中考数学一轮复习 题型举一反三 专题13 一次函数的应用【十大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24631" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc24631 \h 1
\l "_Tc16721" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc16721 \h 7
\l "_Tc5296" 【题型3 最大利润问题】 PAGEREF _Tc5296 \h 12
\l "_Tc8893" 【题型4 分配问题】 PAGEREF _Tc8893 \h 17
\l "_Tc23437" 【题型5 分段计费问题】 PAGEREF _Tc23437 \h 22
\l "_Tc21989" 【题型6 调运问题】 PAGEREF _Tc21989 \h 28
\l "_Tc20338" 【题型7 计时问题】 PAGEREF _Tc20338 \h 32
\l "_Tc25661" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc25661 \h 38
\l "_Tc12281" 【题型9 体积问题】 PAGEREF _Tc12281 \h 46
\l "_Tc17181" 【题型10 现实生活问题】 PAGEREF _Tc17181 \h 50
【知识点 一次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 行程问题】
【例1】（2023·江苏·统考中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．

(1)请解释图中点的实际意义；
(2)求出图中线段所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
(2)
(3)小时
【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为，
此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，
∴
设直线的表达式为
∴
解得：
∴直线的表达式为
（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，
解得：
∴甲乙两地的距离为千米，
设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，
解得：，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，
∴，解得：，
∴；
当时：，解得：，
∴；
（2）由图象可知，军车的速度为：，
∴军车到达仓库所用时间为：，
从仓库到达基地所用时间为：，
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)（）
(3)分钟，分钟，6分钟
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为，
∵过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴，
解得：，
∴直线FG的解析式为：，
自变量x的取值范围是；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：或6，
答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止，已知P、Q两地相距，设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的距离为，表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：

(1)由图象可知，甲比乙晚出发______h．图中线段BC所在直线的函数解折式为 ．
(2)设甲的速度为，求出的值．
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）．
【答案】(1)1；
(2)
(3)见解析
【分析】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发得出甲比乙迟出发，然后设线段BC所在直线的函数解析式为代入B、C的坐标求解析式即可；
（2）设乙的速度为，根据时间×速度=距离，列出方程组求解即可；
（3）根据（2）求得的速度，算出甲没出发前甲乙的距离、乙到达终点时甲乙相距最远的时间和距离、乙最后到达终点使用的时间，把这些数据补全到图中即可.
【详解】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发，
∴甲比乙迟出发；
设线段所在直线的函数解析式为
代入点
得：
解得：
∴线段BC所在直线的函数解析式为：；
（2）设乙的速度为，
由题意得：，
解得，
∴ ；
（3）根据（2）可知甲的速度为，乙的速度为
∴甲没出发前，乙开了
∴总共用时为：
当甲到达终点时甲乙两人相距最远，
此时甲乙两人相距最远的距离为：
将上面的数据标记到图上，如下图所示：

