2021-2022学年北京市华师大一附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷 (1)

这是一份2021-2022学年北京市华师大一附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷 (1)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，4）C．（0，4]D．（﹣1，4]
2．（5分）已知函数f（x）＝2sinx，则的值等于（ ）
A．1B．﹣1C．D．
3．（5分）从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，则不同的选法共有（ ）
A．5B．10C．20D．30
4．（5分）命题“对任意的x＞0，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．∃x0＞0，x3﹣x2+1＞0B．∃x0≤0，x3﹣x2+1＞0
C．∀x0＞0，x3﹣x2+1＞0D．∀x0≤0，x3﹣x2+1＞0
5．（5分）甲、乙2人破译1个密码，若他们能独立译出密码的概率分别为和，则他们至少有1人译出密码的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+bx+c，（a，b，c∈R），若在x＝﹣1和x＝3处取得极值，则a+b＝（ ）
A．6B．﹣6C．2D．﹣2
7．（5分）已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤2）＝0.84，则P（X≤0）＝（ ）
A．0.16B．0.42C．0.5D．0.84
8．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）设变量x与y有如表五组数据：由散点图可知，y与x之间有较好的线性相关关系，已知其线性回归方程是＝﹣0.5x+，则＝（ ）
A．4.4B．4.5C．4.6D．4.7
10．（5分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
11．（5分）函数f（x）＝ax3﹣x在R上为减函数，则（ ）
A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1
12．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）
二、填空题（每题5分，共30分）
13．（5分）若函数f（x）＝，则f′（x）＝ ．
14．（5分）随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）＝ ．
15．（5分）展开式中的常数项是 ，二项式系数之和为 ．
16．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ．
17．（5分）设随机变量X的概率分布为（k＝1，2，3，4，5），则＝ ．
18．（5分）观察下列等式：观察下列等式：
+＝23﹣2，
++＝27+23，
+++＝211﹣25，
++++＝215+27，
…
由以上等式推测到一个一般结论：
对于n∈N*，+++…+＝ ．
三、解答题
19．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的单调区间、最值．
20．（8分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：
（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．
21．（13分）某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛．
（Ⅰ）求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数；
（Ⅱ）求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率；
（Ⅲ）记ξ为抽取的3名队员中男队员人数，求ξ的分布列及数学期望．
22．（12分）已知函数f（x）＝，其中a∈R，a≠1且为常数．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
23．（14分）已知函数f（x）＝1+lnx．
（Ⅰ）求证：f（x）﹣x≤0
（Ⅱ）设k＞0，若f（x）≤kx在区间（0，+∞）内恒成立，求k的最小值．
2021-2022学年北京市华师大一附中朝阳学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，4）C．（0，4]D．（﹣1，4]
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x≤4}，
∴A∩B＝（0，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知函数f（x）＝2sinx，则的值等于（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【分析】根据导数的公式，求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝2sinx，
∴f′（x）＝2csx，
∴＝2cs＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3．（5分）从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，则不同的选法共有（ ）
A．5B．10C．20D．30
【分析】根据组合的定义，求解即可．
【解答】解：从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，则不同的选法共有C＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了组合问题，属于中档题．
4．（5分）命题“对任意的x＞0，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．∃x0＞0，x3﹣x2+1＞0B．∃x0≤0，x3﹣x2+1＞0
C．∀x0＞0，x3﹣x2+1＞0D．∀x0≤0，x3﹣x2+1＞0
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
可知命题“对任意的x＞0，x3﹣x2+1≤0”的否定是”∃x0＞0，x3﹣x2+1＞0“．
故选：A．
【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
5．（5分）甲、乙2人破译1个密码，若他们能独立译出密码的概率分别为和，则他们至少有1人译出密码的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用对立事件的性质以及相互独立事件概率乘法公式求解．
【解答】解：由题意得，密码不能破译的概率为（1﹣）（1﹣）＝，
则他们至少有1人译出密码的概率是1﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
6．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+bx+c，（a，b，c∈R），若在x＝﹣1和x＝3处取得极值，则a+b＝（ ）
A．6B．﹣6C．2D．﹣2
【分析】根据函数的极值的概念得到方程组解出参数值，相加可得结果．
【解答】解：由题可得f′（x）＝3x2﹣2ax+b，
又函数在x＝﹣1和x＝3处极值，
∴，即，
解得，经检验满足题意，
所以a+b＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了利用极值的概念求解参数的值，属于基础题．
7．（5分）已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤2）＝0.84，则P（X≤0）＝（ ）
A．0.16B．0.42C．0.5D．0.84
【分析】利用正态分布的对称性以及参数μ的含义进行分析求解即可．
【解答】解：因为随机变量X～N（1，σ2），则μ＝1，
又P（X≤2）＝0.84，
