中考数学一轮复习 题型举一反三 专题25 三角形综合测试卷（2份打包，原卷版+解析版）

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选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
2．（3分）（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
3．（3分）（2023·山东·统考中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
4．（3分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（ ）

A．13B．C．8D．
【答案】D
【分析】依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．
【详解】解：如图，连接．

在中，，
，点为边上的中点，
，，，．
．
，，
，．
．
又，，
．
，．
在中，．
在中，．
又在中，，
．
．
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
5．（3分）（2023·河北·统考中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．
6．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理可先求得的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
【详解】∵，
∴为直角三角形．
∴．
∵点为的斜边的中点，
∴．
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．
7．（3分）（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．（3分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）

A．12B．14C．18D．24
【答案】C
【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积．
【详解】解：如图所示，连接，
，
点是的重心，点是边的中点，
点在一条直线上，且，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
9．（3分）（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中 ，然后根据三角形的面积公式即可判断④．
【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，故①正确；
设，
∴,
∴，
∴，故②正确；
当点在的延长线上时，如图所示

∵，，
∴
∴
∵，．
∴，
∴
∴，故③正确；
④如图所示，以为圆心，为半径画圆，

∵，
∴当在的下方与相切时，的值最小，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴取得最小值时，
∴
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．（3分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．

【答案】/20度
【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
11．（3分）（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
12．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．

【答案】//1.5
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
【详解】解： ，
，
点D为的中点，
，
又 ，
，
，
中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．
13．（3分）（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．

【答案】或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，

，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
14．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，交于点P，如图，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴,
∴是等边三角形，
∴；
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴垂直平分，，
∴点F在射线上运动，
∴当时，最小，
此时，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∴；

故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．
15．（3分）（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，D是AC延长线上的一点，．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解．
【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：

由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）
故：为的最大值，为的最小值
∵
∴
∵
∴
∵且
∴
∵P为的中点
∴
∵P为的中点
∴为的中点
∴
∵
∴
故
∵点M与点B、C不重合
∴的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题综合考查了勾股定理、动点轨迹问题．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
16．（3分）（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．

【答案】
【分析】：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，当在右侧处时，可得，当在下方时，由等边三角形的性质可得：，此时，如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形，可得，，，，此时重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，

当在右侧处时，
∴，，
∴，
当在下方时，由等边三角形的性质可得：，
此时，
如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形，
∴，，

则，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴此时重合，
∴，，
∴，
∵，
∴小虫爬行的最短路程等于．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，和相交于点，点为的中点，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，由此即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
18．（6分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．

【答案】
【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
19．（8分）（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在中，，，，D为的中点，以为直角边作含角的，，且点E与点A在的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段的长．
【答案】作图见解析，线段的长为或
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到，，再根据直角三角形斜边上的中线性质和等边三角形的判定证明为等边三角形，可得，，分和两种情况，利用等边三角形的性质，结合锐角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当时，

∵在中，，，
∴，又，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
如图，当时，

∵，
∴
在中，，则，
在中，，则，
综上，满足条件的线段的长为或．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形和直角三角形的相关性质是解答的关键．
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，在等边三角形中，为上的一点，过点作的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．

(1)证明：在点的运动过程中，总有．
(2)当为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用四点共圆知识解答即可．
（2）只有，是直角三角形，解答即可．
【详解】（1）∵等边三角形，
∴,，
∵，
∴，
∵绕点逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴时等边三角形，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
（2）如图，根据题意，只有当时，成立，
∵绕点逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴时等边三角形，
∴，
∵，

∴，
∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值是解题的关键．
21．（8分）（2023·辽宁·统考中考真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
(1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
(2)如图，当点在线段上时，求证：；
(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)．
(2)见解析．
(3)或．
【分析】（1）可先证，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系．
（2）可先证，得到，进而得到，问题即可得证．
（3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设，可证，进一步证得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案
【详解】（1）解：．
理由如下：
如图，连接．
根据图形旋转的性质可知．
由题意可知，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形斜边上的中线，
，．
又，
．
在和中，
．
，．
．
．
．
（2）解：为等腰直角三角形斜边上的中线，
．
，
．
，，
．
，．
，．
在和中，
．
．
．
（3）解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况：
①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点．
设，则．
根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形．
，．
由（2）证明可知，
．
．
．
根据勾股定理可知
，
的面积与的面积之比
②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形，是矩形，
∵
∴
即
又∵，
∴
∴
而
∴
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴
中，
的面积与的面积之比
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．
22．（8分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点落在上时，．”
小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如图1，当点落在上时，求证：；
（2）如图2，若点为中点，，求的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；问题2：
【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得 ，根据邻补角互补可得，即可得证；
（2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解；
问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】（1）∵等腰中，由翻折得到
∴， ，
∵，
∴；
（2）如图所示，连接，交于点，

∵折叠，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
则，
在中，，,，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（8分）（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．