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，找出题中的等量关系是关键.
【题型2 工程问题】
【例2】（2023·四川成都·一模）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．
【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得
16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
20-x=20-8=12．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
根据题意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∴a=5，6，7，8，共有4种方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小．
答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地．
【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2-2】（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)
(3)10天
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
（3）解：甲组每天挖（米）
甲乙合作每天挖（米）
∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米）
设乙组己停工的天数为a，
则，
解得，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
【变式2-3】（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调研发现：甲种花卉种植费用（元/）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用（元）最少？
【答案】(1)
(2)甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少为5625元
【分析】（1）根据题意分当时和当时，分别求解即可得到解答；
（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，根据题意求出a的范围，再结合题意分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，设，
把代入得：，
解得，
∴，
∴；
（2）解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ ，
解得，
当时，
，
∵，
∴当时，w最小，最小为（元），
当时，
，
∵，对称轴为直线，且，
∴时，w取最小值，最小为（元），
∵，
∴当时，w取最小值，最小为5625元，
此时，
答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少为5625元．
【题型3 最大利润问题】
【例3】（2023·山东青岛·统考中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；
（2）①根据条件，可列，整理即可；
②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
全部售完获利（元）．
（2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即，
，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，，
，一次函数随的增大而减小，
当时，取最大值，（元），
，
服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
【变式3-1】（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
【变式3-2】（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
(2)某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件
(3)购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，解得，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，
，
解得，
∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件，
时，，即豆干购进件，则豆笋购进件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则
（且n为整数），
∵，
当时，W随n的增大而减小，
∴当时，W取最大值，为．
此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
【变式3-3】（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可；
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：，
解得；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，
∴当时，
；
当时，
；
综上所述，；
（3）当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，
∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，
∴解得．
∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
【题型4 分配问题】
【例4】（2023·湖南永州·校考二模）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒液，则一共需要220元；若购买1桶甲消毒液和3桶乙消毒液，则一共需要190元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
【答案】(1)每桶甲消毒液元，每桶乙消毒液元
(2)购买甲消毒液桶，乙消毒液为桶；最少费用为元
【分析】（1）等量关系式：购买桶甲消毒液的费用购买桶乙消毒液的费用 元；购买桶甲消毒液的费用购买桶乙消毒液的费用 元；据此列方程组，即可求解．
（2）不等关系式：购买甲消毒液的数量 购买乙消毒液的数量，购买甲消毒液的费用购买乙消毒液的费用，列出不等式及一次函数，再由一次函数的增减性，即可求解．
【详解】（1）解：设每桶甲消毒液元，每桶乙消毒液元，由题意得
，
解得：，
答：每桶甲消毒液元，每桶乙消毒液元．
（2）解：由题意得：
购买乙消毒液为（）桶，则有
，
解得：，
，且为整数，
，且为整数，
，
当时，最小，
（元），
（桶）；
答：购买甲消毒液桶，乙消毒液为桶；最少费用为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出等量关系、不等关系式列出相应的方程组、一次函数、不等式，会根据一次函数的增减性求最值是解题的关键．
【变式4-1】（2023·浙江湖州·统考一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元；
(2)；
(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；
【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为： （元），
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）由题意得：，
即w与m的函数关系式为；
（3）由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式4-2】（2023·河南周口·校联考三模）某园区准备进行二次绿化，计划购进A，B两种绿化树，经调查可知购进5棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元．
(1)求A，B两种绿化树每棵的价格；
(2)若最终决定购买A，B两种绿化树共24棵，且A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】(1)A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元
(2)购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元
【分析】（1）设A种绿化树每棵的价格为元，B种绿化树每棵的价格为元，根据两种购数方法：购进5棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元，可列二元一次方程，解答即可；
（2）设购买A种绿化树的数量为棵，则购买B种绿化树的数量为棵，根据A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，列出不等式，解之，再设购买绿化树的总费用为元，得到关于的一次函数，利用一次函数的性质，即可得到费用最低的购买方案．
【详解】（1）解：设A种绿化树每棵的价格为元，B种绿化树每棵的价格为元，根据题意，得，解得
答：A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元．
（2）解：设购买A种绿化树的数量为棵，则购买B种绿化树的数量为棵，
由题意得，
解得．
设购买绿化树的总费用为元，
由题意得．
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，（元）．
此时B种绿化树的数量为（棵）．
答：购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元．
【点睛】本题考查了二元一次的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，熟练找出等量关系和不等关系是解题的关键．
【变式4-3】（2023·黑龙江鸡西·统考二模）针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产品共箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；
(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过元，且不低于元，求符合生产条件的生产方案有哪几种；
(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？
【答案】(1)甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克
(2)符合生产条件的生产方案有3种．方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41箱，B产品39箱；方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
(3)应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本为元
【分析】（1）设甲种材料的单价为元/千克，乙种材料的单价为元/千克．根据“购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．”列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）求出生产1箱A产品所需材料费和生产1箱B产品所需材料费，设生产A产品箱，则生产B产品箱．依题意得到关于m的不等式组，求出不等式组的整数解，写出方案即可；
（3）设生产这80箱产品的成本为元，根据题意得到的一次函数表达式，根据一次函数的性质结合（2）中的方案得到答案．
【详解】（1）设甲种材料的单价为元/千克，乙种材料的单价为元/千克．
依题意，得
解得，
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为（元），
生产1箱B产品所需材料费为（元）．
设生产A产品箱，则生产B产品箱．
依题意，得
解得．
又为整数，
∴可以取40，41，42．
∴符合生产条件的生产方案有3种．
方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；
方案二：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为元．
根据题意，得．
∵，
∴随的增大而减小．
∴当时，取得最小值，最小值为（元）．
答：应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本为12340元．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，读懂题意，正确列出一元一次不等式组和一次函数是解题的关键．
【题型5 分段计费问题】
【例5】（2023·吉林白山·校联考一模）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50×=30（元），
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴，
解得，
即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，
即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解题关键．
【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示．
(1)当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是元．
当时，设y与x之间的函数关系式为，
由函数图象过点，
得解得
故当行驶里程超过时，y与x之间的函数关系式为．
（2）解：，
令，即，解得．
答：这位乘客乘车的里程是．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
【变式5-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
【答案】(1)a的值为0.1
(2)
(3)中位数和众数分别是112元、151元
【分析】（1）根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；
