中考数学一轮复习 题型举一反三 专题23 图形的相似与位似【十四大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27365" 【题型1 利用比例的性质求值】 PAGEREF _Tc27365 \h 4
\l "_Tc17003" 【题型2 黄金分割】 PAGEREF _Tc17003 \h 5
\l "_Tc15861" 【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】 PAGEREF _Tc15861 \h 9
\l "_Tc28976" 【题型4 平行线分线段成比例（A型）】 PAGEREF _Tc28976 \h 12
\l "_Tc8553" 【题型5 平行线分线段成比例（X型）】 PAGEREF _Tc8553 \h 16
\l "_Tc16566" 【题型6 平行线分线段成比例（AX型）】 PAGEREF _Tc16566 \h 19
\l "_Tc27092" 【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】 PAGEREF _Tc27092 \h 22
\l "_Tc21659" 【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】 PAGEREF _Tc21659 \h 27
\l "_Tc12371" 【题型9 相似多边形的性质】 PAGEREF _Tc12371 \h 34
\l "_Tc7601" 【题型10 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 PAGEREF _Tc7601 \h 39
\l "_Tc5617" 【题型11 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc5617 \h 44
\l "_Tc26200" 【题型12 求位似图形的线段长度】 PAGEREF _Tc26200 \h 47
\l "_Tc6945" 【题型13 坐标系中求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc6945 \h 50
\l "_Tc22136" 【题型14 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc22136 \h 53
【知识点 图形的相似与位似】
1.比例线段的概念与性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项.
【解题思路】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成.
比例的性质：
1）基本性质：
2）变形： 核心内容：
3）合、分比性质：
【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：
4）等比性质：如果， 那么.
【补充】根据等比的性质可推出，如果，则.
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为：
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
2.相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3.位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
【题型1 利用比例的性质求值】
【例1】（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填
【答案】
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）若，则 ．
【答案】1
【分析】根据比例的性质解答即可．
【详解】解： ，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．
【变式1-2】（2023·湖南岳阳·校考一模）已知，且，则的值为 ．
【答案】4
【分析】设，再用k表示x、y、z，代入方程求出k后，再求x即可．
【详解】解：设，
则，，，
那么，
解得，，
则．
故答案为：4
【点睛】本题考查了比例的性质，解答关键是用k表示x、y、z，构造方程求解．
【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可设 ，利用等比性质可得的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到个等式，联立可得用x表示y、z，相比即可．
【详解】解：设 ，▲为，●为，◆为，
∴，
∴，
∴，
∴▲，●，◆这三种物体的重量比为．
故选：B．
【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．
【题型2 黄金分割】
【例2】（2023·广东云浮·统考一模）如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证，再证，得则，则点D是的黄金分割点，求出的长，即可求解．
【详解】解：，
，
由题意得：平分，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是的黄金分割点，，
，，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点是线段的黄金分割点，且，
∴，
故选：A．
【变式2-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
【答案】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，从而可得，再根据黄金分割的定义可得，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而证明A字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，

由折叠得：，，
∴，
∵点M为的黄金分割点（），
∴，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是半的内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】
【例3】（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A．直线是的垂直平分线B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【变式3-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为边的中点，
∴.
∴
∴, .
∴.
∵，
∴.
∴.
所以，正确，错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，中，D是边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（ ）.

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴选项A、B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，连接、，它们相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出，，证出，，，得出对应边成比例，，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，
，，
选项A、B、D正确，C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【题型4 平行线分线段成比例（A型）】
【例4】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（ ）

A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．
【变式4-1】（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在中，点分别在上，连接，，，，，则的长为（ ）

A．1.5B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【变式4-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则洒在地面上光线的宽度为 （参考数据，结果精确到0.1）．

【答案】
【分析】设交于点，解，求得，然后求得，根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解：如图所示，

设交于点，
依题意，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式4-3】（2023·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为，宽为的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边= ．

【答案】/
【分析】如图，设，则，利用平行线分线段成比例得到y与x之间的关系，构建方程求解即可．
【详解】如图，设则，
∵，
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴，
∴较长直角边为
故答案为：．

