………2分

所以 ……………………………4分

所以在复平面内对应的点为(),在直线上. …………………………5分

方法二:设),…………………………………………………………1分

因为  所以,   …………………………………………2分

…………………………………………………………4分

所以在复平面内对应的点为(),在直线上.……………………………5分

(2)解:因为是方程的一个根,

所以,       ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

即,

所以,且=0,

由及,得,……………………………………………………………8分

因为,所以,

把代入=0得=10,

所以10,-1±………………………………………………………………………………10分

18.解:(1)因为,所以,

即,解得.……………………………………………3分

若(,

即, 即, 解得    ……6分

又, …………………………………………………9分

所以

即与的夹角的余弦值为   ……………………………………………………12分

19.解:(1),

由正弦定理得 ……………………………………2分

因为,

所以2,

因为(0,π),所以≠0,

所以                            ……………………………………………4分

因为,

所以 …………………………………………………………………………………5分

(2)设△外接圆的半径为,则=1,

由正弦定理，得            ⋯……………………………………………6分

因为△ABC的周长为所以       …………………………………………7分

由余弦定理，得

即,

所以……………………………………………9分

由   得   

所以△ABC为等边三角形.………………………………………………………………………11分

所以△ABC的面积 ………………………………………12分

20.解

  …………………………………………5分

          ……………………………………………7分

    ……………………………………………………………………………………………12分

21.解:(1)由

可知   …………………………………………………………………………2分

在△ABD中,  

由余弦定理可知

则   …………………………………………………………………………………6分

  …………………………………7分

由题意易知,.

在△ABD中，由正弦定理可知     …………………………………………9分

  即有

   …………………………………………………………………………………12分

22.(1)证明:由 得

代入,得   ……………………………………………2分

所以

由余弦定理，得,

所以   …………………………………………………4分

所以   ……………………………………………………………………5分

(2)解:由(1)知  所以△ABC的面积 ……6分

所以 当且仅当时取等号，

所以的最大值为   ………8分

下面证明当即时,△为直角三角形.

把代入 得,          …………………………9分

两边平方，得=1,所以,…………………………11分

因为

所以△为直角三角形.………………………………………………………………………12分