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【期中复习】2023-2024学年（人教B版2019+选择性必修第三册）高二数学下册 专题04+数列考点串讲课件
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这是一份【期中复习】2023-2024学年（人教B版2019+选择性必修第三册）高二数学下册 专题04+数列考点串讲课件，共60页。PPT课件主要包含了考场练兵，典例剖析，考点透视，确定的顺序，每一个数，Sn-Sn-1，常用结论，同一个常数，a+b，n-md等内容，欢迎下载使用。
知识点1.数列的有关概念
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的
微点拨1.从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.2.对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.
微思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?
提示 数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上.
知识点2.数列的表示方法
给出了数列相邻两项或多项之间的关系
数列的图象是坐标系中的一些孤立的点
知识点3.an与Sn的关系
误区警示1.切记公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,根据Sn求an时一定要注意检验a1的值是否适合an=Sn-Sn-1.2.类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有
知识点4.数列的分类
微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?
提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)=(x- )2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列.
知识点4.等差数列的有关概念
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
微点拨1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2).2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
知识点5.等差数列的有关公式
公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率
微思考1.在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?2.等差数列前n项和公式是如何推导的?这种方法通常称为什么方法?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中, an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
知识点6.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+ (m,n∈N*). (2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
但若am+an=ap+aq,却不一定有m+n=p+q
特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap.
ap为am和an的等差中项
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
在等差数列中下标成等差的 项组成的新数列仍为等差数列
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是 数列. (5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列 是 数列.
误区警示等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列,即数列的片断和成等差数列,注意不是Sm,S2m,S3m,…构成等差数列.
常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q∈R),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b∈R).
微思考任意两个实数都有等比中项吗?
提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
知识点7.等比数列的有关公式(1)通项公式:an= (n∈N*);
误区警示在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.微点拨当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
2.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.3.若非零数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数列.
知识点9.特殊数列的求和公式
推导方法:倒序相加法
推导方法:乘公比,错位相减法
2.非特殊数列求和的几种常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.
(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
错位相减时,要注意最后一项的符号
考点1. 由an与Sn的关系求通项公式---已知Sn求an
【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+2n,则数列{an}的通项公式an= .
解析 由题知Sn=3n2+2n,则Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).
考点2. 已知Sn与an的关系式求an【例2】数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1),则an=( )A.5×6nB.5×6n+1
考点3. 由数列的递推关系求通项公式(多考向探究预测)
【例3】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则an等于( ) A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n
解析 因为an+1-an= =ln(n+1)-ln n,所以a2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2).把以上各式分别相加得an-a1=ln n-ln 1,则an=2+ln n,n≥2.又a1=2也符合上式,因此an=2+ln n.
考点4.累乘法【例4】在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,则数列{an}的通项公式为an= .
考点5.数列的性质---数列的周期性
考点6. 数列的单调性【例6】数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),若{an}是递增数列,则λ的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1+lg2e,3)C.(-∞,1+lg2e]D.(-∞,3)
解析 因为数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),且{an}是递增数列,所以an
考点7. 数列的最值【例7】在数列{an}中,an=(2n-1)( )n,则数列{an}中的最大项是第 项.
考点8. 等差数列的基本量运算---求解等差数列的基本量
【例题8】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5, a1+S11=67,则a3a10是{an}中的( )A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项
解析 设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;①由a1+S11=67,得12a1+ d=67,即12a1+55d=67.②由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.故选A.
考点9.两个等差数列的公共项问题【例9】将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
解析 (方法一 观察归纳法)数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和
(方法二 不定方程法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1(t=1,2,3,…),则n=3t-2.at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即
考点10.等差数列的判定与证明
【例题10】已知数列{an}的各项均为正数,且a2=3a1,记Sn为{an}的前n项和.从下面①②中选取其中一个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{ }是等差数列.
解 选①作条件证明②:因为a2=3a1,{an}是等差数列,所以公差d=a2-a1=2a1,所以
当n=1时,a1=S1=(b+c)2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(bn+c)2-(bn-b+c)2=b(2bn-b+2c);
当c=0时,a1=b2,an=b2(2n-1),当n≥2时,an-an-1=2b2满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;
n=1时,满足上式,故{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,所以an-1=(2n-3)a1,an-an-1=2a1,所以数列{an}是等差数列.
考点11.等差数列的性质及其应用--等差数列项的性质
【例题11】(2023·全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )A.25B.22C.20D.15
解析 (方法一 基本量法)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2,所以S5=5a1+ d=5×2+10=20.(方法二 应用项的性质)a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,从而d= =1,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.