（2）根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；
（3）先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可．
【详解】（1）由题意得，，解得，
即a的值为0.1；
（2）当，；
当，；
当 ，
综上，y与x的函数关系式为；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为（元）；
20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
【变式5-3】（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）据悉，上海市发改委拟于今年月日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图，射线、射线分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费元与每户每月的用水量立方米之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元；方案二如图表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为：：精确到元．
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图中的值和射线所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是立方米，请分别写出三种情况下现行的、方案一和方案二该月的水费用的代数式表示；
(4)小明家最近个月来的每月用水量的频数分布直方图如图所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由．
【答案】(1)每立方米元
(2)，
(3)现行的：；方案一：；方案二：当，；当，；当时，
(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元先得出现行的用水价，即可再求得m的值，设射线所对应的函数解析式为，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1），
故现行的用水价是每立方米元；
（2），
，
设射线所对应的函数解析式为 ，
则，
，
；
（3）现行的：；
方案一：；
方案二：第一、二、三级的用水价格之比为：：，
，
当，；
当，；
当时，；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量： ，
当时，水价为元，此时方案一的水价为元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
【题型6 调运问题】
【例6】（2023·黑龙江·校联考一模）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从调往甲地台挖掘机，两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资万元．
(1)用含的代数式填写下表：
(2)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？
【答案】(1)
(2)
(3)两种；从省往甲地调运27台，往乙地调运1台，从省往甲地调运0台，往乙地调运24台．
【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及两省挖掘机台数用未知数表示出分配方案；
（2）利用就可以表示出省，省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，得到函数解析式；
（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：从调往甲地台挖掘机，甲地需要27台，则从省调台到甲地；因为省共28台挖掘机，已经调往甲地台挖掘机，则还剩台调往乙地，乙地需要25台，已经从省调台到乙地，省共24台挖掘机，从省调台到甲地后还剩台调往乙地，
故答案为：．
（2）解：由题意得：
即：，
故与之间的函数关系式为：．
（3）解：依题意得：
解得：
又且为整数，
或27，
要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：
方案一：从省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从省往甲地调运1台，往乙地调运23台，
方案二：从省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从省往甲地调运0台，往乙地调运24台，
调运方案二的总耗资最少．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用及调运方案问题，根据已知表示出从省调台到甲地后还剩台调往乙地是解题关键．
【变式6-1】（2023·河南南阳·校联考三模）进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：
(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；
(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式．
【答案】(1)甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
(2)．
【分析】（1）根据3辆甲种货车与2辆乙种货车分别装满共运输24吨物资，2辆甲种货车与5辆乙种货车分别装满共运输38吨物资，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种货车每次装满分别能运输多少吨物资；
（2）甲种货车m辆，则乙种货车辆，即可可以写出w与m之间的函数关系式．
【详解】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资，
依题意得，
解得，，
答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
（2）解：甲种货车m辆，则乙种货车辆，
，
即w与m之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和一次函数关系式．
【变式6-2】（2023·湖北武汉·统考二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值．
【答案】(1)，，
(2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的数量关系填空即可；
（2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可；
（3）列出总费用函数关系式，对m的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可．
【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台；
故答案为：，，
（2）解：设运输费为y百元，依题意得
，
∵，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
；；
∴．
∴当时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：
．
当时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当时，，y随x的增加而增加，当时，运费最低（百元）；
当时，，y随x增加而减小，当时，运费最低=9万7千元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式，掌握并能运用一次函数的性质．
【变式6-3】（2023·广东广州·模拟预测）6月份以来，猪肉价格一路上涨，为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆，10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输分别是18辆、10辆．已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别为200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别为300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别为400元和500元．若从A、B两市都派x辆车到D市，当这28辆运输车全部派出时，
(1)求总运费W（元）与x（辆）之间的关系式，并写出x的取值范围；
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案．
【答案】(1)W＝－800x+17200， 5≤x≤9；
(2)A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆
【分析】（1）根据题意可得，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－2x）辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，再利用总运费=各路运费之和，即可得出可得出结论；
（2）由（1）中函数关系式和—次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－2x）辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，
则W＝200x+800（10－x）+300x+700（10－x）+400（18－2x）+500（2x－10）
＝－800x+17200，
∵ 10－x≥0，18－2x≥0，2x－10≥0
∴ x≤10 ， x≤9， x≥5 ．
∴ 5≤x≤9．
（2）由（1） W＝－800x+17200，
∵ －800＜0，
∴W随x增大而减小，
∴当x最大＝9时
W最低＝－800×9+17200
＝－7200+17200
＝10000，
∴10－x＝10－9＝1 ，，2x－10＝8，
∴总运费W最低时，A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意表示出总运费是解题的关键．
【题型7 计时问题】
【例7】（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒与流入时间秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒，当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量粒与流入时间（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
【答案】(1)
(2)秒
【分析】（1）设一次函数的解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式．
将和分别代入．得
解得．
∴．
（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴．
即，解得．
∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
【变式7-1】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用（小时）表示漏水时间，（厘米）表示壶底到水面的高度，是的一次函数．某次计时过程中，如表记录了四组数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ）
A．第1组B．第2组C．第3组D．第4组
【答案】B
【分析】设，将，代入求出，再将，代入解析式可得：第一组数据或第二组数据错误，故将，代入可得解析式为：，再将第一组数据或第二组数据代入即可求出答案．
【详解】解：∵是的一次函数，故设，
将，代入可得：，解得：，
此时函数解析式为：，
将代入解析式可得：，
将代入解析式可得：，
∴可得出是第一组数据或第二组数据错误，
将，代入可得：，解得：，
∴函数解析式为：，
将代入解析式可得：，
将代入解析式可得：，
∴第二组数据错误．
故选：B
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是判断出第一组数据或第二组数据错误．
【变式7-2】（2023·广东深圳·校联考二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【答案】(1)作图见解析
(2)在同一直线上．函数表达式为：
(3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．
（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．
（3）根据（2）中的表达式可求出当时，精密电子秤的读数．
（4）根据（2）中的表达式可求出当时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间．
【详解】（1）解：如图所示
（2）
解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：
将点，代入解析式中可得
解得
函数表达式为：
（3）解：由（2）可知函数表达式为：
当时，
漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．
（4）解：由（2）可知函数表达式为：
当时，
起始时间是上午7:30
经过11小时的漏沙时间为下午6:30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．
【变式7-3】（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位、时间的数据，得到表格．
为了描述水位与时间的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位与时间满足一次函数关系式，设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令，求解t值即可．
【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位与时间满足一次函数关系式．
设水位与时间的一次函数关系式为，
代入表中任意两组数据得：
，
解得：，
，
∴水位与时间的一次函数关系式为；
画出的函数图像如下：

