【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题02 向量的数量积与三角恒等变换（考点讲解）

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知识点1　向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________.规定：零向量与任一向量的数量积为___.思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点3　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.
知识点4　平面向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝____(交换律).(2)(λa)·b＝_____＝______＝λa·b(数乘结合律).(3)(a＋b)·c＝ (分配律).
知识点5　平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
(1)公式S2α：sin 2α＝ .(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .(3)公式T2α：tan 2α＝ .
知识点6 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)1－cs α＝ ，1＋cs α＝ .(升幂公式)(2)1±sin α＝ .(升幂公式)(3)sin2α＝ ，cs2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
知识点7 常用的部分三角公式
向量的数量积、向量的垂直是考查的热点，向量的数量积，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养.
考点1 向量的数量积
解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，
即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，
向量数量积的运算方法总结(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs θ(θ为非零向量a，b的夹角).(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
考点2 向量数量积的应用
【例5】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
方法二　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，又∠AOB＝60°，
解　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.(2)求向量的夹角，主要是利用公式cs θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
考点3 与垂直有关的问题
因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，所以t＝－4.
(1)求向量的模的方法①公式法：利用|a|＝ 及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解.
(2)求平面向量夹角的方法①定义法：由向量数量积的定义知，cs θ＝ ，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝(3)两向量垂直的应用a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
考点4 投影向量
【例10】　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.
解　∵|b|＝1，∴b为单位向量.
延伸探究　本例改为求b在a上的投影向量.
投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为
考点5 向量的数量积的运算律及性质
【例11】　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是A. a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C.|a|－|b|<|a－b|D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
解析　根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确.
向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.
利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．
(2)化简下列各式：①cs (θ＋21°)cs (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
1. 三角函数的化简与求值渗透了逻辑推理和数学运算素养，遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2. 常采取转化法及利用分类讨论、转化与化归思想解题．
方法归纳(1)在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．(2)在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
化简求值应注意公式的逆用．
(2)求sin 157°cs 67°＋cs 23°sin 67°的值；
对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
【解析】原式＝sin (180°－23°)cs 67°＋cs 23°sin 67°＝sin 23°cs 67°＋cs 23°sin 67°＝sin (23°＋67°)＝sin 90°＝1.
考点11 求值问题【例18】　(1)求值：sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°.
利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
(3) (积化和差)求值：cs40°cs80°＋cs80°cs160°＋cs160°cs40°＝________.
三角函数的求值思路：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．三角函数的求角思路：(1) 先求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的取值范围；(3) 根据角的取值范围写出所求角的大小．
方法归纳(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：①化为特殊角的三角函数值；②化为正负相消的项，消去，求值；③化为分子、分母形式，进行约分再求值．(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．
方法归纳(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
考点13 辅助角公式的应用
辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．
考点14 三角恒等式的证明【例23】　(1)求证：1＋2cs2θ－cs2θ＝2；
方法归纳三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
考点15 三角恒等变换与三角函数图像性质的综合应用
方法归纳三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cs ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin （ωx＋φ）＋k（或y＝A cs（ ωx＋φ）＋k）的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
解析　∵b·c＝|b||c|cs 45°＝1.∴a·(b·c)＝a.
1.已知|b|＝1，|c|＝ ，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是A.0 B.a C.b D.c
解析　设向量a与b的夹角为θ.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cs θ＝3，
3.已知向量a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于A.16 B.256 C.8 D.64
解析　方法一　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.方法二　由题意知2a＝b，∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.
解析　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.
5.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|等于A.2 B.4 C.6 D.12
解析　因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cs 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).
解析　设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cs 120°
6.若向量a的方向是正南，向量b的方向是北偏东60°，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________.
7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝_______.
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，
9.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；
解　c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b
解　|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b
10.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝ ，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值.
解　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cs α＋4＝9，所以|a|＝3，因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cs α＋1＝8，
解析　由题意，得|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cs 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确；∵a·b＝1×2×cs 120°＝－1，故D结论正确.
所以△ABC是等腰三角形.
14.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________.
解析　∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cs θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cs θ＝cs θ(θ为a与b的夹角)或|b|＝0，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.
18.公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则 的值为A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8
因为m＝2sin 18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cs218°，
对于A，cs(－15°)＝cs 15°＝cs(45°－30°)
对于C, cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝ ，所以C错误；
【解析】 由已知得sinαcsβ＋csαsinβ＋csαcsβ－sinαsinβ＝2(csα－sinα)sinβ，即sinαcsβ－csαsinβ＋csαcsβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.