考点12.等差数列前n项和的性质【例题12】等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=( )
解析 由已知S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,所以2×(S6-3)=3+(18-S6),所以S6=9.
考点13.等差数列前n项和的最值问题【例题13】设Sn为等差数列{an}的前n项和,且满足a1<0,S3=S9,则当Sn取得最小值时,n的值为( )A.3B.6C.9D.12
(方法二 利用性质邻项变号)设{an}的公差为d,由S3=S9得a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7)=0.因此a6+a7=0.由于a1<0,所以d>0.从而a6<0,a7>0,所以当Sn取得最小值时,n的值为6.故选B.(方法三 利用通项邻项变号)设{an}的公差为d,由S3=S9得
考点14 等比数列基本量的运算
【例题14】(2022·全国乙,理8,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )A.14B.12C.6D.3
考点15 等比数列的判定与证明
【例题15】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}与{bn}的通项公式.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
考点16.等比数列的性质-----项的性质
【例题16】(2023·全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= .
解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
(方法二)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.
考点17.前n项和的性质【例题17】(2023·新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )A.120B.85C.-85D.-120
(方法二)设等比数列{an}的公比为q,因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1,否则S4=0,从而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以有(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1,或S2= ,当S2=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,即为-1,-4,-16,S8+21,易知S8+21=-64,即S8=-85;当S2= 时,S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0,与S4=-5矛盾,舍去.综上,S8=-85.
考点18. 分组转化法求和
【例题18】已知数列{an}满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
考点19.并项转化法求和
【例题19】在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an;(2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11.
(1)证明 因为an+1=2an+n-1,所以 =2,又a1+1=2,所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n.
(2)解 因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,①所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1,当n≥2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,②①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1 360,即S11=1 360.
考点20. 裂项相消法求和
考点21. 错位相减法求和
【例题21】(2023·全国甲,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列 的前n项和Tn.
解 (1)由题意可知,2Sn=nan,①当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.
1.已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,则{an}的通项公式为( )
解析 当n=1时,有2a1=1·21,所以a1=1.由2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n, 2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(n-1)·2n-1,n≥2,两式相减得2nan=n·2n-(n-1)2n-1
2.数列{an}的前五项分别是下列各数:1,3,6,10,15,则{an}的一个通项公式为( )
解析 依题意a2-a1=3-1=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,a5-a4=15-10=5,
3.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 022项和为( )A.2 698B.2 697C.2 696D.2 695
解析 ∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此数列各项除以4的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,所以数列{bn}是以6为周期的周期数列,
4.已知等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为( )A.30B.29C.28D.27
5.已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是等差数列,则其公差为( )
6.“二十四节气”是上古农耕文明的产物,它是上古先民顺应农时,通过观察天体运行,认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影子的长度,二十四个节气及日晷长变化如图所示,相邻两个节气日晷长的变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( )
A.58.5尺B.59.5尺C.60尺D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1,小寒日晷长为a2,以此类推芒种日晷长为a12,因此a1=13.5,a12=2.5,设从冬至到夏至过程中,日晷长的变化量为d,则2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷长为a13=13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日晷长的和为
7.在等比数列{an}中, a2a3a4=4,a5a6a7=16,则a8a9a10=( )A.4B.8C.32D.64
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sk=1,S4k=16,则S6k=( )A.18B.36 C.40D.42
9.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论中错误的有( )A.a3+b5=c3B.b28=c10C.a5b2>c8D.c9-b9=a26
解析 根据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30, c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,故A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,故B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13 =107,a5b2=14×7=98<107=c8,故C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,故D错误.故选ACD.
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=6,则S24= .
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为 .
13.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018, =6,则S2 025= .
14.项数为奇数的等差数列{an},其奇数项和为44,偶数项和为33,则该数列的中间项是 .
故b1+b2+b3+…+b2 023=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2 022+b2 023)=1+2×1 011=2 023.
17.已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,且nan-Sn=n2-n,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)因为nan-Sn=n2-n,所以(n-1)an-1-Sn-1=(n-1)2-(n-1)(n≥2),两式相减得nan-(n-1)an-1-an=2n-2,化简得an-an-1=2(n≥2),所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=1+(n-1)×2=2n-1.
18.(2023·全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,求数列{ }的前n项和Tn.
解 (1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4,当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,两式相减,可得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2·2n-1=2n,n∈N*.
20.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中n∈N*,λ为实数.(1)对于任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
(1)证明 假设若存在实数λ,使得数列{an}是等比数列,则必有
故假设错误,因此对于任意实数λ,数列{an}不是等比数列.