（2）由（1）可知，水位与时间的一次函数关系式为，
当时，
解得：．
答：当水位h为时，对应的时间为．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
【题型8 几何问题】
【例8】（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，
即；
过点D作轴于点G，

直线与x轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式8-1】（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案．
【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：

绕点逆时针旋转的对应点为，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
设直线解析式为，将，，，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标．
【变式8-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形在平面直角坐标系如图所示，，，点、分别是、上的动点，点、分别从A、同时出发，沿、方向，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点、运动，当运动 秒时，；当时，直线的解析式为 ．

【答案】 6
【分析】首先设当运动秒时，，由此得，，，再根据得和相似，根据相似三角形的性质可求出的值，当时，，则有，再列方程求出的值，然后再求出点与点的坐标，最后根据待定系数法可求出直线的解析式．
【详解】解：设当运动秒时，，
依题意得：，，
四边形为矩形，，，
，
，
，
，
即：，
解得：，
当时，且，
又，
，
则有，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为：．
故答案为：6，．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键是熟练掌握系数法求一次函数的解析式，难点是根据相似三角形的性质求出点，的坐标．
【变式8-3】（2023·江苏南通·校考二模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为 ．
【答案】/
【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，过点作交于，过点作且，连接，，先证明是等腰直角三角形，得到，由轴对称的性质可得，，则，由此可得，，是等腰直角三角形，则；设与轴交于，过点作轴于，证明，得到，则，，，证明四边形是平行四边形，得到；证明是等腰直角三角形，得到，则；由轴对称的性质可得，则，，故当最小时，最小，即最小，即当、、三点共线时，最小，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，则当最小时点的坐标为，利用勾股定理求出，，则．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，过点作交于，过点作且，连接，，

∵，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，，是等腰直角三角形，
∴，
设与轴交于，过点作轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∵要使最小，即要使最小，
∴当最小时，最小，即最小，
∴当、、三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴当最小时点的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定最小的情形是解题的关键．
【题型9 体积问题】
【例9】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示．
(1)求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求出得解析式即可，令时，求出值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点和代入中，
得，解得，
∴直线的解析式为．
令，即，解得，
故容器注满水所需的时间为．
（2）解：由图像段可知正方体的高为，
即正方体的边长为，
故正方体的体积为．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
【变式9-1】（2023·陕西·统考一模）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
【答案】(1)2；(2)y=2x+30；(3)放入8个小球．
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高 2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时水面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式．
（3）列方程可求出量筒中小球的个数．
【详解】(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高（36-30）÷3=2cm．
故答案为2；
(2)设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则，
解，得．
则所求表达式为y=2x+30；
(3)由题意，得2x+30=49-3，
解，得x=8．
所以要放入8个小球．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为模型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
【变式9-2】（2023·浙江绍兴·统考一模）将一块的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒）
（1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2；
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810
【分析】（1）根据注水的速度相同且在槽内，得到注水总量相同，得到时间相等；
（2）分析图3与图4，当注水21s以后，水深6cm，当注水45s以后，水深9cm，当注水62s以后，水深10cm，由a×b×c(a