所以P（X≤0）＝P（X≥2）＝1﹣P（X≤2）＝1﹣0.84＝0.16．
故选：A．
【点评】本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，考查了运算能力，属于基础题．
8．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，求出P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）．
【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，
事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，
则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，
所以P（B|A）＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率的求法，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）设变量x与y有如表五组数据：由散点图可知，y与x之间有较好的线性相关关系，已知其线性回归方程是＝﹣0.5x+，则＝（ ）
A．4.4B．4.5C．4.6D．4.7
【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，推出结果．
【解答】解：＝（1+2+3+4+5）＝3，
＝（4.5+4+2+3+2.5）＝，
线性回归方程是＝﹣0.5x+，
所以＝+0.5×3＝4.7．
故选：D．
【点评】本题考查回归直线的简单性质的应用，是基础题．
10．（5分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】通过观察函数y＝xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．
【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；
∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；
∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；
∴f（x）的大致图象应是B．
故选：B．
【点评】考查观察图象的能力，对于积的不等式xf′（x）≥0，（或xf′（x）≤0）的求解，函数导数符号和函数单调性的关系．
11．（5分）函数f（x）＝ax3﹣x在R上为减函数，则（ ）
A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1
【分析】由题意可得f′（x）＝3ax2﹣1≤0恒成立，由此可得a的范围．
【解答】解：根据函数f（x）＝ax3﹣x在R上为减函数，可得f′（x）＝3ax2﹣1≤0恒成立，
故有a≤0，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，函数的单调性和它的导数的关系，属于基础题．
12．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）
【分析】由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）我们联想到[f（x）g（x）]′，由四个选项，我们很容易想到利用导数研究函数的单调性来解．
【解答】解：令y＝f（x）•g（x），
则y′＝f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x），
由于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
所以y在R上单调递减，
又x＜b，故f（x）g（x）＞f（b）g（b）．
故选：C．
【点评】主要考查利用导数研究函数的单调性问题．本题的突破口是把给定题目转换为我们熟悉的题目，此题比较新颖，是一道好题．
二、填空题（每题5分，共30分）
13．（5分）若函数f（x）＝，则f′（x）＝ ．
【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导即可．
【解答】解：∵，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）＝ ．
【分析】先利用分布列的性质求出p，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可得，，则，
所以E（ξ）＝0×+1×＝，
D（ξ）＝×（0﹣）2+×（1﹣）2＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分布列的性质，数学期望和方差的求解，解题的关键是掌握数学期望和方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
15．（5分）展开式中的常数项是 672 ，二项式系数之和为 512 ．
【分析】先根据二项展开式的通项得到Tr+1＝29﹣rCx，令9﹣＝0求出r＝6，进而求解即可；根据二项式系数之和的定义求解即可．
【解答】解：二项展开式的通项为Tr+1＝C（）r（2x）9﹣r＝29﹣rCx．
令9﹣＝0，解得r＝6，则常数项为T7＝23C＝672．
二项式系数之和为29＝512．
故答案为：672，512．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于中档题．
16．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 16 ．
【分析】数学有特殊要求不在第一节，所以可以从数学入手，数学安排了，再从物理跟数学不相邻，安排物理，物理安排了再安排语文跟化学，最后确定没有要求的英语．
【解答】解：若数学安排在第二节，则由于物理与数学不相邻，语文与化学相邻，所以物理安排在第五节，语文化学从3，4节中各选一节，所以有种；
若数学安排在第三节，物理只能为第一或第五，若物理第一节则语文化学从4，5节选有，若物理第五节，则语文化学1，2节选，有；
若数学安排在第四节，则物理只能在1，语文化学2，3节选，有种；
若数学在第五节，则物理应从3，2，1节选，若物理为3，则语文化学从1，2节中各选一节，所以有种，若物理为2，则语文化学从3，4节中各选一节，所以有种，若物理为1，则语文化学从2，3节中或3，4节中各选一节，所以有2种，所有情况安排好数学，物理，语文化学后，剩余的那节为英语，所以有＝16．
故答案为：16．
【点评】本题对数学物理语文化学有要求，所以从有要求的科目入手进行分类，难度不大．
17．（5分）设随机变量X的概率分布为（k＝1，2，3，4，5），则＝ ．
【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1即可求得m值，即可求解．
【解答】解：∵随机变量X的概率分布为（k＝1，2，3，4，5），
∴P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝m（++++）＝1，
解得：m＝，
∴＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（+）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
18．（5分）观察下列等式：观察下列等式：
+＝23﹣2，
++＝27+23，
+++＝211﹣25，
++++＝215+27，
…
由以上等式推测到一个一般结论：
对于n∈N*，+++…+＝ 24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1 ．
【分析】通过观察类比推理方法结论由二项构成，第二项前有（﹣1）n，二项指数分别为24n﹣1，22n﹣1
【解答】解：结论由二项构成，第二项前有（﹣1）n，二项指数分别为24n﹣1，22n﹣1，
因此对于n∈N*，C4n+11+C4n+15+C4n+19+…+C4n+14n+1＝24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1．
故答案为 24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1