【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．
【题型5 平行线分线段成比例（X型）】
【例5】（2023·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形的边上一点，射线交的延长线于点E，已知，，求的长（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例结合已知条件可知CP=2=BC，在根据勾股定理求出BC即可；
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
又∵；
∴；
又∵；
∴CP=2；
在Rt△BCP中，，由勾股定理得：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及勾股定理，利用平行线分线段成比例求得CF=2是解题的关键．
【变式5-1】（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
【变式5-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关键．
【变式5-3】（2023·重庆渝中·统考一模）已知，点E是延长线上一点，与，分别相交于点G，F．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得，，再根据平行线分线段成比例定理得到，，等量代换得，然后根据比例的性质即可得到结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】
【例6】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，G为ABC的重心，AG=12，则AD= ．
【答案】18
【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时△ABC的中位线，从而可以得到DE∥AC且DE=AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∵AG=12，
∴DG=6，
∴AD=AG+GD=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式6-1】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，交于点E．若，周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得，，，证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵的周长等于10，
∴，
∴，
∴，
∴的周长；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键．
【变式6-2】（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在 中，，是边的中点，是 内一点，且 连接并延长，交于点若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，再得到的长，进而得出的长．
【详解】解：是边的中点，且，
∴中，，
，，是边的中点，
是的中点，
可得，
，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【变式6-3】（2023·山东聊城·统考二模）如图，在正方形中，按如下步骤作图：①连接，相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接交于点F；④连接交于点G．若，则的长度为（ ）

A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】证明，，求出，然后根据三角形的中位线和平行线分线段成比例可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
由作图可知垂直平分线段，
∴，又，
∴，，
∴，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】
【例7】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）中，，D、E分别是、上的点，，，，，则的值是 ．

【答案】
【分析】过B作的平行线交的延长线于点M，过E作，由平行线分线段成比例可得，进而求得，由勾股定理可得，再证，得，求得，由勾股定理可得，由即可求解．
【详解】解：过B作的平行线交的延长线于点M，过E作，

∵，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形以及三角形相似，关键是构造直角三角形并能将更多的已知线段集中．
【变式7-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点；
则；
而，，
；
为边的中点，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．
【变式7-2】（2023·安徽宿州·校考一模）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点，

，．
是的中点，
，
，
．
，
．
平分，
．
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
【变式7-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在中，，，，是边上中线，则线段 ．

【答案】4.5
【分析】首先过点作，交于，连接，易证得，又由，根据比例线段的性质，即可求得，继而求得答案．
【详解】解：过点作，交于，连接，

，
，
是边上中线，
，
，
又，
，
又，
，
．
∵，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4.5．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．注意正确的作出辅助线是解题的关键．
【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】
【例8】（2023·浙江·一模）如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（ ）

A．B．C．5D．6
【答案】D
【分析】过C作延长线于M，根据，设，由菱形的性质表示出，由平行线分线段成比例表示出，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：过C作延长线于M，

∵，
∴设，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得或（舍去），
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．
【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在中，，于点，点在上，，，N为的中点，G为的中点，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】如图：过N作，过G作，过N作，则四边形是矩形；再说明是等腰三角形可得；然后再证可得；再根据正切的定义结合可得；根据平行线分线段成比例定理可得、是和的中位线，再根据三角形中位线定理可得、、，进而可得，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：过N作，过G作，过N作，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴是等腰三角形，
∴，
在和中，
∴
∴
∵，
∴设，则，
∴，解得：
∴,
∵，
∴，
∴，，
∵N为的中点，G为的中点，
∴，，
∴为的中位线
∴,,,
∴
∴
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、正切的定义等知识点，正切作出辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键．
【变式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如图，中，，，，将绕点C逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，射线分别交于点F，M，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】1或
【分析】分两种情况讨论，当时，得到，求得，在中，利用勾股定理求解；当时，则，作于N，设，在中，利用勾股定理求得，由，利用平行线分线段成比例定理，计算即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，，，，，
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
当时，则，作于N，
∵，
由旋转的性质得，，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，即，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上，的长为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式8-3】（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，点是内部一点，且，，点在上，连接并延长交于点，若，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设，，由此可证是等腰直角三角形，是等腰三角形，根据，平行分线段成比例的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设，，

∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即是等腰三角形，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质、平行线分线段成比例的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
【题型9 相似多边形的性质】
【例9】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为．
如图，连接、，则，．
在与中，
，
，
，，．
在与中，
，
，
，，，
，，，，
又 ，
四边形四边形．
故选：D．
【变式9-1】（2023·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2B．S1+S3C．S4﹣S2D．S3+S4
【答案】B
【分析】作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，得出CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，由▱ABCD∽▱EFGH，得出＝＝，设＝＝＝a，则EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，求出S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH＝（1﹣a2）AB•CK，S1+S3＝（1﹣a2）AB•CK，即可得出结果．
【详解】
解：作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，
∵四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形，AB∥EF，
∴CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，
∵▱ABCD∽▱EFGH，
∴＝＝，
设 ，
∵AB＝CD，EF＝HG，
∴EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，
S1＝（EF+AB）MF＝（a+1）AB•MF，
S3＝（GH+CD）HJ＝（a+1）AB•HJ，
S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH＝AB•CK﹣EF•GN＝（AB•CK﹣a•AB•a•CK）＝（1﹣a2）AB•CK，
S1+S3＝（a+1）AB•MF+（a+1）AB•HJ＝（a+1）AB（MF+HJ）＝（a+1）AB（CK﹣GN）＝（a+1）AB（1﹣a）CK＝（1﹣a2）AB•CK，
∴S1+S3＝S平行四边形ABCD﹣S平行四边形EFGH；
故选B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、平行四边形的性质、梯形面积与三角形面积以及平行四边形面积的计算等知识；通过作辅助线得出大平行四边形AB边与小平行四边形EF边上高的差等于S1、S2的高的和是解决问题的关键．
【变式9-2】（2023·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
【变式9-3】（2023·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
【详解】解：∵6：2=3：1，
∴三个矩形的长宽比为3：1，
甲方案：如图1所示，
3a+3b=6，
∴a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，
a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，
矩形①的长为2，则宽为2÷3=；
则矩形②的长为6-=，宽为÷3=；
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=；
∵16，
∴周长和的最大值为；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】
【例10】（2023·安徽芜湖·统考一模）如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标．

(1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的；
(2)点A的对应点D的坐标是 ；
(3) ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查位似的知识，掌握位似的定义，性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（1）位似中心为点O，根据位似比，连接并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解；
（2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解；
（3）由题意可知相似比为，可求出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）如图所示， 即为所求；

（2）点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）由题可得，
，
又∵位似比为，
，
，
故答案为:．
【变式10-1】（2023·广西防城港·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单位长度，已知\的顶点坐标为．

(1)画出沿着x轴向右平移5个单位长度得到的；
(2)以原点O为位似中心，将缩小为原来的，请在位似中心同侧画出缩小后的．
(3)直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）直接利用平移的性质得出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用位似图形的性质得出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据（1）（2）所求得到的坐标，利用勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所求．
（2）解：如图所示，为所求．

（3）解：由（1）（2）可知，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和位似，勾股定理，正确找到对应点的位置是解题的关键．
【变式10-2】（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点为对称中心，画出关于原点成中心对称的图形（其中与，与，与是对应点）；
(2)以点为位似中心，将放大2倍得到（其中与，与，与是对应点），且写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，图见解析
【分析】（1）先确定点关于原点对称的对应点，再连线即可得到；
（2）根据位似比确定的位置，再连线即可得到，写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如上图，就是所画的图形；
点的坐标为．
【点睛】本题考查作中心对称图形以及位似图形．熟练掌握成中心对称图形的特征，以及位似图形的定义和性质，是解题的关键．
【变式10-3】（2023·广西桂林·统考一模）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为；
(3)直接写出点，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标是原来相反数的性质找出对应点，再一次连接即可；
（2）根据位似变换的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比为相似比，找出对应点即可，再一次连接即可；
（3）根据关于y轴对称的点的特征，即可写出的坐标，根据位似图形的性质，即可写出的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵与位似，且位似比为
∴，
∴．
综上：，．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用位似变换作图，根据网络结构的特点，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【题型11 求位似图形的坐标】
【例11】（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作轴，轴，如图，利用相似三角形的性质求得和的长度，进而即可求解．
【详解】解：作轴，轴，如图