(2)解 当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列;当λ=-18时,数列{bn}不是等比数列.证明如下:
(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
21.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,其公比
知识点1.数列的有关概念
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的
微点拨1.从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.2.对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.
微思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?
提示 数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上.
知识点2.数列的表示方法
给出了数列相邻两项或多项之间的关系
数列的图象是坐标系中的一些孤立的点
知识点3.an与Sn的关系
误区警示1.切记公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,根据Sn求an时一定要注意检验a1的值是否适合an=Sn-Sn-1.2.类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有
知识点4.数列的分类
微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?
提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)=(x- )2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列.
知识点4.等差数列的有关概念
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
微点拨1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2).2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
知识点5.等差数列的有关公式
公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率
微思考1.在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?2.等差数列前n项和公式是如何推导的?这种方法通常称为什么方法?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中, an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
知识点6.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+ (m,n∈N*). (2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
但若am+an=ap+aq,却不一定有m+n=p+q
特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap.
ap为am和an的等差中项
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
在等差数列中下标成等差的 项组成的新数列仍为等差数列
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是 数列. (5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列 是 数列.
误区警示等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列,即数列的片断和成等差数列,注意不是Sm,S2m,S3m,…构成等差数列.
常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q∈R),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b∈R).
微思考任意两个实数都有等比中项吗?
提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
知识点7.等比数列的有关公式(1)通项公式:an= (n∈N*);
误区警示在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.微点拨当q>1,a1>0或0
不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列
2.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.3.若非零数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数列.
知识点9.特殊数列的求和公式
推导方法:倒序相加法
推导方法:乘公比,错位相减法
2.非特殊数列求和的几种常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.
(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
错位相减时,要注意最后一项的符号
考点1. 由an与Sn的关系求通项公式---已知Sn求an
【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+2n,则数列{an}的通项公式an= .
解析 由题知Sn=3n2+2n,则Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).
考点2. 已知Sn与an的关系式求an【例2】数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1),则an=( )A.5×6nB.5×6n+1
考点3. 由数列的递推关系求通项公式(多考向探究预测)
【例3】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则an等于( ) A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n
解析 因为an+1-an= =ln(n+1)-ln n,所以a2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2).把以上各式分别相加得an-a1=ln n-ln 1,则an=2+ln n,n≥2.又a1=2也符合上式,因此an=2+ln n.
考点4.累乘法【例4】在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,则数列{an}的通项公式为an= .
考点5.数列的性质---数列的周期性
考点6. 数列的单调性【例6】数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),若{an}是递增数列,则λ的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1+lg2e,3)C.(-∞,1+lg2e]D.(-∞,3)
解析 因为数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),且{an}是递增数列,所以an
考点7. 数列的最值【例7】在数列{an}中,an=(2n-1)( )n,则数列{an}中的最大项是第 项.
考点8. 等差数列的基本量运算---求解等差数列的基本量
【例题8】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5, a1+S11=67,则a3a10是{an}中的( )A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项
解析 设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;①由a1+S11=67,得12a1+ d=67,即12a1+55d=67.②由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.故选A.
考点9.两个等差数列的公共项问题【例9】将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
解析 (方法一 观察归纳法)数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和
(方法二 不定方程法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1(t=1,2,3,…),则n=3t-2.at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即
考点10.等差数列的判定与证明
【例题10】已知数列{an}的各项均为正数,且a2=3a1,记Sn为{an}的前n项和.从下面①②中选取其中一个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{ }是等差数列.
解 选①作条件证明②:因为a2=3a1,{an}是等差数列,所以公差d=a2-a1=2a1,所以
当n=1时,a1=S1=(b+c)2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(bn+c)2-(bn-b+c)2=b(2bn-b+2c);
当c=0时,a1=b2,an=b2(2n-1),当n≥2时,an-an-1=2b2满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;
n=1时,满足上式,故{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,所以an-1=(2n-3)a1,an-an-1=2a1,所以数列{an}是等差数列.
考点11.等差数列的性质及其应用--等差数列项的性质
【例题11】(2023·全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )A.25B.22C.20D.15
解析 (方法一 基本量法)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2,所以S5=5a1+ d=5×2+10=20.(方法二 应用项的性质)a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,从而d= =1,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.
考点12.等差数列前n项和的性质【例题12】等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=( )
解析 由已知S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,所以2×(S6-3)=3+(18-S6),所以S6=9.