【点评】本题考查观察、类比、归纳的能力．
三、解答题
19．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的单调区间、最值．
【分析】（Ⅰ）首先求得导函数的解析式，然后利用导数的几何意义求解函数的切线方程即可；
（Ⅱ）首先求得导函数的解析式，然后由导函数的解析式讨论原函数的单调性，进一步可得函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）由函数的解析式可得f'（x）＝x2﹣2x，
则，
故函数在点（1，f（1））处的切线方程为，即．
（Ⅱ）由函数的解析式可得f'（x）＝x2﹣2x，
当x∈（﹣2，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
故函数的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（0，2），
由于，
故函数在区间[﹣2，2]上的最大值为1，最小值为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数的最值，导数的几何意义等知识，属于基础题．
20．（8分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：
（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，能估计结果为阳性的概率．
（Ⅱ）由题意，可知X～B（3，），由此能求出X的分布列和E（X）．
（Ⅲ）如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，结果为阳性的人数为99000×+1000×＝1940，其中患者人数为950，由此能求出此人患该疾病的概率未超过0.5．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，
结果为阳性的概率估计为P＝．
（Ⅱ）由题意，可知X～B（3，），
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
E（X）＝．
（Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．
理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，
那么结果为阳性的人数为99000×+1000×＝1940，其中患者人数为950，
若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，
∴此人患该疾病的概率未超过0.5．
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（13分）某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛．
（Ⅰ）求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数；
（Ⅱ）求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率；
（Ⅲ）记ξ为抽取的3名队员中男队员人数，求ξ的分布列及数学期望．
【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义按照比例抽取即可．
（Ⅱ）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件A，利用超几何分布求得概率
（Ⅲ）写出随机变量ξ的所有情况，根据超几何分布写出各自概率求得分布列期望．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）抽取乒乓球队员的人数为人；
羽毛球队员的人数为人．…..（2分）
（Ⅱ）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件A，
则，
所以从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率为．…..（6分）
（Ⅲ）ξ＝0，1，2，3
P（ξ＝0）＝
P（ξ＝1）＝
P（ξ＝2）＝，
P（ξ＝3）＝．
ξ的分布列为
∴Eξ＝．…（13分）
【点评】本题主要考查超几何分布的应用和随机变量的分布列期望，属中档题型，高考常考题型．
22．（12分）已知函数f（x）＝，其中a∈R，a≠1且为常数．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）由题意首先求得函数的导数，然后讨论函数的单调性即可确定函数的极值；
（Ⅱ）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数对解析式进行讨论即可确定函数的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，，，
由于函数的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故函数的极小值为f（1）＝0，函数没有极大值．
（Ⅱ）由函数的解析式可得，
由于函数的定义域为（0，+∞），
若a＜1，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
若1＜a＜2，当x∈（0，a﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（a﹣1，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
若a＝2，f'（x）＞0恒成立，函数的单调递增区间为（0，+∞）；
若a＞2，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，a﹣1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
综上可得：
若a＜1，函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
若1＜a＜2，函数的单调递增区间为：（0，a﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为：（a﹣1，1）；
若a＝2，函数的单调递增区间为：（0，+∞），函数没有单调递减区间；
若a＞2，函数的单调递增区间为：（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间为：（1，a﹣1）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．
23．（14分）已知函数f（x）＝1+lnx．
（Ⅰ）求证：f（x）﹣x≤0
（Ⅱ）设k＞0，若f（x）≤kx在区间（0，+∞）内恒成立，求k的最小值．
【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）＝f（x）﹣x，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可．
（Ⅱ）设k＞0，利用函数的导数，在区间（0，+∞）求解函数的最值，推出k的最小值．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）＝1+lnx．所以f（x）﹣x＝1+lnx﹣x，
令g（x）＝1+lnx﹣x，
可得g′（x）＝，令＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数是减函数，所以x＝1时，函数取得最大值：1+ln1﹣1＝0，
所以g（x）≤g（1）＝0，
即f（x）﹣x≤0．
（Ⅱ）解：设k＞0，若f（x）≤kx在区间（0，+∞）内恒成立，
即：k≥，令h（x）＝，
可得h′（x）＝＝，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，函数是减函数，所以x＝1时，函数取得最大值：＝1，
可得k≥1，
k的最小值为1．
【点评】本题考查函数导数的应用，构造法的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
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