∵， ， ，
∴，，，
∴，，
∵由题意可得：
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴点A坐标为
故选：C
【点睛】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
【变式11-1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式11-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．

【答案】或/或
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，，
当在第一象限时，点的坐标为，即；
当在第三象限时，点的坐标为，即；
综上可知，点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．
【变式11-3】（2023·江苏盐城·统考二模）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为 ．

【答案】
【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．
【详解】如下图．

把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为，点以原点O为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为，将点按位似比缩小，得到点，把点 向上平移1个单位得到点．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了位似变换中对应点坐标问题，利用平移规律将位似中心移到原点是解题关键．
【题型12 求位似图形的线段长度】
【例12】（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算得到答案．掌握位似图形是相似图形以及相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
，
，，
，，
与的相似比为，
，
，
，
故选：B．
【变式12-1】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在中，，，，以点为位似中心，将缩小为原图形的，得到，则的长度是（ ）

A．2B．3C．2.5D．3.5
【答案】A
【分析】直接利用勾股定理求得的长度，然后利用位似图形的性质以及结合缩小为原图形的，即可得出答案．
【详解】在中，，，，
则：，
将缩小为原图形的，得到，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了位似变换和勾股定理，正确把握位似图形的性质时解题关键．
【变式12-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），
∴AB＝2，BC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝，
∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，
∴线段DF的长度为AC＝，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
【变式12-3】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则边的长为 ．
【答案】/
【分析】过点A作轴于H，根据勾股定理求出，根据位似即可得出结果．
【详解】解：过点A作轴于H，
∵，，
∴，，
由勾股定理得：，
∵与位似，且位似比为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，位似图形的性质，根据勾股定理和位似比计算边长是解题的关键．
【题型13 求位似图形的周长】
【例13】（2023·山东菏泽·统考三模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：与是位似图形，点O为位似中心，
且，
，
，
又，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关性质是解题的关键．
【变式13-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（ ）

A．10B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形
∴
的周长为15，
故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
【变式13-2】（2023·重庆南岸·统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 ，得，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
【详解】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，，
∴，
正方形ODEF与正方形OABC的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或．
【变式13-3】（2023·重庆荣昌·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，，，以原点为位似中心，在矩形的内部画矩形，使矩形与矩形成位似图形，且相似比为2：1，则矩形的周长为（ ）
A．20B．15C．10D．
【答案】C
【分析】根据题意可求出矩形ABCD的周长，再根据相似比即可求出矩形EFGH的周长．
【详解】根据题意可知AB=CD=4，AD=BC=6，
∴矩形ABCD的周长为．
∵矩形ABCD和矩形EFGH位似，且相似比为2：1．
∴矩形ABCD的周长：矩形EFGH的周长=2：1．
∴矩形EFGH的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查位似的性质．掌握位似图形的相似比等于其周长比是解答本题的关键．
【题型14 求位似图形的面积】
【例14】（2023·广东佛山·校联考三模）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）

A．3B．6C．9D．18
【答案】D
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
【详解】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
，
四边形的面积是2，
四边形的面积是18，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．
【变式14-1】（2023上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，以点A为位似中心，把按相似比放大得到，若的面积为6，则的面积为 ．

【答案】36
【分析】本题考查了位似变换的性质，三角形面积计算；由位似变化的得和，再由即可求解；掌握位似变换的性质“面积比等于相似比的平方”，将所求三角形的面积化为是解题的关键．
【详解】解：按相似比放大得到，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【变式14-2】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解．
【详解】解：点是的重心，
，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
∽，，
∽，
，
同理可得，
与的面积之比为，
故选：C．
【点睛】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【变式14-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，，若△ABC的面积是1，则△DEC的面积是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，，
∴
∵△ABC的面积是1，
∴△DEC的面积是9
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．