考点13.等差数列前n项和的最值问题【例题13】设Sn为等差数列{an}的前n项和,且满足a1<0,S3=S9,则当Sn取得最小值时,n的值为( )A.3B.6C.9D.12
(方法二 利用性质邻项变号)设{an}的公差为d,由S3=S9得a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7)=0.因此a6+a7=0.由于a1<0,所以d>0.从而a6<0,a7>0,所以当Sn取得最小值时,n的值为6.故选B.(方法三 利用通项邻项变号)设{an}的公差为d,由S3=S9得
考点14 等比数列基本量的运算
【例题14】(2022·全国乙,理8,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( )A.14B.12C.6D.3
考点15 等比数列的判定与证明
【例题15】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}与{bn}的通项公式.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
考点16.等比数列的性质-----项的性质
【例题16】(2023·全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= .
解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
(方法二)设{an}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.
考点17.前n项和的性质【例题17】(2023·新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )A.120B.85C.-85D.-120
(方法二)设等比数列{an}的公比为q,因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1,否则S4=0,从而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以有(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1,或S2= ,当S2=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,即为-1,-4,-16,S8+21,易知S8+21=-64,即S8=-85;当S2= 时,S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0,与S4=-5矛盾,舍去.综上,S8=-85.
考点18. 分组转化法求和
【例题18】已知数列{an}满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
考点19.并项转化法求和
【例题19】在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an;(2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11.
(1)证明 因为an+1=2an+n-1,所以 =2,又a1+1=2,所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n.
(2)解 因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,①所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1,当n≥2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,②①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1 360,即S11=1 360.
考点20. 裂项相消法求和
考点21. 错位相减法求和
【例题21】(2023·全国甲,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列 的前n项和Tn.
解 (1)由题意可知,2Sn=nan,①当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.
1.已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,则{an}的通项公式为( )
解析 当n=1时,有2a1=1·21,所以a1=1.由2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n, 2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(n-1)·2n-1,n≥2,两式相减得2nan=n·2n-(n-1)2n-1
2.数列{an}的前五项分别是下列各数:1,3,6,10,15,则{an}的一个通项公式为( )
解析 依题意a2-a1=3-1=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,a5-a4=15-10=5,
3.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 022项和为( )A.2 698B.2 697C.2 696D.2 695
解析 ∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此数列各项除以4的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,所以数列{bn}是以6为周期的周期数列,
4.已知等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为( )A.30B.29C.28D.27
5.已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是等差数列,则其公差为( )
6.“二十四节气”是上古农耕文明的产物,它是上古先民顺应农时,通过观察天体运行,认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影子的长度,二十四个节气及日晷长变化如图所示,相邻两个节气日晷长的变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( )
A.58.5尺B.59.5尺C.60尺D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1,小寒日晷长为a2,以此类推芒种日晷长为a12,因此a1=13.5,a12=2.5,设从冬至到夏至过程中,日晷长的变化量为d,则2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷长为a13=13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日晷长的和为
7.在等比数列{an}中, a2a3a4=4,a5a6a7=16,则a8a9a10=( )A.4B.8C.32D.64
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sk=1,S4k=16,则S6k=( )A.18B.36 C.40D.42
9.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论中错误的有( )A.a3+b5=c3B.b28=c10C.a5b2>c8D.c9-b9=a26
解析 根据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30, c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,故A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,故B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13 =107,a5b2=14×7=98<107=c8,故C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,故D错误.故选ACD.
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=6,则S24= .
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为 .
13.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018, =6,则S2 025= .
14.项数为奇数的等差数列{an},其奇数项和为44,偶数项和为33,则该数列的中间项是 .
故b1+b2+b3+…+b2 023=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2 022+b2 023)=1+2×1 011=2 023.
17.已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,且nan-Sn=n2-n,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;
解 (1)因为nan-Sn=n2-n,所以(n-1)an-1-Sn-1=(n-1)2-(n-1)(n≥2),两式相减得nan-(n-1)an-1-an=2n-2,化简得an-an-1=2(n≥2),所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=1+(n-1)×2=2n-1.
18.(2023·全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,求数列{ }的前n项和Tn.
解 (1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4,当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,两式相减,可得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2·2n-1=2n,n∈N*.
20.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中n∈N*,λ为实数.(1)对于任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
(1)证明 假设若存在实数λ,使得数列{an}是等比数列,则必有
故假设错误,因此对于任意实数λ,数列{an}不是等比数列.
(2)解 当λ≠-18时,数列{bn}是等比数列;当λ=-18时,数列{bn}不是等比数列.证明如下:
(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
21.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,其公比
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