【期中模拟】2023-2024学年人教A版2019 高二数学下册专题模拟卷 专题05+考前必刷卷03（含导数）.zip

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（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】
由已知得
．
故选：D．
2．展开式中 的系数为（ ）
A．B．C．30D．90
【答案】D
【分析】
求出的通项公式，分别令或，代入求解即可得出答案.
【详解】，
的通项公式为，
令，则，则，
令，则，则，
所以展开式中 的系数为.
故选：D.
3．青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ）
A．150人B．300人C．600人D．900人
【答案】A
【分析】
利用正态分布的性质，计算出和即可求解.
【详解】因为，，所以
则，所以样本中身高不低于的约有人.
故选：A.
4．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】
求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】
∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
5．蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】观察可知，，且，结合杨辉三角，即可求解.
【详解】由题可知，，且，
可推得，，
所以，即，
所以可能取到0，1，2，7，8，9，
所以解集为，
故选：B
6．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50B．36C．26D．14
【答案】A
【分析】按照和分组讨论安排.
【详解】（1）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种，
故选：A.
7．中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然，．下列判断正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】C
【分析】根据全概率公式列出关于和之间的关系式，再利用基本不等式求解即可.
【详解】第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，
第次就餐去“清真食堂”的概率为，
由全概率公式得，
，即，
当且仅当时等号成立.
故选：C．
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件及构造函数（），利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.
【详解】
设（），则，
所以在上单调递减，
所以，即 ，
所以，，
，所以，
故选：A．
【点睛】
关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在的展开式中（ ）
A．二项式系数之和为B．第项的系数最大
C．所有项系数之和为D．不含常数项
【答案】ABD
【分析】
由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，通过给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
由于二项式系数之和为，故A正确．
设展开式第项为，
易知的系数均小于0，且，故第项的系数最大，为80，故B正确,
令得所有项系数之和为，故C错误，
当，则，但，故展开式不含常数项，D正确．
故选：ABD．
10．如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．有三个单调区间
B．
C．
D．在上单调递增，在上单调递减
【答案】CD
【分析】
根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可．
【详解】
对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正，
所以函数有四个单调区间，故A错误；
对于B，当时，，函数单调递减，
所以，故B错误；
对于C，当时， ，函数单调递增，
所以，故C正确；
对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确．
故选：CD．
11．甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】按分别求出的分布列及期望，即可逐项判断得解.
【详解】X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当时，，，，
则，，AB正确；
当时，，，
，，，
因此，，C正确，D错误．
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，且，则 .
【答案】
【分析】
利用二项分布的方差公式及方差的性质计算即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
13．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】
分别代入和可得到两个等式，再将两个等式作差即可得到结果.
【详解】令得，令得，
两个等式作差，即有.
故答案为：.
14．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以在上单调递增，
不等式，即，
等价于，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中， .
(1)求n；
(2)证明：能被6整除.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n；
（2），利用二项式定理，证明数据是6的倍数.
【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得；
选条件②常数项为，由，则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得.
（2）
，
所以能被6整除.
16．统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【答案】(1)
(2)理由见解析
【分析】
（1）依题意可得，根据正态分布的性质计算可得；
（2）由（1）结合小概率事件的定义判断即可.
【详解】（1）依题意，又，
所以，，
且，
所以.
（2）由（1）可得，
又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，，
而，
所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生，
所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.
17．已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
（2）因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
18．海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，．从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到海参总箱数为Z．
①求Y的分布列及数学期望；
②当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值．
【答案】(1)分布列见解析，期望
(2)①分布列见解析，期望值；②正整数n的值为5；
【分析】
（1）利用频率分布直方图计算出分层抽样比为，可得抽取的10颗样本中有6颗二级品，4颗一级品，利用超几何分布公式计算概率即可得分布列和期望值；
（2）①易知订单总数量为Y的所有可能取值为，分别求得对应概率可得Y的分布列和期望值；
②显然，利用期望值性质计算可得，再由基本不等式即可得Z的数学期望取最大值时，正整数n的值为5.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，质量指标为二级与一级的分层随机抽样的比例为；
所以抽取的10颗样本中有6颗二级品，4颗一级品；
从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X，则X的所有可能取值为；
易知，,,
,；
所以可得X的分布列为
可得数学期望.
（2）根据题意可知订单总数量为Y的所有可能取值为，
则；
；
；
所以Y的分布列为
数学期望；
易知，所以；
又，
所以的数学期望，
当且仅当，即时，等号成立，取得最大值；
因此Z的数学期望取最大值时，正整数n的值为5.
19．对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数的单调性.
(2)对三次函数，设，存在，满足.证明：存在，使得；
(3)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集，满足是上的广义正弦函数.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
(3)（i）证明过程见解析（ii）
【分析】
（1）对求导后得，分是否小于0讨论即可求解；
（2）设，求导并结合得，取满足题意，且此时必有即可得证；
（3）（i）由题意求导得，
设，则，且时，，所以原问题等价于证明方程有一个负根，且两个不同的正根的充要条件是；（ii）首先时，也恰好有两个正根，其次进一步得出，然而可以发现，由此即可进一步求解.
【详解】（1）因为，所以，
若，则，从而此时在定义域内单调递增；
若，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，若，则单调递增；若，则在分别单调递增，在单调递减.
（2）因为，所以不妨设，
所以，
而，故，
故存在使得，所以，
若，则，此时，与题设矛盾，
综上所述，存在，使得.
（3）（i）是第一象限上一点，所以，
因为，所以，
设，则，
而时，，时，，
所以存在负根，
因为在上存在两个极值点，等价于方程在上有两个根，
等价于方程在上存在两个变号根，
注意到三次方程最多有3个根，
所以方程有一个负根，两个不同的正根，
而，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当且仅当，即当且仅当，
综上所述，命题（i）得证；
（ii）由（i）可得在有两个极值点,
且.
由题设恰好有两个正根，
此时：由于对来说，等价于，
等价于，
所以对，如果，
那么，
故，故，
结合（i）中分析可得:
当时，；
当时，；
当时，；
故分别为在的极小值点、极大值点.
对两个不相等的正数，
所以当且仅当，
那么如果或，就有或，故，
此时，
所以，
故，
最后，由于有一个极值点，
所以都不等于（是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但只要是根就是二重的，所以不可能是根），
这就说明，
结合的单调性以及，必有，
所以此时一定是广义正弦函数，
综上所述，满足题意的.
【点睛】关键点点睛：第三问（ii）的关键是发现，以及，由此即可顺利得解3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