安徽省安庆市20校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆市20校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了下列根式为最简二次根式的是，下面计算正确的是，若，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列根式为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
3．下面计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
5．将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A． B．C． D．
7．若，则（x+y）2024等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
8．函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人B．12人C．13人D．14人
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12．请写出一个没有实数根的一元二次方程，结果是 ．
13．若x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值为 ．
14．一直角三角形的三边长分别为6，8，x，那么以x为边长的正方形的面积为 ．
三．解答题（本大题共2小题，第15题8分，第16题8分，满分16分）
15．计算：（1）3；（2）．
16．解方程：x（x﹣2）﹣x+2＝0
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
18．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，
（+）（﹣）＝1…
观察上面规律，计算下面的式子+++…+
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝4，求k的值．
六．解答题（本题12分）
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
七．解答题（本题12分）
22．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？
八．解答题（本题14分）
23．阅读材料：
例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．
解：+＝+．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值为3．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
（3）求出代数式+的最小值．
2023—2024学年度第二学期期中综合素质调研
八年级数学试题参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列根式为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的条件即可解答．被开方数中，如果含有能开尽方的因数或因式；被开方数中含有分母，都不是最简二次根式．
【解答】解：A、＝2，可化简，故A选项不符合题意；
B、＝，可化简，故B选项不符合题意；
C、，符合最简二次根式的条件，故C选项符合题意；
D、=2，故D选项不符合题意．
故选：C．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
【分析】根据二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：若式子在实数范围内有意义，则x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故选：D．
3．下面计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则及化简方法，找到计算正确的选项即可．
【解答】解：A、正确，符合题意；
不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
D、原式＝2，故错误，不符合题意；
故选：A．
4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；
③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；
④3x﹣＝0是分式方程．
故选：A．
5．将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．
【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，
故选：B．
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：C．
7．若，则（x+y）2024等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题．
【解答】解：∵，
∴x﹣1≥0且2﹣2x≥0．
∴x＝1．
∴＝0+0﹣2＝﹣2．
∴（x+y）2024＝（2﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：A．
8．函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判断△的符合，从而得到方程根的情况．
【解答】解：由图象可得k＜0，
∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，
∵b2≥0，
∴b2+4＞0，
∵﹣4k＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
9．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．12人B．12人C．13人D．14人
【分析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x+1）人，根据两轮感染的总人数196即可列出方程求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得x+1+（x+1）x＝225，
解得：x＝14或x＝﹣16（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了14个人．
故选：D．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．
【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a的值为﹣1．
故选：B．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】首先求出与的平方，判断出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出它们的大小关系即可．
【解答】解：＝20，＝50，
∵20＜50，
∴＜．
故答案为：＜．
12．请写出一个没有实数根的一元二次方程，结果是 满足b2﹣4ac＜0的一元二次方程即可，如y2+y+1＝0 ．
【分析】由根的判别式Δ＜0，方程无实根，任写一个即可，答案不唯一．
【解答】解：y2+y+1＝0，只要满足b2﹣4ac＜0即可．
13．若x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣2）（x2﹣2）的值为 ．
【分析】由韦达定理得出x1+x2＝7，x1x2＝5，代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2计算可得．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，
∴x1+x2＝7，x1x2＝5，
则则（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4
＝5﹣2×7+4
＝-8，
故答案为：-8．
14．一直角三角形的三边长分别为6，8，x，那么以x为边长的正方形的面积为为 100或28 ．
【分析】以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑．
【解答】解：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2＝36+64＝100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2＝64﹣36＝28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
故答案为：100或28．
三．解答题（本大题共2小题，第15题8分，第16题8分，满分16分）
15．计算：（1）3；（2）．
【分析】（1）先化简，再算加减即可；
（2）（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）3
＝3
＝；
（2）
＝
＝25﹣24
＝1．
16．解方程：x（x﹣2）﹣x+2＝0
【分析】先分解因式，即可得两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣2）﹣x+2＝0，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC＝（x﹣1.2）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣1.2）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x+0.6﹣1.2）m，
故x2＝2.42+（x+0.6﹣1.2）2，5.76﹣1.2x+0.36＝0
解得：x＝5.1，
答：绳索AD的长度是5.1m．
18．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，
（+）（﹣）＝1…
观察上面规律，计算下面的式子+++…+
【分析】根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题．
【解答】解：
＝+…+（）
＝
＝
＝10﹣1
＝9；
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+的值．
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将+变形为，整体代入即可求得．
【解答】解：∵实数a、b满足+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴+＝＝﹣
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝4，求k的值．
【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝16k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，再利用x1﹣x2＝4得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，则36k2﹣4×5k2＝16，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣6k）2﹣4×5k2＝16k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，
∵x1﹣x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36k2﹣4×5k2＝16，
即k2＝1，
解得k1＝1，k2＝﹣1．
故k的值为1或﹣1．
六．解答题（本题12分）
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为×16×8＝32，△PCQ的面积为（16﹣4t）2t，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝（16﹣4t）2t，S△ABC＝×16×8＝32，
∴（16﹣4t）2t＝32×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当S△PCQ＝S△ABC时，
（16﹣4t）2t＝32×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
七．解答题（本题12分）
22．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元？
【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；
（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
，
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
10000＝（﹣10x+1200）（x﹣50），
解得x＝70或100，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%，
∴x≤50×（1+50%），即x≤75，
∴x＝70，
∴售价定为70元可获得利润是10000元．
八．解答题（本题14分）
23．阅读材料：
例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．
解：+＝+．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值为3．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
（3）求出代数式+的最小值．
【分析】（1）先把原式化为+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，5）、点B（6，3）的距离之和，
（3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
【解答】解：（1）∵原式化为+的形式，
∴代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，4）或（2，﹣4）的距离之和，
故答案为（2，4），（2，﹣4）；
（2）∵原式化为+的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，5）、点B（6，3）的距离之和，
故答案为：（0，5），（6，3）．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，5），B（6，3）
∴A′（0，﹣5），A′C＝6，BC＝8，
∴A′B＝10，
∴代数式+的最小值为10．