中考数学一轮复习 题型举一反三 专题21 等腰三角形【十六大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc5875" 【题型1 根据等边对等角求解或证明】 PAGEREF _Tc5875 \h 3
\l "_Tc18477" 【题型2 根据三线合一求解或证明】 PAGEREF _Tc18477 \h 6
\l "_Tc7392" 【题型3 格点图中画等腰三角形】 PAGEREF _Tc7392 \h 12
\l "_Tc6673" 【题型4 根据等角对等边证明或求解】 PAGEREF _Tc6673 \h 16
\l "_Tc21330" 【题型5 确定构成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc21330 \h 22
\l "_Tc27903" 【题型6 等腰三角形性质与判定综合】 PAGEREF _Tc27903 \h 25
\l "_Tc2008" 【题型7 利用等边三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc2008 \h 32
\l "_Tc5921" 【题型8 等边三角形的判定】 PAGEREF _Tc5921 \h 42
\l "_Tc17278" 【题型9 等腰/等边三角形有关的动点问题】 PAGEREF _Tc17278 \h 49
\l "_Tc686" 【题型10 探究等腰/等边三角形中线段间存在的关系】 PAGEREF _Tc686 \h 55
\l "_Tc16247" 【题型11 等腰/等边三角形有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc16247 \h 66
\l "_Tc1156" 【题型12 等腰/等边三角形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc1156 \h 75
\l "_Tc17363" 【题型13 等腰/等边三角形有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc17363 \h 82
\l "_Tc6258" 【题型14 利用等腰/等边三角形的性质与判定解决多结论问题】 PAGEREF _Tc6258 \h 86
\l "_Tc26912" 【题型15 利用垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc26912 \h 94
\l "_Tc14561" 【题型16 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc14561 \h 101
【知识点 等腰三角形】
等腰三角形
1.等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
2.等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
易错混淆：
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则EF，
【详解】（1）解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
在△BDE和△CDG中，
∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴BE＝CG；
（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，
∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．
【变式15-3】（2023·陕西·统考中考真题）问题提出
(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．
问题探究
(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；
②作的垂直平分线l，与于点E；
③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可；
（2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；
（3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图2，连接．
图2
∵，
∴四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：符合要求．
由作法，知．
∵，
∴．
如图3，以为边，作正方形，连接．
图3
∴．
∵l是的垂直平分线，
∴l是的垂直平分线．
∴．
∴为等边三角形．
∴，
∴，
∴．
∴裁得的型部件符合要求．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．
【题型16 线段垂直平分线的判定】
【例16】（2023·河南·统考中考真题）如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解．
【详解】连接BD交AC于O，
由作图过程知，AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DAC=60º，
∵AB=BC,AD=CD，
∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC，
在Rt△AOB中，
∴BO=AB·sin30º=，
AO=AB·cs30º=，AC=2AO=3，
在Rt△AOD中，AD=AC=3,∠DAC=60º，
∴DO=AD·sin60º=，
∴=，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．
【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）如图，已知等腰，于，点是边上的一点，将沿线段翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，若，则的值是 ．
【答案】/
【分析】连接，延长交于点G．由折叠的性质可证垂直平分，设，则，，根据勾股定理依次求出，，进而可求出，然后根据正弦定义求解即可．
【详解】连接，延长交于点G．
由折叠可得，，
∴垂直平分，
∴．
∵等腰，于，
∴，．
设．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式16-2】（2023·河北保定·统考三模）如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明；
（2）根据等边三角形的性质得到，；结合题意可得是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一的性质可得平分，根据角平分线的定义得到；根据平行线的性质得到，推得，根据等角对等边可得，即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，．
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【变式16-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．

(1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
【答案】(1)点在线段的垂直平分线上
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出，再由各角之间的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接．利用等边三角形的判定和性质得出，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上．
理由如下：连接．
∵四边形是菱形，对角线相交于点，
．
，
，
∴点在线段的垂直平分线上．

（2）①证明：如图，∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；

②如图，连接．
，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．

【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
作法（如图）
结论

①在上取点，使．
，点表示．
②以为圆心，8为半径作弧，与交于点．
，点表示．
③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点．
…
④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点．
…